Nom :
Classe : TMATHS2 DS n°2
Espace et suites Le : 24/11/2020 Durée : 2h Note : … / 20
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Ré-appliquer les méthodes du cours sur des exercices contrôlés (EC) Déterminer l'intersection de deux plans.
Construire la section d'un cube par un plan.
Déterminer si des droites sont parallèles.
Déterminer si un point appartient à une droite.
Déterminer si une droite est parallèle à un plan.
Déterminer si deux droites sont coplanaires.
Raisonner / Justifier des formules / Interpréter des résultats
Démontrer qu'une suite est géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
Déterminer une limite.
Compléter une fonction Python / Déterminer le résultat renvoyé suite à son appel.
Exercice 1 : (EC) … / 7
1. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous.
a) Construire les points P et T tels que = et = b) Montrer que les points C, T et P sont alignés
2. Soit M, N et P trois points non alignés de l'espace.
On considère les points I et J tels que = et = . Montrer que le point P appartient à la droite (IJ).
3. On considère un tétraèdre ABCD.
Soit M le point tel que = . Montrer que le point M appartient au plan (ABC).
Exercice 2 : … / 3
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Les points I et J sont les milieux des arêtes [AD] et [FG].
Le point K est tel que = . On cherche à construire l'intersection du cube par le plan (IJK).
1. a) Construire le point d'intersection L des droites (EH) et (IK).
b) En déduire l'intersection des plans (IJK) et (EFG).
2. Construire la section du cube par le plan (IJK) en écrivant les étapes essentielles du protocole.
¡!AP 1 2
¡!AB ¡!BT 3¡!AC¡2¡!AB
¡!MI 1 2
¡¡!MN ¡!NJ 3¡¡!MP¡2¡¡!MN
¡¡!AM 2¡¡!BM¡ 3 4
¡¡!MC
¡!AK 2 3
¡!AE
Exercice 3 : Vrai / Faux … / 5 L'espace est rapporté au repère (O ; , , ).
On considère les points A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ) et D( ; ; ).
On donne des représentations paramétriques de deux droites et ' :
: avec ∈ R ' : avec ∈ R
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
1. Les droites et (AB) sont parallèles.
2. Le point D appartient à la droite '.
3. La droite ' est parallèle au plan (ABC).
4. Les droites et ' sont coplanaires.
Exercice 4 : … / 5
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence de température entre ce corps et le milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de °C dans un milieu dont la température, supposée constante, est notée M. Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton et en suivant un modèle utilisant une suite.
Pour tout entier naturel on note la température du café à l'instant .
Les températures sont exprimées en degrés Celsius, les durées en minutes. Ainsi, = .
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques et par la relation : =
où est une constante réelle. Dans la suite de l'exercice on choisit M = et = . 1. Peut-on conjecturer le sens de variations de la suite ( ) ? Expliquer le raisonnement.
2. Montrer que, pour tout entier naturel :
= 3. On pose, pour tout entier naturel : =
a) Montrer que ( ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
b) Justifier que, pour tout entier naturel : =
c) Déterminer la limite de la suite ( ). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
4. a) Compléter la fonction suivante, écrite en Python, afin qu'elle permette de résoudre dans N l'inéquation < A où A est une température saisie en paramètre.
b) Qu'obtient-on tapant l'instruction suivante dans la console Python ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
~i ~j ~k -1
1 2 2 -1 3 2 -1 1 3 -1 1
d d
t
d d
8<
:
x=t0+ 1 y= -3t0+ 2 z = 6t0¡3
t0
d 8<
:
x= 2¡2t y= -1 + 6t z= 3¡8t
d d d
d
n
0,8Tn+ 2 Tn+1
n un Tn¡10 un
n
Tn 70£0,8n+ 10 Tn
Tn
k 10 k -0,2
80
n Tn n
T0 80 n n+ 1 Tn+1¡Tn k(Tn¡M)
Tn
Correction du DS n°2 Exercice 1 : (EC)
1. Cf. la correction de l'exercice n°1 du cours.
2. Cf. la correction de l'exercice n°3 du cours.
3. Cf. la correction de l'exercice n°6 du cours.
Exercice 2 :
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Les points I et J sont les milieux des arêtes [AD] et [FG].
Le point K est tel que = . On cherche à construire l'intersection du cube par le plan (IJK).
1. a) Construire le point d'intersection L des droites (EH) et (IK).
Le points L est placé sur la figure précédente.
b) En déduire l'intersection des plans (IJK) et (EFG).
L appartient à la droite (EH) qui est incluse dans le plan (EFG) donc L appartient au plan (EFG).
De même, L ∈ (IK) et (IK) ⊂ (IJK) donc L ∈ (IJK).
On en déduit que L appartient à l'intersection des plans (IJK) et (EFG).
Il en est de même du point J. On en conclut que les plans (IJK) et (EFG) sont sécants selon la droite (JL).
2. Construire la section du cube par le plan (IJK) en écrivant les étapes essentielles du protocole.
3.
¡!AK 2 3
¡!AE
Exercice 3 : Vrai / Faux
L'espace est rapporté au repère (O ; , , ).
On considère les points A( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ) et D( ; ; ).
On donne des représentations paramétriques de deux droites et ' :
: avec ∈ R ' : avec ∈ R
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
1. Les droites et (AB) sont parallèles.
,
La droite est dirigée par le vecteur , la droite (AB) par le vecteur . On remarque que = .
Ainsi, les vecteurs et sont colinéaires. Par conséquent, est parallèle à (AB). L'affirmation 1 est vraie.
2. Le point D appartient à la droite '.
D( ; ; ) appartient à ' si et seulement si le système suivant à une solution unique. On le résout.
⇔ ⇔
≠ ≠ donc le système n'a pas de solution. Ainsi, l'affirmation 2 est fausse.
3. La droite ' est parallèle au plan (ABC).
Le plan (ABC) est dirigé par les vecteurs et , non colinéaires puisque = mais ≠ .
La droite ' est dirigée par le vecteur .
' est parallèle au plan (ABC) si et seulement si les vecteurs , et sont coplanaires, c'est-à-dire si et
seulement s'il existe deux réels et tels que = + . On résout le système suivant :
⇔ ⇔ ⇔
⇔
On en déduit = – . Ainsi, l'affirmation 3 est vraie.
4. Les droites et ' sont coplanaires.
Deux droites coplanaires sont soit parallèles soit sécantes.
et ' ne sont pas parallèles car leurs vecteurs directeurs respectifs et ne sont pas colinéaires
et ' sont sécantes si et seulement si le système suivant à un couple de solutions ( ; ) unique.
~i ~j ~k
1 2 -1 2 -1 3 2 -1 1 3 -1 1 d d
d 8<
:
x= 2¡2t y= -1 + 6t z= 3¡8t
t d
8<
:
x=t0+ 1 y= -3t0+ 2 z = 6t0¡3
t0
d
d
d
d d
d ~u
0
@ -2
6 -8
1
A ¡!AB
¡!AB 0
@2¡1 -1¡2
3 + 1 1 A ¡!AB
0
@1 -3
4 1 A
0
@ 1 -3
4 1 A
~
u -2¡!AB
~
u ¡!AB d
d 3 -1 1
8<
:
3 =t0+ 1 -1 = -3t0+ 2 1 = 6t0¡3
8<
:
t0 = 2 3t0 = 3 6t0 = 4
8>
<
>:
t0 = 2 t0 = 1 t0 = 4
6 = 2 3 2 1 2
3
¡!AB 0
@1 -3
4 1 A ¡!AC
0
@1 -3
2 1
A 1
1
4 2 1 1 -3
-3
d ~u0
0
@1 -3
6 1 A
d ~u0 ¡!AB ¡!AC
® ¯ ~u0 ®¡!
AB ¯¡!
8 AC
<
:
1 = 1®+ 1¯
-3 = -3®¡3¯
6 = 4®+ 2¯
~
u0 ¡!AB 1¡!AC
½ ®= 1 + 1 = 2
¯= -1 2
d d ~u
0
@-2 6 -8
1 A ~u0
0
@1 -3
6 1 A
d d t t0
½ ®= 1¡¯
2(1¡¯) +¯ = 3
½ ®= 1¡¯ 2¡2¯+¯ = 3
½ ®= 1¡¯ -¯ = 1
8<
:
®+¯ = 1
®+¯ = 1 2®+¯ = 3
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
Ainsi, les droites et ' sont sécantes. On en déduit qu'elles sont coplanaires. L'affirmation 4 est vraie.
Exercice 4 : La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence de température entre ce corps et le milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de °C dans un milieu dont la température, supposée constante, est notée M. Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton et en suivant un modèle utilisant une suite.
Pour tout entier naturel on note la température du café à l'instant .
Les températures sont exprimées en degrés Celsius, les durées en minutes. Ainsi, = .
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques et par la relation : =
où est une constante réelle. Dans la suite de l'exercice on choisit M = et = . 1. Peut-on conjecturer le sens de variations de la suite ( ) ? Expliquer le raisonnement.
La tasse de café étant servie à une température supérieure à celle du milieu environnant, on peut conjecturer que la suite ( ), associée à la température du café, sera décroissante sur N.
2. Montrer que, pour tout entier naturel :
=
∀ ∈ N, = avec M = et = .
Donc = =
On en déduit : = =
3. On pose, pour tout entier naturel : =
a) Montrer que ( ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
∀ ∈ N, = On en déduit = Or, =
Donc = =
Or, = ⇔ =
Ainsi, = = =
Ce qui prouve que ( ) est une suite géométrique de raison . Son premier terme est = = =
b) Justifier que, pour tout entier naturel : =
Puisque ( ) est une suite géométrique de raison = et de premier terme = alors :
∀ ∈ N, = = On en déduit = =
c) Déterminer la limite de la suite ( ). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
= ∈ ] ; [ donc =
On en déduit, par produit : =
Puis, par somme : =
Ainsi, au bout d'un très grand nombre de minutes, la température du café tendra à se rapprocher des °C.
80
n Tn n
T0 80 n n+ 1 Tn+1¡Tn k(Tn¡M)
k 10 k -0,2
Tn
n
Tn+1 0,8Tn+ 2
n un
n
Tn 70£0,8n+ 10
Tn 8<
:
2¡2t=t0+ 1 -1 + 6t= -3t0+ 2 3¡8t= 6t0¡3
8<
:
2t+t0 = 1 6t+ 3t0 = 3 8t+ 6t0 = 6
8<
:
2t+t0 = 1 2t+t0 = 1 4t+ 3t0 = 3
½ t0 = 1¡2t
4t+ 3(1¡2t) = 3
½ t0 = 1¡2t 4t+ 3¡6t= 3
½ t0 = 1¡2t 0 = 2t
½ t0 = 1¡2£0 t= 0
½ t= 0 t0 = 1 d d
Tn
n Tn+1¡Tn k(Tn¡M) 10 k -0,2 Tn+1¡Tn -0,2 (Tn¡10) -0,2Tn+ 2
Tn+1 Tn¡0,2Tn+ 2 0,8Tn+ 2
n
Tn+1 0,8Tn+ 2 un Tn¡10
un+1 Tn+1¡10
un+1 0,8Tn+ 2¡10 0,8Tn¡8
un Tn¡10
un Tn¡10 Tn un+ 10
un+1 0,8(un+ 10)¡8 0,8un+ 8¡8 0,8un
un 0,8
u0 T0¡10 80¡10 70
un q 0,8 u0 70
n un u0£qn 70£0,8n
Tn un+ 10 70£0,8n+ 10
q 0,8 -1 1 lim
n!+10,8n 0
n!lim+170£0,8n 0
n!lim+170£0,8n+ 10 10
10
4. a) Compléter la fonction suivante, écrite en Python, afin qu'elle permette de résoudre dans N l'inéquation < A où A est une température saisie en paramètre.
b) Qu'obtient-on tapant l'instruction suivante dans la console Python ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
En tapant seuil(40) on obtient 4 ce qui signifie qu'au bout de 4 minutes, la température du café sera inférieure à 40°C.
Tn
