1. Soit 1 ≤ p < +∞. Montrer que l’espace l p des suites de puissance p-ième sommable, muni de sa norme usuelle, est un espace complet.

Master Mathématiques et Applications 1 ^{ere `} année Aix-Marseille Université Année 2015-2016

Analyse Fonctionnelle - Partiel du 6 Novembre 2015

Durée : 2h

Exercice 1 (Questions de cours)

1. Soit 1 ≤ p < +∞. Montrer que l’espace l ^p des suites de puissance p-ième sommable, muni de sa norme usuelle, est un espace complet.

2. Toujours pour 1 ≤ p < +∞, montrer que l’ensemble c f des suites finies (i.e. nulles à partir d’un certain rang) est dense dans l ^p .

3. Soit (X, d) un espace métrique, et A et B deux compacts de X . Montrer que A ×B est un compact de l’espace produit X × X.

Exercice 2

Soit 1 ≤ p < +∞. On considère l’espace

E = (

x = (x _n ) _n ∈ R ^N , tel que

+∞

X

n=0

(n + 1)|x _n | ^p < +∞

) .

Pour tout k ≥ 0, on note e ^k ∈ R ^N la suite définie par e ^k _n = δ _kn . 1. Pour x ∈ E, on pose kxk E =

P +∞

n=0 (n + 1)|x n | ^p

. Montrer que k · k E est une norme sur E.

2. Montrer que E ⊂ l ^p et que l’on a

kxk l

≤ kxk E , ∀x ∈ E.

3. Vérifier que E est dense dans l ^p . 4. On considère l’ensemble

A = {x ∈ E, tel que kxk E ≤ 1}.

Le but de cette question est de montrer que A est un compact de l ^p .

(a) Soit (x ^k ) k une suite d’éléments de A. Montrer qu’il existe ψ : N → N strictement croissante telle que (x ^ψ(k) ) k converge simplement vers un élément x ∈ R ^N . On rappelle que cela signifie que

∀n ≥ 0, x ^ψ(k) _n − −−− →

k→∞ x n . (b) Montrer que x ∈ A.

(c) Montrer que (x ^ψ(k) ) k converge vers x dans l ^p . Conclure.

5. L’ensemble A est-il un compact de E ? 6. On pose maintenant

S = {x ∈ E, tel que kxk E = 1}.

(a) Montrer que S est un fermé de E.

(b) Soit x ∈ A. Pour tout K ≥ 1, on note T K x la suite obtenue à partir de x en conservant seulement les K premiers termes. Autrement dit

T _K x = (x ₀ , . . . , x _K−1 , 0, . . . ),

puis on pose

y ^K = T K x +

1 − kT K xk ^p _E K + 1

e ^K .

i. Montrer que y ^K ∈ S.

ii. Montrer que ky ^K − T K xk p −−−−−→

K→+∞ 0.

iii. En déduire que (y ^K ) _K converge vers x dans l ^p .

iv. Montrer que A est l’adhérence de S dans l ^p .

Exercice 3

Soit H, (., .)

un espace de Hilbert et A : H → H une application linéaire continue. On suppose que :

— A est symétrique : (Au, v) = (u, Av) pour tous u, v ∈ H.

— A est coercive : il existe α > 0 tel que (Au, u) ≥ αkuk ² pour tout u ∈ H .

Le but de l’exercice est de démontrer que A est un isomorphisme, c’est-à-dire que c’est une bijection d’inverse continu.

1. Montrer tout d’abord que A est injective.

2. Soit b ∈ H fixé. On définit une fonction J : H → R de la façon suivante : J (v) = 1

2 (Av, v) − (b, v), ∀v ∈ H.

(a) Montrer que J est continue sur H . (b) Montrer que

|(b, v)| ≤ 1

2α kbk ² + α

2 kvk ² , ∀v ∈ H.

En déduire que J est minorée sur H. On notera désormais I = inf

H J.

(c) Justifier de l’existence d’une suite minimisante, c’est-à-dire d’une suite (v _n ) _n ⊂ H vérifiant J (v n ) −−−−→

n→∞ I.

(d) Montrer que pour tout u, v ∈ H , on a α

8 ku − vk ² ≤ J (u) + J(v)

2 − J

u + v 2

.

(e) En déduire que la suite (v n ) n est de Cauchy et donc qu’il existe un élément u ∈ H qui vérifie J (u) = I.

(f) Soit v ∈ H . En remarquant que pour tout t ∈ R on a J (u + tv) ≥ J (u), montrer que (Au, v) = (b, v).

(g) En déduire que Au = b et que kuk ≤ ^kbk _α puis conclure.