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P RODUIT SCALAIRE DANS L ’ ESPACE
P RODUIT SCALAIRE DANS L ’ ESPACE
Les maths c'est comme le dentifrice : ça sert à rien de vider le tube pour les grandes occasions si tu t'es pas brossé les dents tous les jours...
M.Luitaud, S.Delobel Dans toute la leçon, le repère
O;~ı , ~ , ~k
désigne un repère orthonormé.
1 E
XTENSION DU PRODUIT SCALAIRE À L’
ESPACE 1.1 DéfinitionSoient −→u et−→v deux vecteurs de l'espace.
Soient A,B et C trois points tels que −−→
AB =−→u et
−→AC =−→v.
Il existe alors au moins un plan P contenantA, B etC.
Le produit scalaire de −→u et −→v dans l'espace, que l'on note −→u · −→v, est par dénition égal au produit scalaire−−→
AB·−→
AC calculé dans le plan P. Dénition 1.
On appelle carré scalaire d'un vecteur −→u, et l'on note −→u2 le réel−→u · −→u. Dénition 2.
LYCÉEBLAISEPASCAL
1
S.DELOBEL M.LUITAUD
Il est donc primordial de savoir calculer un produit scalaire dans le plan. On a le choix pour cela entre plusieurs méthodes (voir ci-dessous) : on choisit la marche à suivre selon les ingrédients dont on dispose. Ces méthodes vues en Première et valables dans le plan s'étendent donc naturellement à l'espace.
Soient −→u et−→v, ou bien −−→ ABet−→
AC deux vecteurs.
On a alors :
−
→u · −→v = 1
2 k−→uk2+k−→vk2− k−→u − −→vk2
−−→ AB·−→
AC = 1
2 AB2+AC2−BC2 Méthode 3 (À l'aide des normes des vecteurs).
Soient−→u et−→v, ou bien−−→ ABet−→
ACdeux vecteurs.
On a alors :
−
→u · −→v =k−→uk × k−→vk ×cos (−→u ;−→v)
−−→ AB·−→
AC =AB×AC×cos\BAC Méthode 4 (À l'aide de l'angle).
A B
C
\BAC
Soient −−→
AB et−−→
CD deux vecteurs.
SoientC0 etD0 les projetés orthogonaux deC et D sur(AB). On a alors :
−−→ AB·−−→
CD=−−→ AB·−−−→
C0D0
Ou soientA0 etB0 les projetés orthogonaux deA etB sur(CD). On a alors :
−−→ AB·−−→
CD=−−→
A0B0·−−→
CD Méthode 5 (À l'aide des projetés).
A C0 D0 B
C
D
A B
A0
B0
C
D
Exercice 1
SABCD est une pyramide régulière, ABCD est un carré de centre O.
Toutes les arêtes ont pour longueur a. Calculer, en fonction de a:
1. −→
SA·−→
SB 2. −→
SA·−→
SC 3. −→
AS·−→
AC
Soient −→u
x y z
et−→v
x0 y0 z0
deux vecteurs de l'espace. Alors :
−
→u · −→v =xx0+yy0+zz0
Il est indispensable ici que le repère soit orthonormé.
Propriété 6 (Expression analytique du produit scalaire).
1. SoitM le point tel que−−→
OM =−→u etmle projeté deM dans le plan déni par
O;−→ i ;−→
j .
a. Montrer queOM2=Om2+mM2.
b. ExprimerOm2 etmM2 en fonction dex,yetz. c. En déduire queOM2=k−→uk2=x2+y2+z2.
2. À l'aide de l'expression du produit scalaire avec les normes, mon- trer que−→u · −→v =xx0+yy0+zz0.
Preuve
Exercice 2
ABCDEF GH est un cube. Les pointsI etJ sont les milieux respectifs de [BF]et[GH]. On se place dans le repère
A;−−→ AD , −−→
AB , −→
AE . 1. Calculer le produit scalaire −→
EI·−→
EJ.
2. En déduire la valeur de IEJd arrondie au degré près.
Exercice 3
Déterminer, si possible, les réelsλpour lesquelles le produit scalaire−→u · −→v est nul.
1. −→u
λ
−2λ 3
et−→v
λ 2 1
2. −→u
λ
−2λ 1
et−→v
λ λ
−1
1.2 Propriétés
Pour tous vecteurs −→u,−→v et−→w de l'espace, et pour tout réel kon a : 1. −→v · −→u =−→u · −→v
2. −→u ·(k−→v) = (k−→u)· −→v =k(−→u · −→v) 3. −→u ·(−→v +−→w) =−→u · −→v +−→u · −→w
4. (−→u +−→v)2 =−→u2+ 2−→u · −→v +−→v2 5. (−→u − −→v)2 =−→u2−2−→u · −→v +−→v2 6. (−→u +−→v)·(−→u − −→v) =−→u2− −→v2 Propriété 7.
Indication : Utiliser les diérentes expressions du produit scalaire.
Preuve
1.3 Vecteurs orthogonaux
Soient −→u et−→v deux vecteurs non nuls de l'espace.
Soient A,B,C etD quatre points tels que−−→
AB=−→u et−−→
CD=−→v.
On dit que −→u et−→v sont orthogonaux lorsque les droites (AB)et (CD) sont orthogo- nales.
Par convention, le vecteur −→
0 est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
Dénition 8.
Deux vecteurs−→u et−→v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
−
→u ⊥ −→v ⇔ −→u · −→v = 0 Théorème 9.
Indication : Utiliser l'expression du produit scalaire avec l'angle.
Preuve
Exercice 4 Les vecteurs −→u
5 4; −3
2 ; 1 2
et−→v
−2 5 ; 2 ; 3
sont-ils orthogonaux ? Justier.
Exercice 5
On considère les droites detd0 de représentations paramétriques respectives :
x= 2−t
y= 1 + 2t (t∈R) z=−3t
et
x=−1 + 3k
y= 1 + 3k (k∈R) z=−3 +k
1. Démontrer que detd0 sont orthogonales.
2. Sont-elles perpendiculaires ? Justier.
Exercice 6
Écrire un algorithme en langage naturel qui, pour deux vecteurs de coordonnées connues, indique s'ils sont orthogonaux ou non.
Exercice 7
ABCDEF GH est un cube d'arête 1. Le point I est le milieu de [HD]etO est le centre de la face EF GH.
On se propose de démontrer que(AO)est perpendiculaire(ECI). 1. a. En écrivant−→
AO=−→
AE+−−→ EOet−−→
EC =−−→ EG+−−→
GC, calculer
−→AO·−−→ EC.
b. Calculer−→
AO·−→
EI. c. Conclure.
2. Refaire l'exercice à l'aide de coordonnées en travaillant dans le repère
D;−−→
DC;−−→
DH;−−→ DA
.
2 É
QUATION CAR TÉSIENNE D’
UN PLAN 2.1 Vecteur normal à un planDire que le vecteur−−→
ABnon nul est normal au planP signie que la droite(AB) est perpendiculaire au planP.
Dénition 10.
Tout vecteur−→n non nul colinéaire à−−→
ABest aussi un vecteur normal de P.
Un vecteur non nul −→n est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.
Théorème 11.
Ce théorème est la version vectorielle de celui droites et plans . Grâce au produit scalaire, il est assez facile maintenant d'en proposer une démonstration.
Une droitedet un planP sont ortho- gonaux si et seulement sidest ortho- gonale à deux droites sécantes deP.
Théorème.
L'implication est immédiate puisque la droite est orthogonale à toute droite du plan, donc en particulier à deux droites sécantes.
Pour la réciproque :
On suppose quedest orthogonale à deux droites sécantesd1 etd2 deP. Soit−→u un vecteur directeur ded.
Soient−→u1 et−u→2 deux vecteurs directeurs respectifs des droitesd1 etd2. Soitd0 une droite deP de vecteur directeur−→v.
Nous devons prouver quedetd0sont orthogonales.
1. Que dire des vecteurs−→v,−u→1 et−u→2? 2. Calculer−→u · −→v.
3. Conclure.
Preuve
Exercice 8
Soient A(1 ; 2 ;−2),B(−1 ; 3 ; 1)etC(2 ; 0 ;−2). Déterminer un vecteur normal au plan(ABC). Exercice 9
On donneA(1 ; −1 ; 3),B(0 ; 3 ; 1),C(2 ; 1 ; 3),D(4 ;−6 ; 2) etE(6 ;−7 ; −1). Démontrer que les points A,B etC dénissent un planP de vecteur normal −−→
DE. 2.2 Équation cartésienne d’un plan
Étant donnés un pointA et un vecteur −→n non nul, il existe un unique plan P passant par Aet de vecteur normal −→n.
Soit −→n un vecteur non nul etP le plan passant parA et de vecteur normal −→n.
Un point M appartient à P si et seulement si
−−→AM · −→n = 0.
Théorème 12 (Caractérisation d'un plan).
SiM est un point de P alors la droite(AM)est incluse dansP. Comme −→n est un vecteur normal deP alors la droite passant parAet de vecteur directeur−→n est orthogonale à(AM). D'où −−→
AM· −→n = 0.
Réciproquement, supposons que−−→
AM· −→n = 0.
SoitH le projeté orthogonal de M surP. En utilisant la relation de Chasles, prouver queM etH sont confondus. Puis conclure.
Preuve
Soient a,b etctrois réels non tous nuls.
Si −→n
a b c
est un vecteur normal d'un plan P alors P a une équation de la forme ax+by+cz+d= 0.
Théorème 13.
SoitA(xA;yA;zA)un point deP. M(x;y;z)∈P⇔. . .
Preuve
La relation ax+by+cz+d= 0 est appelée équation cartésienne deP. Dénition 14.
Un plan admet une innité d'équations cartésiennes. On passe de l'une à l'autre en multi- pliant ou divisant l'équation par un réel non nul.
Exercice 10
On considère le point A(−2 ; 0 ; 5)et le vecteur −→n
2
−6 4
.
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par Aet de vecteur normal −→n. Exercice 11
Soient A(0 ; 2 ; 3),B(−1 ; 3 ; 4) etC(2 ; 5 ;−2).
1. Justier queA,B etC dénissent un planP. 2. Déterminer un vecteur normal−→n de P. 3. En déduire une équation cartésienne de P.
On vient de voir qu'un plan a une équation de la forme ax+by+cz+d= 0. Mais on peut se demander si toute équation de la forme ax+by+cz+d= 0 est l'équation d'un plan.
Soient a,b etctrois réels non tous nuls.
L'ensemble des points M(x;y;z)tel que ax+by+cz+d= 0est un plan de vecteur normal−→n
a b c
. Théorème 15.
SoitE l'ensemble des pointsM tel queax+by+cz+d= 0. Commea,betcsont non tous nuls, l'un au moins des réelsa,boucest diérent de 0.
1. SoitA −da ; 0 ; 0
sia 6= 0. Prouver que A∈ E. (Sib 6= 0ouc 6= 0alors on pose respectivement A 0 ; −db ; 0
ouA 0 ; 0 ; −dc ) 2. Démontrer que−−→
AM· −→n = 0 où−→n(a;b;c). 3. Conclure en utilisant la caractérisation d'un plan.
Preuve
Exercice 12
Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Questions Réponses
1.4x−3y+ 2z= 0 est l'équation d'un plan passant par l'origine. V
F
2.x+ 3z−2y−5 = 0est l'équation d'un plan de vecteur normal −→n
1 3
−2
. V
F
3.4x−6y+ 2z−1 = 0est l'équation d'un plan de vecteur normal−→n
2
−3 1
. V
F
3 P
OSITIONS RELATIVES3.1 Position relative de deux plans
Soient P etP0 deux plans d'équations respectives :
ax+by+cz+d= 0 et a0x+b0y+c0z+d0 = 0. Pour déterminer la position relative de P et de P0 :
On donne les vecteurs−→n et−→
n0 normaux respectivement aux plansP etP0.
S'ils sont colinéaires alors P et P0 sont parallèles. Sinon P et P0 sont sécants. Dans le cas où ils sont sécants, on peut déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection en résolvant le système :
(ax+by+cz+d= 0 a0x+b0y+c0z+d0 = 0
Pour résoudre ce système de deux équations à trois inconnues, l'une des inconnues joue le rôle de paramètre (on pose alors x=t ouy=tou z=t).
Méthode 16.
Exercice 13
Soient P etP0 deux plans d'équations respectives−x+ 2y+z−5 = 0et2x−y+ 3z−1 = 0. 1. Prouver queP etP0 sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d.
Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.
Propriété 17.
Exercice 14
Soient P etP0 les plans d'équations respectives 2x+ 4y+ 4z−3 = 0et2x−5y+ 4z−1 = 0.
Démontrer que P etP0 sont perpendiculaires.
3.2 Position relative d’une droite et d’un plan
Soient P le plan d'équation ax+by +cz+d = 0 et la droite d de représentation paramétrique
x=xA+αt
y=yA+βt t∈R z=zA+γt
.
Pour déterminer la position relative de P et de d:
On donne un vecteur normal −→n de P et un vecteur directeur −→u de d. Si −→n et −→u sont orthogonaux alors P et d sont parallèles. Sinon P et dsont sécants. Dans le cas où ils sont sécants, on peut déterminer les coordonnées de leur point d'intersection en résolvant le système :
ax+by+cz+d= 0
x=xA+αt y =yA+βt z=zA+γt
Pour résoudre ce système, on remplace x,y et z respectivement parxA+αt,yA+βt etzA+γtdans l'équation du plan P. On trouve alors t. Le point d'intersection est le point de dde paramètre ttrouvé.
Méthode 18.
Exercice 15
Soient A(1 ; 2 ;−3)etB(−1 ; 2 ; 0).
Soit P le plan d'équation2x−y+ 3z−2 = 0.
1. Démontrer que le planP et la droite(AB)sont sécants.
2. Déterminer leur point d'intersection.
SoientP le plan d'équationax+by+cz+d= 0et la droite dde représentation paramétrique
x=xA+αt
y=yA+βt t∈R z=zA+γt
. P et d sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal−→n deP est colinéaire à un vecteur directeur−→u ded.
Propriété 19.
Exercice 16
Soient A,B,C etD de coordonnées respectives(2 ; 4 ; 3),(4 ;−2 ; 3),(1 ;−1 ; 1) et(3 ; 3 ; 3). 1. Vérier que les pointsA,B etC ne sont pas alignés et que le vecteur −→n
3 1
−4
est un vecteur normal du plan (ABC).
2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) ainsi qu'une représentation paramé- trique de la droitedpassant par Det perpendiculaire au plan (ABC).
3. En déduire les coordonnées du point H projeté orthogonal de Dsur (ABC).
