Montrer que`p(C) n’est pas un espace pre-hilbertien si p6= 2

UFR de Math´ematiques Master 1 Mention Math´ematiques Universit´e Lille 1 Analyse 2018/2019

M402, Analyse : Feuille No. 6

Exercice 1 (1) Montrer queRⁿmuni de la normek · k_p n’est pas un espace pre-hilbertien sip6= 2. Montrer que`^p(C) n’est pas un espace pre-hilbertien si p6= 2.

(2) Montrer queC([0,1]),R) muni de la normek · k_∞n’est pas un espace pre-hilbertien.

Exercice 2 Soit (H,h ·,·i) un espace de Hilbert. Soit B la boule unit´e ferm´ee deH.

(1) Montrer queB est un ensemble convexe et ferm´e de H.

(2) D´eterminerPB(x).

Exercice 3 Soit H = R avec le produit scalaire usuel. Soit A = [a,+∞) pour a∈R.

(1) En utilisant la caract´erisation variationnelle, montrer queP_A(x) =x si x≥aetPA(x) =asix < a.

(2) Mˆeme question pourB = [a, b], a < b.

Exercice 4 Soit H= (Rⁿ,h ·,·i). Soit

C={x= (x₁,· · ·, x_n)∈Rⁿ:x_j ≥0 (1≤j ≤n)}.

(1) Montrer queC est un ensemble convexe et ferm´e deH.

(2) D´eterminerP_C(x).

(3) Soit l’espace de Hilbert complexeH=Cⁿ, muni du produit scalaire canonique. On pose

D={(z, z,· · ·, z) :z∈C}.

CalculerP_D(x).

Indication : on pourra remarquer que Dest un sous-espace vectoriel de dimension 1.

Exercice 5 (1) SoitH =`²(N,R) etK ={x∈H:x_n≥0∀n}. D´eterminer la projectionp_K de H sur K et en d´eduire la distancedist(x, K), x∈H.

2) SoitE =C([0,1]), muni de la norme sup. SoitC ={f ∈E:f(1/2) = 1}.

a) Montrer que C est un ensemble convexe et ferm´e. calculer d(0, C).

b) Caract´eriser {f ∈C:d(0, C) =d(0, f)}.

1

Exercice 6 Soit E =C[0,1] muni du produit scalaire deL²[0,1]. Soit a∈ ]0,1[. Notons par Fa={f ∈E; f|[0,a]= 0}.

1) Montrer queFa est ferm´e dansE et d´eterminer F_a^⊥. 2) Montrer queFa⊕F_a^⊥6=E.

3) Expliquer.

Exercice 7 SoitP etQdeux projections orthogonales d´efinies surH. Mon- trer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :

(i)P Q=QP =P; (ii) Im(P)⊂Im(Q) ; (iii) ker(Q)⊂ker(P) ;

(iv) (P x, x)≤(Qx, x), ∀x∈H; (v)kP xk ≤ kQxk, ∀x∈H.

Exercice 8 Soit P ∈ L(H) tel que P²=P,P 6= 0 et soit M l’image deP. 1) Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i)P est la projection orthogonale surM; (ii)kPk= 1 ;

(iii)∀x∈H,|(P x, x)| ≤ kxk².

(Indication : Pour (iii) implique (i), consid´erer (P(x+ty), x+ty), o`ux∈M, y∈M^⊥, ett >0.)

2) Montrer que P est la projection orthogonale surM si et seulement si P est auto-adjointe, i.e. P^∗ =P.

Exercice 9 (Th´eor`eme de Lax-Milgram). SoitH un espace de Hilbert r´eel.

On consid`ere une forme bilin´eaire a sur H et on suppose qu’il existe deux constantes C >0 etα >0 telles que

|a(x, y)| ≤Ckxkkyk et a(x, x)≥αkxk² (x, y∈H).

(1) Montrer l’existence d’un op´erateur T ∈ L(H) tel que a(x, y) = hT x, yi pour x, y∈H.

(2) Montrer queT(H) est dense dans H.

(3) Montrer que kT xk ≥ αkxk pour tout x ∈ H. En d´eduire que T est injectif `a image ferm´ee.

(4) En d´eduire queT est un isomorphisme de H sur lui mˆeme.

Soit maintenantLune forme lin´eaire continue surH.

(5) Montrer qu’il existe un unique u ∈ H tel que L(y) = a(u, y) pour tout y∈H.

(6) On suppose que a est sym´etrique. Soit Φ(x) = ¹₂a(x, x) −L(x).

Montrer que le pointu v´erifie Φ(u) = minx∈HΦ(x).

Exercice 10 Calculer min

Z 1

−1

x²−a−bx

2 dx: (a, b)∈R²

2

et

min Z 1

−1

x³−a−bx−cx²

2 dx: (a, b, c)∈C³

.

Exercice 11 (Polynˆomes de Legendre) On d´efinit, pour n ∈ N et x ∈ [−1,1],

P_n(x) = 1 2ⁿn!

dⁿ

d xⁿ( (x²−1)ⁿ . (1) Calculer P0,P1,P2.

(2) Soit, pourn∈N, en= ²ⁿ⁺¹₂ 1/2

Pn. Montrer que (en)n≥0 forme un syst`eme orthonormal dans L²([−1,1]).

(3) Montrer que (e_n)n≥0 est une base hilbertienne.

Exercice 12 SoitH un espace de Hilbert complexe etT ∈ L(H).

1) a) (Question de cours) Montrer que ∀x, y∈H.

(T x, y) = 1

4[(T(x+y), x+y)−(T(x−y), x−y)+i(T(x+iy), x+iy)−i(T(x−iy), x−iy)]

b) En d´eduire que si∀x∈H, (T x, x) = 0 alorsT = 0.

2) Montrer que : [∀x∈H,(T x, x)∈R] si et seulement siT =T^∗. Si c’est le cas, en d´eduire que σ(T)⊆R.

3) Montrer que si,∀x∈H, (T x, x)≥0 alorsσ(T)⊆R⁺= [0,+∞[.

Exercice 13 SoitH un espace de Hilbert surC.

1) Soit U : H → H une application lin´eaire. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes

(i)U est une isom´etrie (i.e.kU(x)k=kxk pour toutx∈H) ; (ii) (U x, U y) = (x, y) pour tout (x, y)∈H²;

(iii)U^∗U =I.

2) Montrer que U est unitaire (i.e. U⁻¹ =U^∗) si et seulement siU est une isom´etrie surjective et si et seulement si U est une isom´etrie qui commute avec son adjoint.

(3) On suppose que H est s´eparable. Justifier que l’image par l’unitaire U d’une base hilbertienne est de nouveau une base hilbertienne.

(4) Montrer que siU est unitaire alorsσ(U)⊆T={z∈C; |z|= 1}.

Indication : on pourra remarquer que siT est un op´erateur inversible, alorsσ(T⁻¹) =₁

λ :λ∈σ(T) et se rappeler que σ(T)⊂D(0,kTk).

3