DEMONSTRATIONS A CONNAITRE POUR LE BAC.

DEMONSTRATIONS A CONNAITRE POUR LE BAC.

SUITES.

( )

^{un et}

( )

^vn sont deux suites. Si à partir d un certain rang n0, un vn et si lim

n

un , alors lim

n

vn

Démonstration : Soit A un réel.

lim

n

u_n donc il existe un entier naturel p tel que, pour tout n p, u_n > A.

Soit N le plus grand des deux nombres p et n0.

Pour tout n N, on a vn un A et donc vn ϵ ]A ; + [.

Ainsi, lim

n

v_n .

( )

^un et

( )

^vn sont deux suites. Si à partir d un certain rang n₀, u_n v_n et si lim

n

v_n , alors lim

n

u_n Démonstration :

Soit b un réel.

lim

n

vn donc il existe un entier naturel p tel que, pour tout n p, vn < b Soit N le plus grand des deux nombres p et n0.

Pour tout n N, on a u_n v_n b et donc u_n ϵ ] ; b[.

Ainsi, lim

n

u_n .

Limites de suites géométriques : Soit q un réel.

Si q 1, alors lim

n

qⁿ Si − 1 q 1, alors lim

n

qⁿ = 0 Si q 1,alors qⁿ n a pas de limite.

Démonstration :

Soit q un réel tel que q > 1.

Alors q = 1 + a avec a > 0

On a q = 1 + a ; q² = 1 + 2a + a² ; q³ = 1 + 3a² + 3a + a³ ... On cherche donc à comparer (1 a)ⁿ et 1 aⁿ.

 Montrons par récurrence sur n que, pour tout n de , (1 a )ⁿ 1 na.

Initialisation : pour n = 0 : (1 a )⁰ 1 et 1 + 0a = 1 et on a bien 1 1. La prop est vraie pour n = 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que (1 a)^p 1 + pa.

Montrons que (1 a )^{p 1} 1 (p 1)a

(1 a )^{p 1} (1 a )^p(1 a ) (1+pa)(1+a) par (HR)

Or (1+pa)(1+a)=1+pa+a+pa² = 1 + (p + 1)a + pa² 1 + (p + 1)a car pa² 0 (p entier naturel) Ainsi (1 a)^{p 1} 1 (p 1)a

Conclusi on : pour tout n de , (1 a)ⁿ 1 na.

 on a q = 1 + a avec a > 0.

lim

n

1 na =+ car a > 0 et on a prouvé que pour tout n de , (1 a )ⁿ 1 na donc, d apr ès l e th de comparaison, lim

n

qⁿ .

Soit q un réel tel que < q < 1.

Posons p = 1 q> 1.

On a alors q = 1

p donc qⁿ = 1

pⁿ et , d après ce qui précède, lim

n

pⁿ donc lim

n

qⁿ 0.

Soit q un réel tel que 1 < q < 0.

Posons p = q. On a 0 < < 1 donc lim

n

pⁿ 0 d après ce qui précède.

qⁿ = ( p )ⁿ = ( 1)n

( )

pⁿ . Alors pⁿ qⁿ pⁿ et lim

n

pⁿ lim

n

pⁿ 0 donc d après le th des gendarmes, lim

n

qⁿ 0.

FONCTIONS

Il existe une et une seule fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f(0) = 1.

Démonstration :

L’existence d’une telle fonction f est admise. Prouvons son unicité.

Montrons qu’une telle fonction ne s’annule pas sur : Soit une fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f(0) = 1.

Soit h la fonction définie sur par h(x) = f(x)  f( x).

h est dérivable sur puisque f l’est et pour tout x de , h’(x) = f ’(x)  f( x) + f(x)  ( f ’( x)) = 0 car f ’ = f.

La fonction h est donc constante sur et pour tout x de , h(x) = h(0) = 1  1 = 1.

Ainsi pour tout x de , f(x)  f( x) = 1.

Ainsi pour tout réel x, f(x)  0.

Montrons l’unicité.

Soient f et g deux fonctions dérivables sur telles que f ’ = f, g’ = g et f(0) = g(0) = 1.

On a montré que les fonctions f et g ne s’annulaient pas sur . Ainsi la fonction f

g est définie et dérivable sur et (f

g)’ = f ’g  fg’

g² = fg  fg

g² = 0. La fonction f

g est donc constante sur : Pour tout x de , f

g(x) = f

g(0) = 

 = 1 et donc f(x) = g(x).

On a donc montré que f = g.

On a donc montré l’unicité de la fonction.

lim

x

e^x =  . et lim

x

e^x = 0.

Démonstration :

Pour tout x de , on pose f (x) = e^x  x.

f est dérivable sur et pour tout x de , f ′ (x) = e^x  1.

e^x 1 0 e^x 1 x 0 d après le corollaire.

On a donc le tableau de variation :

x  0+

f ’(x) f(x)

1

Donc pour tout x de , f (x) 1 > 0 c'est-à-dire e^x  x.

lim

x

x = + donc lim

x

e^x = +

En : on pose X x. e^x e ^X 1 e^X lim

x

X donc lim

x

e^X = + et lim

x

1

e^X 0, c'est-à-dire lim

x

e^x = 0.

ESPACE

Une droite d est orthogonale à toute droite d un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Démonstration :

 Si d est orthogonale à toutes les droites d un plan P, alors elle est orthogonale à deux droites sécantes de P.

 Si d est orthogonale à deux droites sécantes d1 et d2 de P. Soient u1, u2 et v des vecteurs directeurs respectifs des droites d1, d2 et d.

d est orthogonale à d1 donc v est orthogonal à u1, et donc v .u1 0.

d est orthogonale à d2 donc v est orthogonal à u2, et donc v .u2 0.

Soit une droite du plan P et w un vecteur directeur de .

Les droit es d1 et d2 sont sécantes donc u1 et u2 ne sont pas colinéaires.

u1, u2 et w étant coplanaires, il existe des réels a et b tels que w au1 + bu2. Alors v . w v .(au₁ + bu₂) =a v .u₁ + b v .u₂ 0a 0b 0.

v et w sont orthogonaux donc d et sont or thogonal es.

Un plan de vecteur normal n(a b c) a une équation de la forme a x b y cz d 0.

Réciproquement, un ensemble d'équation ax b y cz d 0 (avec a, b et c non nuls tous les trois) est un plan de vecteur normal n(a b c).

Démonstration :

 Soit P un plan de vecteur normal n (a b c) et A

(

^{xA yA zA}

)

) un point de P.

M(x y z )ϵP AM. n 0 Or AM

(

^{x xA y yA z zA}

)

) et n (a b c) a

(

^{x xA}

)

^{) b}

(

^{y yA}

)

^{) c}

(

^{z zA}

)

^{) 0}

ax by cz

(

^{axA byA czA}

)

^{) 0}

On pose d

(

^{axA b yA czA}

)

^).

P a pour équation ax b y cz d 0

 Soient a, b et c trois réels non tous nuls et d un réel et soit (E) l ensemble d′équation ax by cz d 0.

a, b et c n’étant pas tout nuls, on suppose a ≠ 0. (on raisonne de même si b ≠ 0 ou c ≠ 0).

Cherchons les coordonnées d’un point de (E) : A



 d

a 0 0 est un point de (E).

Soit n (a;b;c) et soit P le plan passant par A de vecteur normal n . M(x;y;z ) ϵP AM. n =0 a





x ^d

a +by+cz=0 ax+by+cz=0 M ϵ (E).

(E) est donc le plan P.

PROBABILITES ET STATISTIQUES.

Si les événements A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.

Démonstration :

Soient A et B deux événements indépendants.

On a alors P(A B) P(A ) P(B ) [1]

D autre part B (B A) B A avec B A et B A incompatibles donc P(B ) P(A B) P

(

^{A B [2]}

)

On a alors, d’après [1] et [2] : P(B) P(A ) P(B ) P

(

A B

)

P(B )

(

^{1 P}

( )

A

)

P(B ) P

(

A B

)

P(B ) P(B ) P

( )

A P(B ) P

(

A B

)

P

( )

A P(B ) P

(

A B

)

Ainsi A et B sont indépendants.

Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre , alors E(X) 1

Démonstration :

Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre 0.

Alors la loi de X a pour densité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f (x) e ^x.

 Soit x un réel strictement positif. Calculons 

0

xtf (t )dt

Soit g(t ) tf (t ). On dérive g et on obtient g t ) e ^t g(t ) et donc g(t ) e ^t 1 g (t ) Une primitive de g est donc x 1

e ^t 1 g(t ) Alors 

0

xtf (t )dt 1

e ^x 1

x e ^x 1

0 = e ^x

xe ^x 1

 Cherchons lim

x 

0

xtf (t )dt :

x

e ^x

0 Posons X x.

xe ^x X

e^X lim

x

X lim

x 

0

xtf (t )dt = 0 0 1 = 1

. lim

X

Xe^X 0 Ainsi E(X) 1

.

Propriété : Détermination d’un intervalle centré en 0 de probabilité donnée

Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 1), alors pour tout nombre réel   ]0 ; 1[, il existe un unique réel u > 0 tel que P u Zu 1 .

Démonstration : Soit t un réel positif.

On pos e F(t ) P

(

^tZt

)

^{2P (0 Z t ) 2}_^

0

t (x)dx F(t ) aire de la partie colorée.

Alors F est dérivable sur + et F 2 (voir cours sur le calcul intégral).

* F est continue et strictement croissante car sa dérivée est 2 : t e

t² 2 > 0.

* F(0) P(Z 0) 0

* lim

t

F(t ) 1 ( aire sous la courbe de ).

De plus, pour tout nombre réel  de ]0 ; 1[, 1   ]0 ; 1[ donc d’après le corollaire du TVI, il existe un unique u 0 tel que F(u ) 1 , c’est-à-dire tel que P u Zu 1

Théorème : Soit X_n une variable aléatoire suivant la loi B(n p) et F_n Xn

n la fréquence de succès.

Pour tout de ]0 1[, on pose In





 p u p(1 p) 

n p u p(1 p)

n où u est le réel > 0 défini dans le II tel que P u Zu 1 , où Z suit la loi N(0 1).

Alors lim

n

P

(

^FnϵIn

)

1 . I_n est l intervalle de fluctuation asymptotique de F_n au seuil 1 . Démonstration :

On pose Zn

Xn np np (1−p ). F_nϵIn p−u p (1−p )

n Xn

n p u p(1−p)

n

u Zn u

D après le th de Moivre-Laplace, lim

n

P u Zn u P u Z u où Z suit la loi N(0 1) Or, par définition de u , P u Zu 1 . Ainsi, lim

n

P

(

^FnϵIn

)

1 .