Seconde 1 Exercices sur la géométrie dans l'espace : E5. 2007 2008
E5 Orthogonalité d'une droite et d'un plan.
P 184 n ° 37.
1.C est un cercle de diamètre [ AB ].
M est un point de C.
Donc le triangle MAB est un triangle rectangle en M.
Autrement dit : les droites ( MA ) et ( MB ) sont perpendiculaires.
2. M est le point d'intersection de la droite ( MB ) et du plan ( AMN ).
( MB ) et ( MA ) sont perpendiculaires d'après la question 1.
( MB ) et ( NA ) sont perpendiculaires
car ( AN ) est une droite orthogonale au plan P.
Donc ( AN ) est perpendiculaire à toute droite de P.
D'où la droite ( MB ) est orthogonale à deux droites sécantes du plan ( AMN ).
Donc la droite ( MB ) est orthogonale au plan ( AMN ).
3. ( MN ) est une droite du plan ( AMN ).
D'où ( MB ) est orthogonale à la droite ( MN ).
P 184 n ° 38.
1. a. B est le point d'intersection de la droite ( BB' ) et du plan ( ABC ).
( BB ' ) est perpendiculaire à ( BC ) car la face BCC'B' est un rectangle.
( BB' ) est perpendiculaire à ( BA ) car la face ABB'A' est un rectangle.
Donc ( BB' ) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan ( ABC ) et passant par B.
Donc ( BB' ) est orthogonale au plan ( ABC ).
b. ( AH ) est une droite du plan ( ABC ).
( BB' ) est une droite orthogonale au plan ( ABC ).
Or si une droite ( BB' ) et un plan ( ABC ) sont orthogonaux
Alors ( BB' ) est orthogonale à toute droite contenue dans le plan ( ABC ).
En particulier ( BB' ) et ( AH ) sont orthogonales.
2. a. ( AH ) est orthogonale à ( BC ) car H est le projeté orthogonal de A sur ( BC ).
( AH ) est orthogonale à ( BB' ) d'après la question 2.
D'après la propriété : si une droite ( AH ) est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan ( BCC'B') alors la droite ( AH ) est orthogonale au plan ( BCC'B' ).
b. ( AH ) est orthogonale à ( HB' ) car ( AH ) est orthogonale au plan ( BCC'B' ).
Donc AHB' est un triangle rectangle en H.
De la même façon, AHC' est un triangle rectangle en H.
P 184 n ° 39.
1. ( SO ) est la hauteur de la pyramide SABCD.
Donc ( SO ) est orthogonale au plan ( ABCD ).
Ainsi ( SO ) est orthogonale à toute droite contenue dans le plan ( ABCD ).
En particulier, ( SO ) est orthogonale à la droite ( BC ).
2. I est le milieu du segment [ BC ].
O est le centre de ABCD.
COB est donc un triangle rectangle et isocèle en O.
Ainsi la droite ( OI ) est une médiane mais aussi une hauteur du triangle ( COB ).
Donc la droite ( CB ) est orthogonale à la droite ( OI ) et aussi à la droite ( SO ).
Or, si une droite d est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan P, alors d est orthogonale à P.
Donc ( BC ) est orthogonale au plan ( SOI ).
