Produit scalaire dans l’espace
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2019-2020
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u et→v deux vecteurs de l’espace. SoientA,BetC trois points tels que→u=
−→
ABet→v=
−→
AC.
Il existe au moins un planP contenant les pointsA,BetC.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
On appelle produit scalaire de l’espace de →u et →v, noté . . . .
Définition
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
On appelle produit scalaire de l’espace de →u et →v, noté
→u ·→v, le produit scalaire
−→
AB·
−→
ACdans le planP.
Définition
On appelle produit scalaire de l’espace de →u et →v, noté
→u ·→v, le produit scalaire
−→
AB·
−→
ACdans le planP.
Définition
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=1 2
||→u +→v ||2− || →u ||2− ||→v ||2
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=1 2
||→u +→v ||2− || →u ||2− ||→v ||2 . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=1 2
||→u +→v ||2− || →u ||2− ||→v ||2
= 1 2
||→u ||2+||→v ||2− ||→u −→v ||2
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Définitions Propriétés Orthogonalité
On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=1 2
||→u +→v ||2− || →u ||2− ||→v ||2
= 1 2
||→u ||2+||→v ||2− ||→u −→v ||2
• si→u=
→
0 ou
→v=
→
0 , alors . . . .
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On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=1 2
||→u +→v ||2− || →u ||2− ||→v ||2
= 1 2
||→u ||2+||→v ||2− ||→u −→v ||2
• si→u=
→
0 ou
→v=
→
0 , alors
→u ·→v=0.
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Définitions Propriétés Orthogonalité
On a ainsi, (rappels de première) :
• →u ·→v=1 2
||→u +→v ||2− || →u ||2− ||→v ||2
= 1 2
||→u ||2+||→v ||2− ||→u −→v ||2
• si→u=
→
0 ou
→v=
→
0 , alors
→u ·→v=0.
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→u ·→v=. . . . Définition(Définition avec l’angle :)
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
→u ·→v=||→u || × ||→v || ×cos(BAC)[ Définition(Définition avec l’angle :)
→u ·→v=||→u || × ||→v || ×cos(BAC)[ Définition(Définition avec l’angle :)
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Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=. . . . Définition
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=
−→
AB·
−→
AH=
−→
AK ·
−→
AC, donc : Définition
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=
−→
AB·
−→
AH=
−→
AK ·
−→
AC, donc :
−→
AB·
−→
AC=. . . . Définition
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=
−→
AB·
−→
AH=
−→
AK ·
−→
AC, donc :
−→
AB·
−→
AC=AB×AH si
−→
ABet
−→
AH sont de même sens, Définition
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=
−→
AB·
−→
AH=
−→
AK ·
−→
AC, donc :
−→
AB·
−→
AC=AB×AH si
−→
ABet
−→
AH sont de même sens,
−→
AB·
−→
AC=. . . . Définition
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=
−→
AB·
−→
AH=
−→
AK ·
−→
AC, donc :
−→
AB·
−→
AC=AB×AH si
−→
ABet
−→
AH sont de même sens,
−→
AB·
−→
AC=−AB×AHsi
−→
ABet
−→
AHsont de sens différents.
Définition
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Définition avec le projeté orthogonal :
SiH est le projeté orthogonal deC sur(AB)etK le pro- jeté orthogonal deBsur(AC), alors :
−→
AB·
−→
AC=
−→
AB·
−→
AH=
−→
AK ·
−→
AC, donc :
−→
AB·
−→
AC=AB×AH si
−→
ABet
−→
AH sont de même sens,
−→
AB·
−→
AC=−AB×AHsi
−→
ABet
−→
AHsont de sens différents.
Définition
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Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
→
u ·→u = Propriété
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
→
u ·→u =|| →u ||2 =→u2
→
u ·→v = Propriété
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
→
u ·→u =|| →u ||2 =→u2
→
u ·→v =→v ·→u
→
u ·(→v +w) =→ Propriété
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
→
u ·→u =|| →u ||2 =→u2
→
u ·→v =→v ·→u
→
u ·(→v +w) =→ →u ·→v +→u ·w→ (k →u)·→v =
Propriété
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
→
u ·→u =|| →u ||2 =→u2
→
u ·→v =→v ·→u
→
u ·(→v +w) =→ →u ·→v +→u ·w→ (k →u)·→v =k(→u ·→v) =→u ·(k →v) Propriété
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Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
(→u +→v)2= Propriété
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
(→u +→v)2=→u2+2→u ·→v +→v2 (→u −→v)2=
Propriété
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
(→u +→v)2=→u2+2→u ·→v +→v2 (→u −→v)2=→u2−2→u ·→v +→v2 (→u +→v)·(→u −→v) =
Propriété
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u, →v etw→trois vecteurs de l’espace et k un réel.
Alors :
(→u +→v)2=→u2+2→u ·→v +→v2 (→u −→v)2=→u2−2→u ·→v +→v2 (→u +→v)·(→u −→v) =→u2−→v2
Propriété
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Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si . . . .
Remarque
Le vecteur nul est . . . .
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si →u ·→v=0.
Propriété
Remarque
Le vecteur nul est . . . .
Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si →u ·→v=0.
• Si(x;y;z)et(x′;y′;z′)sont les coordonnées respec- tives des vecteurs →u et →v dans un repère orthonormé, alors :
. . . . Remarque
Le vecteur nul est . . . .
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Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si →u ·→v=0.
• Si(x;y;z)et(x′;y′;z′)sont les coordonnées respec- tives des vecteurs →u et →v dans un repère orthonormé, alors :
→
u ·→v=xx′+yy′+zz′ et ||→u ||= q
x2+y2+z2 Propriété
Remarque
Le vecteur nul est . . . .
Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si →u ·→v=0.
• Si(x;y;z)et(x′;y′;z′)sont les coordonnées respec- tives des vecteurs →u et →v dans un repère orthonormé, alors :
→
u ·→v=xx′+yy′+zz′ et ||→u ||= q
x2+y2+z2
Remarque
Le vecteur nul est . . . .
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Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Définitions Propriétés Orthogonalité
Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si →u ·→v=0.
• Si(x;y;z)et(x′;y′;z′)sont les coordonnées respec- tives des vecteurs →u et →v dans un repère orthonormé, alors :
→
u ·→v=xx′+yy′+zz′ et ||→u ||= q
x2+y2+z2 Propriété
Remarque
Le vecteur nul estorthogonal à tous les vecteurs.
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Soient→u et→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
• Les vecteurs →u et →v
sont orthogonaux si et seulement si →u ·→v=0.
• Si(x;y;z)et(x′;y′;z′)sont les coordonnées respec- tives des vecteurs →u et →v dans un repère orthonormé, alors :
→
u ·→v=xx′+yy′+zz′ et ||→u ||= q
x2+y2+z2
Remarque
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
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Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Un vecteur normal →n à un plan P est
. . . . . . . .
Définition
Un vecteur normal→n à un planP estun vecteur directeur d’une droite orthogonale àP.
Définition
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Un vecteur normal→n à un planP est un vecteur directeur d’une droite orthogonale àP.
Définition
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Une droite d est orthogonale à toute
droite d’un plan P si et seulement si
. . . . . . . .
Théorème
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Une droite d est orthogonale à toute droite d’un plan P si et seulement sielle est orthogonale à deux droites sé- cantesd1etd2de ce plan.
Théorème
Une droite d est orthogonale à toute droite d’un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sé- cantesd1etd2de ce plan.
Théorème
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Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
⇒: sid est orthogonale à toute droite du planP, . . . . . . . .
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Preuve (exigible)
⇒: sid est orthogonale à toute droite du planP, . . . . . . . .
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Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
⇒: sid est orthogonale à toute droite du planP, . . . . . . . .
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Preuve (exigible)
⇒: sid est orthogonale à toute droite du planP,elle est en particulier orthogonale aux droitesd1etd2contenues dansP.
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Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors . . . . . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
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Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, donc . . . . . . . . . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, doncles vecteursv→1etv→2
ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan P. Ainsi, il existe deux réelsx ety tels quew=→ x v→1+y v→2.
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Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, donc les vecteursv→1etv→2
ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan P. Ainsi, il existe deux réelsx ety tels quew→=x v→1+y v→2. On a alors :→u ·w=. . . .→
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⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, donc les vecteursv→1etv→2
ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan P. Ainsi, il existe deux réelsx ety tels quew→=x v→1+y v→2. On a alors :→u ·w=→ →u ·(x v→1+y v→2) =x →u ·v→1+y →u ·v→2=0.
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Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, donc les vecteursv→1etv→2
ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan P. Ainsi, il existe deux réelsx ety tels quew→=x v→1+y v→2. On a alors :→u ·w=→ →u ·(x v→1+y v→2) =x →u ·v→1+y →u ·v→2=0.
Donc les vecteurs→u etw→. . . . . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, donc les vecteursv→1etv→2
ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan P. Ainsi, il existe deux réelsx ety tels quew→=x v→1+y v→2. On a alors :→u ·w=→ →u ·(x v→1+y v→2) =x →u ·v→1+y →u ·v→2=0.
Donc les vecteurs→u etw→sont orthogonaux, et donc la droited est orthogonale à la droite∆.
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Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
⇐: réciproquement on note→u,v→1etv→2des vecteurs directeurs des droitesd,d1etd2.
Commed est orthogonale àd1etd2, alors→u ·v→1=0 et
→
u ·v→2=0.
Soit∆une droite du planP, de vecteur directeurw.→
Les droitesd1etd2sont sécantes, donc les vecteursv→1etv→2
ne sont pas colinéaires, et constituent donc une base du plan P. Ainsi, il existe deux réelsx ety tels quew→=x v→1+y v→2. On a alors :→u ·w=→ →u ·(x v→1+y v→2) =x →u ·v→1+y →u ·v→2=0.
Donc les vecteurs→u etw→sont orthogonaux, et donc la droited est orthogonale à la droite∆.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
P etP′ sont deux plans, de vecteurs normaux respectifs
→
n et
→
n′. Dire que les plansP etP′ sont perpendiculaires signifie que . . . .
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
P etP′ sont deux plans, de vecteurs normaux respectifs
→
n et
→
n′. Dire que les plansP etP′ sont perpendiculaires signifie que→n ·
→
n′=0.
Propriété
P etP′ sont deux plans, de vecteurs normaux respectifs
→
n et
→
n′. Dire que les plansP etP′ sont perpendiculaires signifie que→n ·
→
n′=0.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
L’espace est muni d’un repère orthonormé(O;
→
i;
→
j;
→
k).
Un plan P de vecteur normal →n (a;b;c) non nul admet une équation cartésienne de la forme . . . .
. . . . Théorème
L’espace est muni d’un repère orthonormé(O;
→
i;
→
j;
→
k).
Un plan P de vecteur normal →n (a;b;c) non nul admet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d =0 avecd ∈R.
Théorème
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
L’espace est muni d’un repère orthonormé(O;
→
i;
→
j;
→
k).
Un plan P de vecteur normal →n (a;b;c) non nul admet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d =0 avecd ∈R.
Réciproquement, si a, b et c sont trois réels non tous nuls, l’ensemble des points M(x;y;z) tels que . . . .
. . . . Théorème
L’espace est muni d’un repère orthonormé(O;→i;
→
j;→k).
Un plan P de vecteur normal →n (a;b;c) non nul admet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d =0 avecd ∈R.
Réciproquement, sia,betcsont trois réels non tous nuls, l’ensemble des pointsM(x;y;z) tels queax +by+cz+ d = 0, avec d ∈ R, est un plan de vecteur normal →n (a;b;c).
Théorème
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
L’espace est muni d’un repère orthonormé(O;→i;
→
j;→k).
Un plan P de vecteur normal →n (a;b;c) non nul admet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d =0 avecd ∈R.
Réciproquement, sia,betcsont trois réels non tous nuls, l’ensemble des pointsM(x;y;z) tels queax +by+cz+ d = 0, avec d ∈ R, est un plan de vecteur normal →n (a;b;c).
Théorème
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Preuve (exigible)
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔a(x −xA) +b(y −yA) +c(z−zA) =0
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔a(x −xA) +b(y −yA) +c(z−zA) =0
⇔. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔a(x −xA) +b(y −yA) +c(z−zA) =0
⇔ax+by+cz −axA−byA−czA=0
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔a(x −xA) +b(y −yA) +c(z−zA) =0
⇔ax+by+cz −axA−byA−czA=0
⇔. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔a(x −xA) +b(y −yA) +c(z−zA) =0
⇔ax+by+cz −axA−byA−czA=0
⇔ax+by+cz +d =0 avecd =−axA−byA−czA.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve (exigible)
SoitA(xA;yA;zA)un point deP.
M(x;y;z)∈P⇔
−→
AMet→n sont orthogonaux⇔
−→
AM·→n=0
⇔a(x −xA) +b(y −yA) +c(z−zA) =0
⇔ax+by+cz −axA−byA−czA=0
⇔ax+by+cz +d =0 avecd =−axA−byA−czA.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le point . . . . . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by+cz+d =0. Et doncA∈E.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=. . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=a(x+d/a) +b(y−0) +c(z−0) =ax+by+cz+d =0.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=a(x+d/a) +b(y−0) +c(z−0) =ax+by+cz+d =0.
E est donc l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels que . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=a(x+d/a) +b(y−0) +c(z−0) =ax+by+cz+d =0.
E est donc l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels que
−→
AM ·→n=0.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=a(x+d/a) +b(y−0) +c(z−0) =ax+by+cz+d =0.
E est donc l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels que
−→
AM ·→n=0.
Donc l’ensembleE est . . . . . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=a(x+d/a) +b(y−0) +c(z−0) =ax+by+cz+d =0.
E est donc l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels que
−→
AM ·→n=0.
Donc l’ensembleE estle plan passant parAet de vecteur normal→n (a;b;c).
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Réciproquement :
Supposons par exemple quea6=0 (a,betc non tous nuls).
On noteE l’ensemble des pointsM(x;y;z)vérifiant l’équation ax +by +cz+d =0.
Alors le pointA(−d/a;0;0)vérifie l’équation ax +by +cz+d =0. Et doncA∈E.
Soit un vecteur→n (a;b;c). Pour tout pointM(x;y;z), on a :
−→
AM ·→n=a(x+d/a) +b(y−0) +c(z−0) =ax+by+cz+d =0.
E est donc l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels que
−→
AM ·→n=0.
Donc l’ensembleE est le plan passant parAet de vecteur normal→n (a;b;c).
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Remarque
L’équation cartésienne d’un plan n’est pas unique.
Par exemple, le plan d’équationx+y+3z+2=0 a aussi pour équation . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Remarque
L’équation cartésienne d’un plan n’est pas unique.
Par exemple, le plan d’équationx+y+3z+2=0 a aussi pour équation2x+2y+6z+4=0.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Remarque
L’équation cartésienne d’un plan n’est pas unique.
Par exemple, le plan d’équationx+y+3z+2=0 a aussi pour équation 2x+2y+6z+4=0.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Si les triplets(a;b;c)et(a′;b′;c′)ne sont pas proportion- nels, le système
ax+by+cz+d = 0 a′x+b′y +c′z+d′ = 0
caractérise . . . . . . . .
Propriété
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Si les triplets(a;b;c)et(a′;b′;c′)ne sont pas proportion- nels, le système
ax+by+cz+d = 0 a′x+b′y +c′z+d′ = 0
caractériseune droite et il est appelé système d’équations cartésiennes de cette droite.
Propriété
Si les triplets(a;b;c)et(a′;b′;c′)ne sont pas proportion- nels, le système
ax+by+cz+d = 0 a′x+b′y +c′z+d′ = 0
caractérise une droite et il est appelé système d’équations cartésiennes de cette droite.
Propriété
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve
Si les vecteurs→n (a;b;c)et
→
n′ (a′;b′;c′)ne sont pas colinéaires, alors les plansPetP′ d’équations respectives ax +by +cz+d =0 eta′x+b′y +c′z+d′ =0 sont . . . . . . . .
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Preuve
Si les vecteurs→n (a;b;c)et
→
n′ (a′;b′;c′)ne sont pas colinéaires, alors les plansPetP′ d’équations respectives ax +by +cz+d =0 eta′x +b′y+c′z+d′=0 sontsécants selon une seule droite.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
Produit scalaire de deux vecteurs Equations cartésiennes de l’espace
Vecteur normal à un plan Equations cartésiennes d’un plan Equations cartésiennes d’une droite
Preuve
Si les vecteurs→n (a;b;c)et
→
n′ (a′;b′;c′)ne sont pas colinéaires, alors les plansPetP′ d’équations respectives ax +by +cz+d =0 eta′x +b′y+c′z+d′=0 sont sécants selon une seule droite.
A. OLLIVIER Produit scalaire dans l’espace
