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P RODUIT SCALAIRE DANS L ’ ESPACE
FICHE RÉFLEXES TERMINALES
Pour calculer un produit scalaire dans l'espace
je choisis la formule la mieux adaptée à la situation. En parti- culier si on a les coordonnées des vecteurs dans un repère ortho- normé, on peut utiliser la formule~u~v˙ =xx0+yy0+zz0.
Pour démontrer que deux
vecteurs sont orthogonaux je montre que le produit scalaire est nul
Pour calculer la distance entre deux points de l'es-
pace j'utilise la formule du cours...
Si je connais deux vecteurs directeurs ~u et~v d'un plan et que je cherche un vecteur normal~nà ce plan
j'écris que~n~u˙ = 0et ~n~v˙ = 0et je résous le système d'équations alors obtenu (en faisant comme si une des trois inconnues était connue...). Je trouve une famille de vecteurs possibles. J'en choisis un.
Si je cherche une équa- tion cartésienne d'un plan ayant~n(♣;;♠) pour vec- teur normal et passant par un point A de coordonnées connues
j'écris que l'équation est de la forme♣x+y+♠z+d= 0et je remplacex, y, zpar les coordonnées de A pour trouver d.
Pour savoir si deux plans
sont parallèles je teste si les vecteurs normaux sont colinéaires
Pour trouver une repré- sentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans sécants
j'écris en système les deux équations de plan, j'ajoute une troi- sième équation du typez=t, re remplacez part dans les deux premières équations, et je résous ensuite ces deux équations d'in- connuesxety.
Pour savoir si une droite est parallèle ou sécante à un plan
je teste si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à un vecteur normal du plan. Si oui, il y a parallélisme, sinon, ils sont sécants.
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Pour déterminer les coor- données du point d'inter- section d'une droite et d'un plan
j'écris dans un même système une équation du plan et une re- présentation paramétrique de la droite. Je remplacex, y, zdans l'équation du plan an d'obtenir une équation d'inconnuet que je sais résoudre. Je trouvet et je peux alors calculerx, y, z.
Pour calculer la distance d'un point A à un plan
je cherche les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur le plan : il est l'intersection de la droite dpassant par A et orthogonale au plan. Ensuite je calcule la distance AH.
Pour traduire qu'un point M est sur une sphère de centre O et de rayon r
j'écrisOM =ret j'utilise la formule de la distance donnée dans le cours
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