M ath ematiques ´ - ECS1
2
S yst emes lin ` eaires ´
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
2 Résolution des systèmes linéaires par la mé- thode de Gauss.
2.1 Objectifs
Définition d’un système linéaire.
Système homogène. Système de Cramer.
Résolution d’un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.
La méthode sera présentée à l’aide d’exemples.
On adoptera les notations suivantes pour le codage des opérations élémentaires sur les lignes : Li ← Li+aLj aveci , j , Li ← aLi(a , 0), Lj↔Li,Li←aLi+bLj (a,0,i, j).
2.2 Systèmes linéaires
2.2.1 Quelques exemples Premier exemple.
(S) :
(x +y =1 x +y =0 Il est clair que ce système est impossible.
Géométriquement, les couples (x,y) solutions d’un tel système sont les coordonnées des points d’intersections éventuels des droites d’équationx+y=1 etx+y=0. Ces droites sont parallèles non confondues, donc elles n’ont aucun point d’intersection.
Deuxième exemple.
(S) :
(x −y −z= 0 x +y −z= 1
Pour ce deuxième système, en retranchant la première équation de la deuxième, on obtient 2y= 1 doncy= 1
2, puis en substituant àysa valeur dans les deux équations, on obtient deux fois la même équation :x−z=1
2.
Comment décrire alors les solutions d’un tel système ?
Géométriquement, les triplets (x,y,z) solutions d’un tel système sont les coordonnées des points d’intersections éventuels des plans d’équationx−y−z=0 etx+y−z=0.
Ces plans ne sont ni parallèles ni confondues, donc ils se coupent suivant une droite. Il y a donc une infinité de solutions correspondant aux coordonnées des points de cette droite.
Troisième exemple.
(S) :
y+2z =1 x −2y +z =0 3y−4z =23
2
2.2 Systèmes linéaires 3
Dans cet exemple, on peut additionner le double de la première avec la troisième équa- tion pour obtenir 5y=25 doncy=5 puis la première donne 2z=1−y=1−5=−4 donc z=−2 et enfin la deuxième donnex=2y−z=10+2=12.
Cette situation correspond géométriquement à déterminer les coordonnées des points d’intersection de trois plans de l’espace dont les équations sont celles du système. Les calculs précédents montrent que ces trois plans se rencontrent en un seul point.
Quatrième exemple.
(S) :
x −2y−4z = 0
−2x +4y+3z = 1
−x +2y −z = 1
On peut additionner la première et la troisième équation pour obtenirzdirectement, ce qui donne−5z=1 doncz=−1
5.
Ensuite, en retranchant la première de la troisième, on retrouve la deuxième équation qui est donc superflue.
On doit donc résoudre le système réduit (S0) :
( x−2y =−45
−x+2y = 45 qui se réduit encore à une seule équationx−2y= 45.
La situation est donc celle du deuxième exemple.
Cinquième exemple.
(S) :
x +y +z +t = 1 x −y −z +t = 3
−x −y +z −t = 1
−3x +y −3z −3t = 4
Dans cet exemple, en additionnant la première et la deuxième, on obtient 2x+2t=4 soitx+t=2. Par conséquenty+z=−1.
En faisant de même avec la première et la troisième, on obtient 2z=2 doncz=1 puis y=−1−z=−1−1=−2.
On peut additionner aussi le triple de la première et la quatrième pour avoir 4y =7 doncy=74 ce qui n’est pas cohérent avec la valeur trouvée précedemment.
Le système n’a donc pas de solution.
Conclusion et objectif pour la suite.
Plusieurs situations peuvent donc se produire lors de la résolution de systèmes li- néaires : absence de solutions, unicité de la solution ou encore une infinité de solutions.
Dans ce dernier cas, il est important de pouvoir décrire toutes les solutions.
Les résolutions des systèmes précédents ont été menées, en tâtonnant dans les équa- tions, sans véritable plan méthodique.
Le but de ce court chapitre est de présenter une méthode algorithmique, permettant de résoudre rigoureusement un système linéaire.
2.2.2 Généralités
4 Résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss.
Définition 1. Soient net pdeux entiers naturels non nuls. Un système linéaire de n équations àpinconnues est un système denéquations linéaires àpinconnues
(S) :
a11x1+a12x2+. . . +a1pxp =y1
a21x1+a22x2+. . . +a2pxp =y2
. . .
an1x1+an2x2+. . . +anpxp =yn
Les notationsai j etyi pour 1≤ i ≤n et 1≤ j ≤ pdésignent des nombres réels ou complexes fixés etx1,x2, . . . ,xpsont les inconnues du systèmes.
Définition 2. — Une solution du système est un p-uplet (x1,x2, . . . ,xp) de nombres réels ou complexes pour lesquels lesnéquations du système (S) sont vérifiées.
— Le système est ditcompatibles’il existe au moins une solution au système.
— Le système est dithomogène siy1=y2=. . .=yn=0.
Le système homogène associée au système (S) est le systèmeS0obtenu en rem- plaçant dans le systèmeS dans chaque équationy1,y2, . . . ,ynpar 0.
— Un système linéaire admettant une unique solution est appeléesystème de Cra- mer.
2.3 Méthode de Gauss
La méthode du pivot de Gauss permet par l’intermédiaire de certaines manipulations de transformer un système (S)
(S) :
a11x1+a12x2+. . . +a1pxp =y1
a21x1+a22x2+. . . +a2pxp =y2
. . . ...
an1x1+an2x2+. . . +anpxp =yn
en un système échelonnée (S0) équivalent
(S0) :
b11t1+b12t2+ . . . +b1rtr+ . . . +b1ptp =z1
b22t2+ . . . +b2rtr+ . . . +b2ptp =z2
...
+brrtr+ . . . +br ptp =zr
0 =zr+1
... 0 =zn
où les inconnuest1,t2, . . . ,tpsont les inconnuesx1,x2, . . . ,xpéventuellement réordonnées.
Définition 3. Lesrinconnuest1,t2, . . . ,tr s’appellent alorsinconnues principales et les autrestr+1, . . . ,tplorsqu’elles existent s’appellentinconnues non principales.
2.3 Méthode de Gauss 5
2.3.1 Opérations élémentaires
Ci-dessous, le symboleλdésigne un nombre réel ou complexe.
Définition 4. On appelle opération élémentaire, l’une des quatre opérations ci- dessous :
• Interversion de deux équations :Ei←→Ej
• Remplacement d’une équationEjparλEjavecλ,0 :Ej←−λEj
• Remplacement d’une équationEjparEj+λEioùλest un nombre réel (ou com- plexe) eti, j:Ej←→Ej+λEi
• Permutation des inconnues avec conservation de leurs coefficients.
Proposition 1. Deux systèmes linéaires se déduisant l’un de l’autre par une opération élémentaire possèdent le même ensemble de solutions.
Les opérations élémentaires conservent l’équivalence dans la résolution des systèmes linéaires.
L’objectif de la section suivante est de présenter une méthode qui
— évite la manipulation hasardeuse des équations,
— qui permette de conclure systématiquement à l’existence ou non de solutions
— fournit toutes les solutions, lorsque le système en possède, 2.3.2 Etapes de la méthode du pivot de Gauss
(1) Par permutation éventuelle de deux équations ou de deux inconnues, on place en pre- mière ligne une équation dont le premier coefficient est non nul. Ce sera le premier pivot.
Appelonst1l’inconuue placée au premier rang.
Grâce aux manipulations Ei ←− Ei +λE1 pour i > 1 on élimine l’inconnuet1 de toutes les équations sauf de la première.
(2) Deux cas peuvent alors se produire :
(a) soit tous les coefficients des équations qui suivent la première sont nuls et dans ce cas le système est échelonné,
(b) soit le système obtenu en retirant la première équation possède encore un coef- ficient non nul et dans ce cas, on applique à ce système ayant une équation de moins l’algorithme précédent.
Après un nombre fini de transformations, on obtient un système échelonné.
2.3.3 Mise en oeuvre de la méthode
Voyons un exemple et transformons le système dépendant du paramètrek∈R:
(S) :
x −2y +z −t =1 2x −4y −z−3t =3 x −2y +4z =0 5x −10y −z−7t =k
6 Résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss.
L’inconnue placée au premier rang possède un coefficient non nul : ce sera donc notre premier pivot qui va nous permettre d’éliminer l’inconnuexdes équations suivantes :
(S)⇐⇒
x−2y +z −t = 1
−3z −t = 1 3z +t = −1
−6z −2t = k−5
E2←− E2−2E1, E3←− E3−E1, E4←− E4−5E1
⇐⇒
x−2y +z −t =1
−3z −t =1 0 =0 0 =k−7
E3←− E3+E2, E4←− E4−2E2
2.3.4 Discussion sur le système échelonnée obtenu
(1) Le système échelonné possède une équation à coefficients tous nuls mais dont le second membre est non nul : dans ce cas, le système n’a pas de solutions et il est dit impossible (2) Le système échelonné obtenu est de la forme :
(S0) :
b11t1+ b12t2+. . . +b1ptp = z1
b22t2+. . . +b2ptp = z2
...
bpptp = zp
avecbii,0 pour tout 1≤i≤p. Toutes les équations après lap-ème sont de la forme 0 =0, ce qui ne peut se produire que pour p≤n. Le système (S) possède alors une unique solution que l’on détermine en calculant d’abordtppuistp−1, etc. . .
(3) Le système échelonné obtenu est de la forme :
(S0) :
b11t1+b12t2+ . . . +b1ptp =z1
b22t2+ . . . +b2ptp =z2
... ...
brrtr+. . . +br ptp =zr
avecr<petbii,0 pour tout 1≤i≤r. Toutes les équations après lar-ème sont de la forme 0=0. Lesp−rinconnuestr+1, . . . ,tppeuvent être fixées librement et déter- minent de façon unique lesrautres inconnuest1, . . . ,trdites inconnues principales.
Le système est alors dit de rangret ce rangrne dépend que du système (S) et pas des opérations appliquées pour échelonner le système.
2.3.5 Retour à l’exemple
Revenons à l’exemple du système qu’on a échelonné précédemment : (1) sik,7 alors le système est impossible.
(2) sik=7, en échangeant l’ordre des inconnues on est ramené au cas (3) de la discussion précédente :
(S)⇐⇒
(x−2y +z −t =1
−3z −t =1
⇐⇒
(x +z −2y −t =1
−3z −t =1
2.4 Exercices 7
puis on exprime les inconnues principalesx,zen fonction des inconnues non princi- palesy,tpour décrire l’ensemble des solutions du système.
(S)⇐⇒
x= 4
3 +2y +4 3t
y= y
z = −1
3 −1
3t
t = t
On conclut alors en disant que l’ensemble des solutions du systèmes (S) sont les quadruplets (x,y,z,t)∈R4tels que
x=4
3 +2y+4
3t, z=−1 3 −1
3t.
2.4 Exercices
Exercice 1. Résoudre les systèmes suivants, en discutant éventuellement suivant les paramètres
(S1) :
2x −y +3z= 9 3x −5y +z= −4 4x −7y +z= 5
(S2) :
2x+3y +5z =10 3x+7y +4z =3
x+2y +2z =3
(S3) :
5x +2y+3z = −2 2x −2y+5z = 0 3x +4y+2z = −10
(S4) :
x +y +z = a x +jy +j2z = b x +j2y +jz = c
(S5) :
2x+5y −8z =8 4x+3y −9z =9 2x+3y −5z =7 x+8y −7z =12
(S6) :
2x +2y −z +t = 4 4x +3y −z +2t = 6 8x +5y −3z +4t = 12 3x +3y −2z +2t = 6
Exercice2. Déterminer le ou les polynômesP, de degré 3 vérifiant P00(t)+P0(t)−P(t)=t3−t.
Exercice 3. Déterminer des réelsa,b,cetdtels que pour tout réel xdistinct de
−2,−1,0,1,
11x3−x+2
(x2−1)(x2+2x) = a
x−1 + b
x+1+ c x+2+d
x
2.5 Exercices avancés
8 Résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss.
Exercice 4. Montrer que le système suivant
x −y −u −5t = α
2x +y −z −4u +t = β x +y +z −4u −6t = γ x +4y +2z −8u −5t = δ
est compa- tible si et seulement si 8α−β−11γ+5δ=0.
Exercice5. Résoudre les systèmes suivants, en discutant éventuellement suivant les pa- ramètres
(S5) :
ax −3y +5z = 4 x−ay +3z = 2 9x−7y +8az = 0
(S6) :
ax +2z =2 5x+2y =1 x−2y +bz =3
(S7) :
ax +y +z = 1 x +ay +z = 1 x +y+az = 1
(S10) :
2x −y−6z +3t =−1 7x −4y+2z −15t =−32
x −2y−4z +9t =5 x −y+2z −6t =−8
(S11) :
2x−5y +3z +t = 5 3x−7y +3z −t = −1 5x−9y +6z +2t = 7 4x−6y +3z +t = 8
(S12) :
2x +7y+3z +t = 5 x +3y+5z −2t = 3 x +5y−9z +8t = 1 5x+18y+4z +5t = 12
(S13) :
2x +3y +z +2t = 3 4x +6y +3z +4t = 5 6x +9y +5z +6t = 7 8x+12y +7z+λt = 9
(S14) :
λx +y +z +t =1
x +λy +z +t =−2 x +y +λz +t =0 x +y +z +λt =3
Exercice6. Quatre couples ont consommé 44 verres de Coca-Cola. Ann en a bu deux, Betty en a bu trois, Carol en a bu quatre et Dorothy en a bu cinq. M. Brown en a bu autant que sa femme, M. Green en a bu deux fois plus que sa femme, M. White trois plus que sa femme et M. Smith en a bu quatre fois plus que sa femme. Pouvez vous reconstituer les couples ?
Exercice 7. Un travail peut être effectué en quatre jours par Alice et Bob, il demande trois jours pour Bob et Charles et seulement 2,4 jours pour Alice et Charles.
Combien de temps mettront Alice, Bob et Charles s’ils font chacun ce travail seul ?
2.6 Indications pour les exercices 9
2.6 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice2. Introduire les coefficients dePet former un système linéaire vérifié par ces coefficients.
Indication pour l’exercice3. Mettre les deux membres de l’égalité au même dénomina- teur et identifier les numérateurs.
Indication pour l’exercice4. Appliquer l’algorithme de Gauss.
Indication pour l’exercice7. Introduirea,b,cles nombres de jours respectifs pour Alice, Bob et Charles et former un système en 1a, 1b et 1c.
