Réduction de Jordan

Réduction de Jordan

Salim Rostam 19 décembre 2018

Références : Grifone (Algèbre linéaire), Gourdon (Algèbre), Prasolov (Problèmes et théorèmes d’algèbre linéaire).

1 Trigonalisation optimale

Le but général de la réduction des endomorphismes et de trouver une forme conjuguée plus simple pour les endomorphismes. Soitk un corps etM ∈Mat_n(k) une matrice de taille n∈N≥2

à coefficients dansk. Un des premiers résultats est le suivant : siχM, le polynôme caractéristique de M, est scindé alors (et c’est une équivalence) la matrice M est trigonalisable, c’est-à-dire

semblable à une matrice de la forme















λ1 ∗ . . . ∗ 0 λ2 . .. ... ... . .. . .. ∗ 0 . . . 0 λn















, autrement dit, de la formeD+T avec

D= diag(λ₁, . . . , λ_n) diagonale etT triangulaire supérieure stricte. En particulier, la matriceT est nilpotente. Ladécomposition de Dunford, déjà vue, améliore ce résultat.

Théorème. On peut choisir DetT =:N qui commutent (de plus, les endomorphismes associés sont alors uniques).

Remarque. Si A, B sont deux matrices qui commutent avecA diagonalisable et B trigonalisable alors on peut trouver une base dans laquelle A est diagonale et B triangulaire supérieure : il suffit de trigonaliserB sur chaque sous-espace propre deA, ces derniers étant stables parB.

Rappelons une construction possible de telles matrices DetN.

Lemme (Décomposition en sous-espaces caractéristiques). Si χ_M =^Qr_i=1(X−λ_i)^mi alors on a la décomposition en sous-espaces stableskⁿ=⊕^r_i=1ker(M−λ_iI_n)^mi.

Démonstration. Provient du théorème de décomposition des noyaux et de Cayley–Hamilton.

Dans une base adaptée à la décomposition ci-dessus, la matrice M est diagonale par blocs ; on choisit alors D= diag(λ_i1I_n1, . . . , λ_irI_nr), où n_i := dim ker(M −λ_iI_n)^mi, et N := M −D.

On va maintenant montrer que l’on peut faire mieux, en particulier, choisir N de la forme





















0 ∗ 0 . . . 0 0 0 ∗ . .. ... ... . .. . .. . .. 0 ... . .. . .. ∗ 0 . . . . . . 0 0





















avec ∗ ∈ {0,1}.

2 Mes premières réductions de Jordan

Cette partie est à savoir !

Définition. On définit la matrice de Jordan

Jn:=





















0 1 0 . . . 0

... . .. 1 . .. ...

... . .. . .. 0

... . .. 1

0 . . . . . . . . . 0

          ∈Mat_n(k). Pour λ∈k, on utilisera égalementJn(λ) :=λIn+Jn, donnée par           λ 1 0 . . . 0

0 λ 1 . .. ... ... . .. . .. . .. 0

... . .. . .. 1 0 . . . . . . 0 λ



















 .

Lemme 1. Soientx∈kⁿetr∈N^∗ tels queM^rx= 06=M^r−1x. Alors la famille (x, . . . , M^r−1x) est libre.

Démonstration. Soient β0, . . . , βr−1 des scalaires tels que ^Pr−1_i=0βiMⁱx = 0. Supposons qu’un des βi soit non nul et soitr₀ le plus petit élément de{0, . . . , r−1} tel queβr0 6= 0. Ainsi, on a ^Pr−1_i=r

0β_iMⁱx = 0 et donc ^Pr−1_i=r

0β_iM^i+r−1−r0x = 0. Si i > r₀ alors i+r−1−r₀ ≥ r donc M^i+r−1−r0x= 0, ainsi on obtientβr0M^r−1x= 0 doncβr0 = 0 ce qui est absurde. Donc tous les βi sont nuls.

Théorème (Réduction de Jordan, casn= 2). Soit M ∈Mat₂(k) avec χM scindé. Si M n’est pas diagonlisable alors M est semblable à J₂(λ) = ^λ_0λ¹, où λest l’unique valeur propre de M.

Démonstration. Soitu l’endomorphisme canoniquement associé à M. On suppose u non dia- gonalisable. Ainsi, les deux valeurs propres ne sont pas distinctes et doncu possède bien une unique valeur propre. Soit e₂ un vecteur non nul dans k² = ker(u−λ)² (on a bien égalité par Cayley–Hamilton) qui ne soit pas un vecteur propre et posons e1 := (u −λ)e2. Alors (u−λ)e₁ = (u−λ)²e₂ = 0 donce₁ est un vecteur propre. Par le Lemme 1, on sait que (e₁, e₂) est libre donc est une base dek². Puisque u(e₂) =λe₂+e₁ et queu(e₁) =λe₁, la matrice de u dans la base (e1, e2) est bien celle annoncée.

Lemme 2. Soit M ∈Mat_n(k). Pour tout i∈N on akerMⁱ ⊆kerMⁱ⁺¹, et s’il y a égalité alors il y a également égalité au rang d’après, i.e. kerMⁱ⁺¹= kerMⁱ⁺².

Démonstration. On a bien kerMⁱ ⊆kerMⁱ⁺¹ puisque si Mⁱx= 0 alors Mⁱ⁺¹x=M(Mⁱx) = M0 = 0. Supposons maintenant que kerMⁱ= kerMⁱ⁺¹. On a déjà kerMⁱ⁺¹⊆kerMⁱ⁺², et si x∈kerMⁱ⁺² alors M x∈kerMⁱ⁺¹ = kerMⁱ doncMⁱ(M x) = 0 donc x∈kerMⁱ⁺¹.

Remarque. En particulier, si M est nilpotente d’indice de nilpotence p ∈ N^∗ (c’est-à-dire M^p= 06=M^p−1) alors pour touti < pon a dim kerMⁱ <dim kerMⁱ⁺¹. En effet, s’il y a égalité on a kerMⁱ= kerMⁱ⁺¹ =· · ·= kerM^p =kⁿ doncMⁱ= 0 ce qui contredit la définition dep.

Théorème. Soit M ∈Mat₃(k) avec χ_M scindé. On suppose que M n’est pas diagonalisable.

— On suppose que M possède exactement deux valeurs propres distinctes λ et µ avec χ_M = (X−λ)²(X−µ). AlorsM est semblable àdiag(J₂(λ), J₁(µ)) =





 λ 1 0 λ

µ





.

— On suppose que M possède seulement une valeur propre λ. Si dim ker(M−λ) = 2 alors M est semblable à diag(J₂(λ), J₁(λ)) =





 λ 1 0 λ

λ





, sinon dim ker(M−λ) = 1 etM est

semblable à J3(λ) =







λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ





.

Démonstration. SiM possède trois valeurs propres distinctes alorsM est diagonalisable. SiM possède exactement deux valeurs propres distinctes, on applique le lemme de décomposition en sous-espaces caractéristiques et le théorème précédent. On suppose maintenant que M possède une unique valeur propre λet soitu l’endomorphisme canoniquement associé à M. Par Cayley–Hamilton, l’endomorphismeu−λest nilpotent.

— On suppose que dim ker(u−λ) = 2. Par la Remarque suivant le Lemme2on a dim ker(u− λ)² = 3 donc (u−λ)² = 0. Soit e₂ ∈/ ker(u−λ) et posonse₁ := (u−λ)e₂ 6= 0. Alors e₁ ∈ker(u−λ), et soite₃ ∈ker(u−λ) tel que (e₁, e₃) soit une base de ker(u−λ). La famille (e1, e2, e3) est libre puisquee2 ∈/ vect(e1, e3) = ker(u−λ), donc est une base dek³ et on conclut car la matrice deu dans la base (e₁, e₂, e₃) est celle annoncée.

— On suppose dim ker(u−λ) = 1. Montrons que dim ker(u−λ)² = 2. Pour cela, on considère l’applicationv: ker(u−λ)² →ker(u−λ) donnée par la multiplication paru−λ. Alors kerv= ker(u−λ)∩ker(u−λ)² = ker(u−λ) donc par le théorème du rang on obtient dim ker(u−λ)²−dim ker(u−λ)≤dim ker(u−λ) donc dim ker(u−λ)² ≤2, d’où finalement dim ker(u−λ)²= 2 par le Lemme 2.

Soit maintenante3 ∈/ ker(u−λ)². Puisque (u−λ)³ = 0 (par Cayley–Hamilton), par le Lemme1on sait que (e₁, e₂, e₃) est une base dek³ oùe₂ := (u−λ)e₃ ete₁ := (u−λ)²e₃= (u−λ)e2. La matrice de u dans la base (e1, e2, e3) est alors de la forme annoncée.

3 Réduction de Jordan : cas général

Cette partie est pour ceux qui sont à l’aise avec celle qui précède.

Théorème (Réduction de Jordan, version sous-espace caractéristique). On suppose queM−λI_n est nilpotente.

— Il existe une unique suite décroissante α d’entiers strictement positifs α1 ≥ · · · ≥αr≥1 (de somme n) telle que M soit semblable à la matrice J_α(λ) := diag(J_α1(λ), . . . , J_αr(λ)).

— De plus, on a r= dim ker(M −λI_n), l’entier α₁ est le degré du polynôme minimal de M et le nombre de αs égaux à i ∈ N (i.e. le nombre de blocs de taille i) est donné par 2 dim ker(M−λ)ⁱ−dim ker(M−λ)ⁱ⁺¹−dim ker(M−λ)ⁱ⁻¹.

Une telle suiteαest unepartitionden. En utilisant le lemme de décomposition en sous-espaces caractéristiques, on en déduit la forme générale du théorème de réduction.

Théorème(Réduction de Jordan, version générale). On suppose queχM est scindé. Siλ1, . . . , λr

sont les valeurs propres distinctes de M, il existe des partitions α⁽¹⁾, . . . , α^(r) telles que M soit semblable à la matrice diag(J_α(1)(λ₁), . . . , J_α(r)(λ_r)). Il y a unicité à permutation près des J_α(i)(λi).

Pour montrer la version sous-espace caractéristique, il suffit de montrer le cas λ= 0,i.e.la matriceM est nilpotente : le casM−λI_nnilpotente s’obtiendra en écrivantM = (M−λI_n)+λI_n. Soitul’endomorphisme canoniquement associé àM. On suit le schéma mis en place en dimension 2 et 3 : sip est l’indice de nilpotence de u(qui est alors le degré du polynôme minimal de u), on veut choisir un vecteur v qui ne soit pas dans keru^p−1 et considérer la famille libre (par le Lemme 1) B_v := (u^p−1(v), . . . , u(v), v). La matrice de u dans cette base est alors Jp. Pour continuer, on aimerait choisir un vecteurw∈keru^p−i+1\keru^p−iaveci≥1 le plus petit possible, et considérer la famille libre B_w = (u^p−i(w), . . . , w) dans laquelle la matrice de u est Jp−i+1. La seule chose à garantir est la suivante : on voudrait que la familleB_vt B_w soit libre. C’est l’objectif du Lemme 3.

Lemme 3. On peut trouver une suite de sous-espaces vectoriels E1, . . . , Ep dekⁿ tels que i) pour chaque i ∈ {1, . . . , p}, le sous-espace vectoriel Ei est un supplémentaire de keruⁱ⁻¹

dans keruⁱ;

ii) pour chaque i∈ {2, . . . , p}, u(E_i)⊆Ei−1. De plus :

— on a kⁿ=⊕^p_i=1E_i;

— pour i≥2 on a nécessairementu(Ei)'Ei, i.e. la restriction deu à Ei est injective.

Démonstration. On procède par récurrence descendante suri. Pour i=p, on choisit pour E_p n’importe quel supplémentaire de keru^p−1 dans keru^p =kⁿ. Si maintenant i∈ {1, . . . , p−1}, puisque E_i+1 ⊆keruⁱ⁺¹ on au(E_i+1)⊆keruⁱ. Il suffit maintenant de montrer queu(E_i+1) et keruⁱ⁻¹ sont en somme directe. Soitx∈u(E_i+1)∩keruⁱ⁻¹, que l’on écritx=u(y) avecy∈E_i+1. Par hypothèse on auⁱ⁻¹(x) =uⁱ(y) = 0 doncy∈Ei+1∩keruⁱ ={0} carEi+1 et keruⁱ sont en somme directe, par construction deE_i+1. On construit alorsE_i en complétant u(E_i+1) en un supplémentaire de keruⁱ⁻¹ dans keruⁱ. L’assertion sur la somme directe est claire puisque

kⁿ= keru^p

=Ep⊕keru^p−1

=E_p⊕(Ep−1⊕keru^p−2) ...

=Ep⊕ · · · ⊕E1⊕ker id_kⁿ

=E_p⊕ · · · ⊕E₁,

et celle sur l’injectivité deu|_Ei également, puisque le noyau deu|_Ei est keru∩E_i ⊆keruⁱ⁻¹∩E_i= {0} par définition de Ei (rappelons qu’ici i≥2 donc on a bien keru⊆keruⁱ⁻¹).

On peut maintenant reprendre la démonstration du théorème de Jordan (cas nilpotent).

Choisissons une base B_p de Ep. Pouridescendant de pà 2, soitB_i−1⁰ une famille qui complète u(B_i) en une base B_i−1 de Ei−1. Puisque kⁿ = ⊕^p_i=1E_i, la concaténation des bases B_i pour i∈ {1, . . . , p} forme une base de kⁿ. En posant B_p⁰ :=B_p et B_i⁰ ={v_i,1, . . . , v_i,ni} pour chaque i∈ {1, . . . , p}, on a

B_p={v_p,j}_j≤np, B_p−1=u(B_p)t B⁰_p−1

={u(v_p,j)}_j≤n

pt {v_p−1,j}_j≤np−1, B_p−2=u(B_p−1)t B⁰_p−1

=ⁿu²(v_p,j)^o

j≤np

t {u(v_p−1,j)}_j≤n

p−1 t {v_p−2,j}_j≤np−2, ...

B₁=ⁿu^p−1(vp,j)^o

j≤np

tⁿu^p−2(vp−1,j)^o

j≤np−1

tⁿu^p−3(vp−2,j)^o

j≤np−2

t · · · t {v_1,j}_j≤n1.

Ainsi, si pour chaque i ∈ {1, . . . , p} et j ∈ {1, . . . , n_i} on note Be_i,j := {uⁱ⁻¹(v_i,j), . . . , v_i,j}, la concaténation des bases (B_i)1≤i≤p coïncide avec la concaténation des (B^e_i,j)1≤i≤p,1≤j≤n_i. La matrice de u dans la base

Be_p,1t · · · tBe_p,npt · · · tBe_1,1t · · · tBe_1,n1 (3.1) est alors diag(J_p, . . . , J_p, . . . , J₁, . . . , J₁), chaque J_i apparaissant n_i fois : c’est J_α := J_α(0), où α = (α₁ ≥ · · · ≥ α_r) est la partition contenant exactement n_i fois l’entier i pour tout i∈ {1, . . . , p}.

Finalement, par définition de l’indice de nilpotence, on a E_p 6={0} doncn_p 6= 0 donc α₁ =p est bien le degré du polynôme minimal deu. Chaque bloc J_i apporte exactement un vecteur dans le noyau de u donc dim keru est bien le nombre r (= ^Pp_i=1ni) de blocs. Pour l’unicité de la partitionα, remarquons d’abord que le nombre de blocs de taille i(les blocsJ_i) est, par construction et le Lemme 3,

ni = #B_i⁰ = #B_i−#u(B_i+1)

= dimE_i−#B_i+1

= dimE_i−dimE_i+1

=dim keruⁱ−dim keruⁱ⁻¹−dim keruⁱ⁺¹−dim keruⁱ

= 2 dim keruⁱ−dim keruⁱ⁺¹−dim keruⁱ⁻¹, (♣) qui est bien au passage la formule annoncée. Soit maintenant β une autre partition telle queu ait une matrice de la forme J_β et on veut montrer queβ =α. On peut par exemple donner deux justifications. La matrice deu dans une bonne base C étant de la formeJβ, la base C est de la forme précédente (avec des entiers n⁰_i). De plus, ils définissent comme avant des supplémentaires de keruⁱ⁻¹ dans keruⁱ donc le calcul du nombre de blocs de taillei donne comme en (♣). La deuxième justification utilise le lemme suivant.

Lemme. Pour tout i ∈ N on a dim kerJ_mⁱ = min(i, m) et dim kerJ_mⁱ⁺¹ − dim kerJ_mⁱ = (1, si i≤m−1,

0, sinon.

Ainsi, si β = (β1 ≥ · · · ≥βs), soit n⁰_i le nombre de idans β. Il y a dans Jβ exactementn⁰_i blocs de tailleiet le Lemme donne

dim keruⁱ⁺¹−dim keruⁱ =

s

X

t=1

(dim kerJ_βⁱ⁺¹

t −dimJ_βⁱ_t)

=

n

X

m=1

n⁰_m(dim kerJ_mⁱ⁺¹−dimJ_mⁱ )

=

i

X

m=1

n⁰_m0 +

n

X

m=i+1

n⁰_m1

=

n

X

m=i+1

n⁰_m,

donc

(dim keruⁱ−dim keruⁱ⁻¹)−(dim keruⁱ⁺¹−dim keruⁱ) =

n

X

m=i

n⁰_m−

n

X

m=i+1

n⁰_m

=n⁰_i donc par (♣) on a bien n⁰_i=ni pour touti.

Remarque. On a vu que 2 dim keruⁱ−dim keruⁱ⁺¹−dim keruⁱ⁻¹ ≥0 (c’est le nombre ni de blocs de taillei, donc nécessairement positif). On peut retrouver ce résultat en généralisant ce qu’on a montré dans la preuve du casn= 3 : le noyau de l’application keruⁱ⁺¹→keruⁱ/keruⁱ⁻¹ induite par uest keruⁱ.

4 Quelques applications

À montrer pour la prochaine fois !

Théorème. On suppose k de caractéristique nulle. Les matrices M et 2018M sont semblables si et seulement si M est nilpotente.

Théorème. Soit K=Rou C. Toute matrice de Mat_n(K) est semblable à sa transposée.

Remarque. Le Théorème peut se démontrer sur n’importe quel corps via laréduction de Frobenius.

Corollaire. Toute matrice de Mat_n(C) est semblable à une matrice symétrique.

Remarque. Ce dernier résultat est faux sur R!

Exercice. Trouver une matrice symétrique semblable àJ₂.