Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚20 Applications lin´ eaires
Dans toute cette feuille, la lettreKd´esigneRouC.
Exercice 188 (Un autre crit`ere pour qu’une application soit lin´eaire)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit ϕ: E → F une application. Montrer que ϕ est lin´eaire si et seulement si :
∀λ∈K ∀(u, v)∈E2 ϕ(u+λ.v) =ϕ(u) +λ.ϕ(v).
Exercice 189 (´Etude du caract`ere lin´eaire d’applications) 1. L’application
ϕ1: R4→R2; (x, y, z, t)7→(x+ 2y+ 3z+ 4t, x−y+z−t) est-elle lin´eaire ?
2. L’application
ϕ2:R3→R; (x, y, z)7→x+y+z+xyz est-elle une forme lin´eaire surR3?
3. L’application
ϕ3:C0([0,1],R)→R; f 7→f(0) est-elle une forme lin´eaire surC0([0,1],R) ?
4. L’application
ϕ4:C0([0,1],R)→R; f 7→
Z 1
0
f(x)dx est-elle une forme lin´eaire surC0([0,1],R) ?
5. L’application
ϕ5:C0([0,1],R)→R; f 7→5f(0)−6 Z 1
0
f(x)dx est-elle une forme lin´eaire surC0([0,1],R) ?
6. L’application
ϕ6:F(N,R)→ F(N,R) ; (un)n∈N7→(2un+ 1)n∈N
est-elle une application lin´eaire ?
Exercice 190 (´Etude d’une forme lin´eaire de R2) Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ: R2→R; (x, y)7→2x−7y.
1. Montrer queϕest une forme lin´eaire surR2. 2. D´eterminerunon nul deR2tel que :
Ker(ϕ) = Vect(u) et interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
Exercice 191 (Une forme lin´eaire non nulle est surjective)
SoitEunK-espace vectoriel non r´eduit au singleton vecteur nul. Soitϕune forme lin´eaire surE, diff´erente de 0L(E,K). Montrer queϕest surjective.
Exercice 192 (´Etude d’un endomorphisme de C2)
Le corps des scalaires consid´er´e ici estK=C. Soit l’applicationϕd´efinie par : ϕ:C2→C2; (z1, z2)7→(z1+iz2, iz1−z2).
1. Montrer queϕest un endomorphisme duC-espace vectorielC2. 2. D´emonter qu’il existe un vecteurunon nul deC2tel que :
Ker(ϕ) = Vect(u).
3. Que peut-on d´eduire de 2. ?
4. D´emonter qu’il existe un vecteurv non nul deC2 tel que : Im(ϕ) = Vect(v).
5. Montrer queϕn’est pas surjective.
Exercice 193 (´Etude d’un endomorphisme de R3 d´efini via un produit vectoriel)
On rappelle que pour tout (x1, y1, z1)∈R3, (x2, y2, z2)∈R3, le produit vectoriel de (x1, y1, z1) par (x2, y2, z2) est d´efini par :
(x1, y1, z1)∧(x2, y2, z2) =
y1 y2
z1 z2
,
z1 z2
x1 x2
,
x1 x2
y1 y2
.
Le produit vectoriel poss`ede des propri´et´es alg´ebriques remarquables, ´enonc´ees dans le chapitre VIG´eom´etrie
´
el´ementaire de l’espace.
Soitv= (−1,4,2)∈R3 et soit l’applicationϕd´efinie par :
ϕ:R3→R3; u7→u∧v.
1. D´emontrer queϕest un endomorphisme deR3.
2. D´eterminer le noyau Ker(ϕ) deϕet interpr´eter g´eom´etriquement Ker(ϕ).
3. Que peut-on d´eduire de 2. ?
4. D´eterminer deux vecteurs non colin´eairesv1 etv2 deR3 tels que : Im(ϕ) = Vect(v1, v2) et interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
5. Montrer queϕn’est pas surjective.
Exercice 194 (Image inverse d’un sous-espace vectoriel par une application lin´eaire) SoientE et F deuxK-espaces vectoriels, soitϕ:E→F une application lin´eaire.
1. SoitV un sous-espace vectoriel de F. Montrer que
ϕ−1(V) ={u∈E : ϕ(u)∈V} est un sous-espace vectoriel deE.
2. Appliquer le r´esultat de la question 1 pour retrouver une propri´et´e d´emontr´ee en cours.
Exercice 195 (Image directe d’un sous-espace vectoriel par une application lin´eaire) SoientE et F deuxK-espaces vectoriels, soitϕ:E→F une application lin´eaire.
1. SoitU un sous-espace vectoriel deE. Montrer que
ϕ(U) ={ϕ(u) : u∈U}
est un sous-espace vectoriel deF.
2. Appliquer le r´esultat de la question 1 pour retrouver une propri´et´e d´emontr´ee en cours.
Exercice 196 (´Etude d’un endomorphisme de C0([−1,1],R))
Soitw: [−1,1]→Rune fonction d´efinie et continue sur [−1,1]. On noteϕw l’application d´efinie par : ϕw:C0([−1,1],R)→ C0([−1,1],R) ; f 7→w×f.
1. Montrer queϕw est un endomorphisme deC0([−1,1],R).
2. On se propose de montrer que :
ϕw est surjective ⇒ ϕwest injective.
(a) Montrer que si la fonction
1: [0,1]→R; x7→1 a un ant´ec´edent par ϕw alorswne s’annule pas sur [0,1].
(b) Conclure.
3. Dans toute la question 3, on suppose que la fonctionwest donn´ee par :
w: [−1,1]→R; x7→
0 si−1≤x≤0 x si 0< x≤1.
(a) V´erifier quewest continue sur [−1,1].
(b) D´eterminer le noyau deϕw et montre qu’il n’est pas r´eduit au singleton{0C0([−1,1],R)}.
(c) En d´eduire queϕw n’est ni injective, ni surjective.
4. Dans cette question, on suppose que la fonction west donn´ee par : w: [−1,1]→R; x7→ex. D´emontrer queϕw est un automorphisme deC0([−1,1],R).
5. Dans cette question, on suppose que la fonction west donn´ee par : w: [−1,1]→R; x7→x.
D´emontrer queϕw est injective et non surjective.
Exercice 197 (Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 − partie 1)
On fixe aet b deux scalaires dansK. On se propose d’´etudier la partie F de F(N,K) (ensemble des suites `a valeurs dansKindic´ees parN) d´efinie par :
F={(un)n∈N∈ F(N,K) : ∀n∈N un+2=aun+1+bun}. 1. Montrer que l’application
d:F(N,K)→ F(N,K) ; (un)n∈N7→(un+1)n∈N
est un endormorphisme deF(N,K).
2. D´eterminer un endomorphisme deF(N,K) dontF est le noyau.
5. Soit (x, y) ∈ K2. Construire, `a l’aide d’une r´ecurrence avec pr´ed´ecesseurs, une suite (un)n∈N ∈ F telle que :
u0=x et u1=y.
6. Montrer que l’application
ϕ:F →K2; (un)n∈N7→(u0, u1) est un isomorphisme.
Exercice 198 (Autour des sous-espaces propres associ´es `a un endomorphisme)
SoitE unK-espace vectoriel. Si ϕest un endomorphisme deE et siλ∈K, alors on noteE(ϕ, λ) la partie de E d´efinie par :
E(ϕ, λ) ={ u∈E : ϕ(u) =λ.u}.
Terminologie : Si E(ϕ, λ)contient un vecteur non nul de E, alors λest appel´ee valeur propre deϕ etE(ϕ, λ) sous-espace propre deϕassoci´e `a la valeur propre λ
1. Soit (ϕ, λ)∈ L(E)×K.
(a) D´eterminer un endomorphisme deE dontE(ϕ, λ) est le noyau.
(b) En d´eduire une propri´et´e remarquable deE(ϕ, λ).
2. Soit (ϕ, λ1, λ2)∈ L(E)×K×Ktel queλ16=λ2. (a) Montrer que :
E(ϕ, λ1)∩ E(ϕ, λ2) ={0E}.
(b) Que peut-on d´eduire de 1.(b) et 2.(a) ?
3. Soit (f, g, λ)∈ L(E)× L(E)×Ktel que f etg commutent, i.e. tel que : f◦g=g◦f.
Montrer queE(f, λ) est stable par g, i.e. que :
g(E(f, λ))⊂E(f, λ).
Exercice 199 (Sur le groupe des homoth´eties bijectives d’unK-espace vectoriel) SoitE unK-espace vectoriel non r´eduit au singleton vecteur nul.
1. Soith1 (resp.h2) une homoth´etie deE et soitλ1∈K(resp.λ2∈K) le rapport deh1(resp.h2). Montrer queh1◦h2 est une homoth´etie deE et pr´eciser son rapport.
2. Soithune homoth´etie deE et soitλ∈Kson rapport.
(a) D´emontrer l’´equivalence :
hest un automorphisme deE ⇔ λ6= 0.
(b) On suppose ici queλ6= 0.Montrer queh−1 est une homoth´etie deEet pr´eciser son rapport.
(c) On noteH(E) l’ensemble des homoth´eties deE. Ainsi H(E)\ {0L(E)}
est-il l’ensemble des homoth´eties bijectives deE ou, ce qui revient au mˆeme d’apr`es 2.(a), l’ensemble des homoth´eties deE de rapports non nuls.
i. Montrer queH(E)\ {0L(E)} est un sous-groupe de (GL(E),◦).
ii. D’apr`es la question pr´ec´edente, H(E)\ {0L(E)} muni de la composition est donc un groupe.
Montrer que (H(E)\ {0L(E)},◦) et (K∗,×) sont isomorphes.
Exercice 200 (´Ecritures explicites d’une projection et d’une sym´etrie de R3) Soient les parties deR3 d´efinies par :
F1={(x, y, z)∈R3 : x−y+ 3z= 0} et F2= Vect((1,1,1)).
1. Montrer queF1 etF2sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires de R3. 2. Soitu= (x, y, z)∈R3. D´ecomposerurelativement `a la d´ecompositionR3=F1⊕F2.
3. Soitpla projection de R3surF1 parall`element `aF2. Soitu= (x, y, z)∈R3. Calculerp(u) en fonction de (x, y, z).
4. Soit s la sym´etrie de R3 par rapport `a F1 parall`element `a F2. Soit u= (x, y, z)∈ R3. Calculer s(u) en fonction de (x, y, z).
Exercice 201 (Projection versus sym´etrie)
SoitE unK-espace vectoriel. Soitϕun endomorphisme deE. D´emontrer l’´equivalence : ϕest un projecteur ⇔ 2ϕ−idE est une sym´etrie.
Exercice 202 (´Etude d’une projection de R3) Soitpl’application d´efinie par :
p:R3→R3; (x, y, z)7→(2x+ 2y−4z, x+y−2z, x+y−2z).
Montrer quepest une projection et pr´eciser ses ´el´ements caract´eristiques.
Exercice 203 (Sym´etrie orthogonale de R2)
On rappelle que pour tout (x1, y1)∈R2, (x2, y2)∈R2, le produit scalaire de (x1, y1) et (x2, y2) est d´efini par :
<(x1, y1),(x2, y2)>= x1x2+y1y2.
Le produit scalaire poss`ede des propri´et´es alg´ebriques remarquables, ´enonc´ees dans le chapitre V G´eom´etrie
´
el´ementaire du plan.
On fixe un vecteur non nulw= (α, β) deR2. Soit l’applicationsd´efinie par : s:R2→R2; u7→u−2 < u, w >
< w, w >w.
1. Montrer quesest bien d´efinie.
2. Montrer quesest une sym´etrie deR2 et pr´eciser ses ´el´ements caract´eristiques.
3. Interpr´eter g´eom´etriquement l’applications.
Exercice 204 (Une expression≪utile≫ de l’image d’un projecteur) SoitE unK-espace vectoriel. Soitpun projecteur deE. Montrer que :
Im(p) = Ker(p−idE).
Exercice 205 (Autour de la d´ecomposition d’unK-e.v.E induite par un projecteur de E) SoitE unK-espace vectoriel. Soitf ∈ L(E) et soitgun projecteur de E. Montrer que :
Ker(f ◦g) = Ker(g) ⊕(Ker(f) ∩Im(g)).
