Applications lin´ eaires - Exercices d’application

Lyc´ ee Dominique Villars Exercices ECE 2

Applications lin´ eaires - Exercices d’application

D´ emontrer que les applications suivantes sont lin´ eaires :

f 1 (x, y) = (x − 3y, 3x + y, x + y) f 2 (x, y, z) = (x + y, −x + 1, 2x + y) f 3



 x y z



 =

x + y + z x + z

f 4

x y

=



 x − 2y

−x + y x + y





f ₅ (P) = (X − 1)P ⁰ + P (∀P ∈ R 3 [X]) f ₆ (M ) = AM (∀M ∈ M ₃ ( R )) f 7 (P) =

P(0) 2P ⁰ (0) P(1) P (0) + P (1)

f 8 (P ) = (P (0), P (1), P (2)) Exercice 1 (La propri´ et´ e de lin´ earit´ e).

1. Soit g ₁ , l’endomorphisme de R ² tel que : g ₁ (1, 1) = (−1, 3) et g ₁ (1, −1) = (−2, 5).

D´ eterminer g 1 (x, y) en fonction de x et y.

2. Soit g ₂ : R ² → R ³ une application lin´ eaire telle que g ₂ (−2, 3) = (4, −1, 1) et g ₂ (1, 2) = (3, 0, 2).

D´ eterminer g 2 (x, y) en fonction de x et y.

3. Soit g ₃ un endomorphisme de R 2 [X] tel que :

g 3 X + 1) = X ² − 1, g 3 (X + 2) = X + 2 et g 3 (X ² + 1) = 3X.

D´ eterminer g ₃ (aX ² + bX + c) en fonction de a, b, c et d.

4. Soit g ₄ : M ₂ ( R ) → R ² une application lin´ eaire telle que g ₄

1 0 0 0

= g ₄

0 1

−1 0

= (1, −1) g ₄

0 0 0 1

= (1, 1) g ₄

0 1 1 0

= (−1, 2)

D´ eterminer g 4

a b c d

en fonction de a, b, c et d

Exercice 2 (Reconstruction d’une AL E → F ` a partir des images des vecteurs d’une base de E ).

1. Pour chacune des applications lin´ eaires f i de l’exercice 1, d´ eterminer (dans cet ordre) une base du noyau Ker(f ), la dimension du noyau puis la dimension de l’image de cette application Im(f) et enfin une base de Im(f ).

2. Pour chacune des applications lin´ eaires g _i de l’exercice 2, d´ eterminer (dans cet ordre) une base de l’image Im(g), la dimension du cet espace puis la dimension du noyau de g, Ker(g) et enfin une base de Ker(f ).

Exercice 3 (Etude des noyaux et images d’une application lin´ eaire).

Soit f l’application lin´ eaire de R ³ vers R ² d´ efinie par f (x, y, z) = (−x + 3y + z, x + y) et g l’application lin´ eaire de R ² vers R ³ d´ efinie par g(x, y) = (2x + y, x − 3y, y).

1. Les applications f et g sont-elles injectives ? surjectives ?

2. D´ eterminer f ◦ g et g ◦ f et d´ emontrer que f ◦ g est un automorphisme.

Exercice 4 (Compos´ ee bijective).

1

On consid` ere la matrice A = 1 2

3 6

ainsi que l’application f qui a toute matrice M ∈ M ₂ ( R ) associe f (M ) = AM

1. V´ erifier que A n’est pas inversible.

2. Montrer que f est un endomorphisme de M ₂ ( R ).

3. D´ eterminer une base de Ker(f) v´ erifier que Ker(f) est de dimension 2.

4. En d´ eduire la dimension de Im(f ) puis d´ eterminer une base de Im(f ).

Exercice 5 (EDHEC 2018).

Soit E l’ensemble des suites r´ eelles (u n ) telles que : pour tout n ∈ N , u n+3 = 4u n+2 − 5u n+1 + 2u n

1. Justifier que E est un espace vectoriel.

2. Justifier que l’application ϕ : E → R ³ , (u _n ) n∈ N → (u ₀ , u ₁ , u ₂ ) est un isomorphisme. En d´ eduire la dimension de E.

3. D´ emontrer que les suites (a _n ), (b _n ) et (c _n ) d´ efinies par : pour tout n ∈ N , a n = 1 b n = n c n = 2 ⁿ forment une base de E.

4. D´ eterminer l’unique suite (u _n ) de E verifiant u ₀ = 0, u ₁ = 1 et u ₂ = 2

Exercice 6 (Utilisation d’une AL ` a l’´ etude d’une relation de r´ ecurrence lin´ eaire d’ordre 3).

Soit l’op´ erateur de d´ erivation

D : C ^∞ ( R ) → C ^∞ ( R )

f → f ⁰

1. Montrer que D est un endomorphisme de C ^∞ ( R ).

2. D est-elle injective? surjective?

3. Montrer que F = V ect(x → e ^2x , x → 1 , x → x) est stable par D.

Exercice 7 (Application lin´ eaire d´ efinie sur un espace vectoriel de fonctions r´ eelles).

Soit m un r´ eel. On consid` ere l’application f m de R ³ dans R ³ d´ efinie par :

f _m (x, y, z) = ( mx + y + (2m − 1)z , x + (1 − m)y , x − y + (2 − m)z) 1. V´ erifier que f _m est un endomorphisme de R ³ .

2. D´ eterminer les valeurs de m pour lesquelles f m est un automorphisme.

3. Lorsque f m n’est pas bijective, pr´ eciser une base et la dimension de son noyau, Ker(f m ).

Exercice 8 (AL d´ ependant d’un param` etre).

2

Soit l’endomorphisme de R ³ suivant, p : R ³ → R ³ , (x, y, z) → 1

2 (x + y + z, 2y, x − y + z) 1. V´ erifier que p ◦ p = p.

2. D´ eterminer une base du noyau et de l’image de p.

3. V´ erifier que Im(p) ∩ Ker(p) = {(0, 0, 0)}.

4. V´ erifier qu’en r´ eunissant les deux bases obtenues ` a la question 2, l’on forme une base de R ³ . On appelle projecteur lin´ eaire d’un ev E, tout endomorphisme p de E tel que p ² = p

Exercice 9 (Projecteurs lin´ eaires).

Soit f : M ₂ ( R ) → M ₂ ( R ), M → AM − M A lorsque A est la matrice A = 1 1

1 1

. 1. V´ erifier que f est un endomorphisme de M ₂ ( R ).

2. D´ eterminer une base du noyau et de l’image de f puis v´ erifier que Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0 ₂ }.

3. Montrer qu’en r´ eunissant les familles obtenues ` a la question 2, l’on obtient une base de M ₂ ( R ).

4. Soit E ₁ = 1 0

0 0

. V´ erifier que f ² (E ₁ ) 6= f (E ₁ ). Que peut-on conclure ? Exercice 10.

On d´ efinit l’application lin´ eaire de transposition : T : M ₃ ( R ) → M ₃ ( R ), M → ^t M 1. Que peut on dire de l’endomorphisme T ² = T ◦ T ?

2. D´ eterminer le noyau et l’image de T . Que peut-on en d´ eduire ?

3. D´ eterminer une base de Ker(T − Id) et de Ker(T + Id) lorsque Id est l’application identit´ e de M ₃ ( R ). Reconnaitre ces deux espaces vectoriels.

4. D´ emontrer que la r´ eunion des bases de Ker(T − Id) et Ker(T + id) permet d’obtenir une base de M ₃ ( R ).

5. Justifier que pour toute matrice M ∈ M ₃ ( R ) peut se d´ ecomposer comme une somme d’une matrice Ker(T − Id) et d’une matrice de Ker(T + Id).

On appelle sym´ etrie lin´ eaire d’un ev E, tout endomorphisme s de E tel que s ² = id _E Exercice 11 (Sym´ etrie lin´ eaire).

On d´ efinit l’endomorphisme f de R ³ telle que :

f (1, 1, 0) = (1, 1, 0) f (0, 2, 1) = −(0, 2, 1) f (1, 1, 1) = −(1, 1, 1) 1. Soit (x, y, z) ∈ R ³ . Exprimer f (x, y, z) en fonction de x, y et z

2. Justifier que f ◦ f = Id _R

lorsque Id _R

est l’application identit´ e de R ³ .

3. D´ eterminer une base de Ker(f − Id) et de Ker(f + Id) puis que la r´ eunion de ces deux familles est une base de M ₃ ( R ).

Exercice 12 (Sym´ etrie lin´ eaire).

3

Soit l’application lin´ eaire f : R ³ → R ³ , (x, y, z) → (−2x + 8y − 6z, 2y − 2z, x − y) 1. Exprimer f ² (x, y, z) puis f ³ (x, y, z) en fonction de x, y et z.

2. D´ eterminer une base de Ker(f ), Ker(f ² ) et Ker(f ³ ) ainsi que rg(f), rg(f ² ) et rg(f ³ ).

3. Justifier que Im(f ² ) ⊂ Ker(f ) puis que Im(f ² ) = Ker(f ).

4. Justifier que Im(f ) ⊂ Ker(f ² ) puis que Im(f ² ) = Ker(f ).

5. Soit u = (−1, 1, 1). D´ emontrer que la famille (u, f(u), f ² (u)) est une base de R ³ .

On appelle endomorphisme nilpotent d’un ev E, tout endomorphisme f de E , tel qu’il existe n ∈ N ^∗ tel que f ⁿ = 0 _L(E) . Si tel est le cas, la plus petite valeur de l’entier n tel que f ⁿ = 0 _L(E) est appel´ ee l’ordre de nilpotence de f .

Exercice 13 (Endomorphisme nilpotent).

Soit u et v deux applications qui ` a toute fonction polynomiale P de R 2 [X] associe les fonctions u(P) et v(P) d´ efinies par :

u(P)(x) = −2P(x) + 2xP ⁰ (x) v(P )(x) = 2xP (x) − x ² P ⁰ (x) 1. Montrer que u et v sont des endomorphismes de R 2 [X].

2. Montrer que u ◦ v − v ◦ u = 2v.

3. D´ emontrer que pour tout entier naturel n, on a : u ◦ v ⁿ − v ⁿ ◦ u = 2nv ⁿ Exercice 14.

Soit a, b et c trois r´ eels distincts deux ` a deux.

On consid` ere l’application

f : R 2 [X] → R ³

P → (P (a), P (b), P (c)) 1. Montrer que f est une application lin´ eaire injective.

2. En d´ eduire que f est un isomorphisme.

3. Soit (e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique de R ³ . D´ eterminer pour, i ∈ {1, 2, 3} le polynˆ ome f ⁻¹ (e i ).

4. D´ eterminer l’unique polynˆ ome de R 2 [X] tel que :P (9) = 8 , P (−1) = −17 , P(1, 1) = ⁸ ₃ . Exercice 15 (Polynˆ omes interpolateurs de Lagrange).

On consid` ere les matrices carr´ ees A =

1 0 0 −1

et B = 2 2

1 3

. On consid` ere alors l’application h : M ∈ M 2 (R) → AM B.

1. D´ emontrer que les matrices A et B sont inversibles et donner l’´ ecriture des matrices inverses.

2. Justifier que h est un endomorphisme de M ₂ ( R ) .

3. Montrer que h est bijectif et exprimer h ⁻¹ (bijection r´ eciproque) sous une forme analogue ` a h.

Exercice 16 (d’apr` es EML 2012).

4