Sujet d’oral blanc n˚4

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Sujet d’oral blanc n˚4

Exercice 1

Soit n un entier naturel plus grand ou ´egal `a 2. Dans une urne, il y a k boules blanches et (n−k) boules noires (1≤k ≤n−1). On les tire une `a une sans remise. X d´esigne le rang de la derni`ere boule blanche tir´ee.

1. Montrer que pour tout i, j tels que i∈N^∗, 0≤j ≤i−1 : C_i^j =C_i+1^j+1−C_i^j+1. 2. Justifier que X(Ω) ⊂Jk, nK et montrer que :

∀i∈Jk, nK F_X(i) = C_i^k C_n^k o`uF_X d´esigne la fonction de r´epartition deX.

3. Donner la loi deX.

4. (a) Montrer que :

n

X

i=k

C_i^k =C_n+1^k+1.

(b) Calculer E(X).

Exercice 2

Soit E l’espace vectoriel des fonctions de R dans R, de classe C^∞ sur R. Soient f₁ et f₂ les

´

el´ements deE d´efinis par :

f₁: R→R; x7→e^2x et f₂: R→R; x7→xe^2x. On note F le sous-espace vectoriel de E engendr´e parf₁ etf₂ :

F = Vect(f₁, f₂).

1. Montrer que (f₁, f₂) est une base de F. 2. Soitϕl’application d´efinie par :

ϕ: E →E ; f 7→f⁰. (a) Montrer que ϕinduit un endormorphisme de F.

(b) On note ϕ_|F l’endomorphisme de F induit par ϕ. D´eterminer la matrice M de ϕ_|F dans la base (f₁, f₂).

(c) Calculer Mⁿ pour toutn ∈N. On pourra s’aider de la matrice N =

0 1 0 0

.