Lyc´ee Benjamin Franklin PT − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚4
L’exercice 1 est `a r´ealiser au tableau, l’exercice 2 avec l’aide de Maple
Exercice 1 (Int´egrale `a param`etre) Soit F la fonction d´efinie par :
F : [0,+∞[ → R
x 7→
Z +∞
0
e−x(1+t2) 1 +t2 dt
.
1. D´emontrer queF est bien d´efinie et continue sur [0,+∞[.
2. Etudier la limite ´eventuelle de´ F en +∞.
3. D´emontrer queF est de classe C1 sur tout intervalle [a,+∞[, o`ua∈R>0. 4. A l’aide d’un changement de variable, d´emontrer que pour tout` x∈R>0 :
F′(x) =−C e−x
x o`uC :=
Z +∞
0
e−u2 du.
Exercice 2 (Projection orthogonale)
Soit E leR-espace vectoriel des fonctions de [0,1] dans R continues sur [0,1]. On d´efinit sur E le produit scalaire <·,·>par :
<·,·> : E×E → R
(f, g) 7→ < f, g >:=
Z 1
0
f(x)g(x)dx .
1. Soit F le sous-espace vectoriel de E form´e par les fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 4. D´eterminer une base orthonorm´ee de F.
2. Soit f la fonction d´efinie par :
f : [0,1] → R
x 7→ 1− |2x−1|
.
Calculer la projection orthogonale de f sur F, not´eep(f).
3. Tracer les courbes repr´esentatives def etp(f) sur un mˆeme graphique.
