Techniques quantitatives 2 Chim`ene Fischler

Techniques quantitatives 2

Chim`ene Fischler¹

L1 Economie-Gestion, 2019-2020 Universit´e Paris 8, Vincennes - Saint-Denis Contenu du module :

Le cours de Techniques Quantitatives 2 comporte deux parties : Analyse et Statistiques.

Chacune est la suite de la partie correspondante du cours de Techniques Quantitatives 1. Le plan du cours est le suivant :

— Partie I : Analyse

— Chapitre 1 : Optimisation des fonctions d’une variable.

— Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables.

— Chapitre 3 : Comportements asymptotiques.

— Chapitre 4 : Int´egrales.

— Partie II : Statistiques

— Chapitre 1 : S´eries bivari´ees.

— Chapitre 2 : R´egression.

Evaluation :

— Contrˆole continu (40% de la note finale) : une ´epreuve vers d´ebut mars, et une autre vers fin mars.

— Contrˆole terminal (60% de la note finale) : un examen fin avril 2020.

Remarques importantes :

1. Les documents, notes de cours et mat´eriels ´electroniques (t´el´ephones por- tables, . . . ) sont INTERDITS aux examens ;

2. L’assiduit´e aux cours-TD est obligatoire, sauf dispense pour raisons profes- sionnelles ´etablie aupr`es du secr´etariat ;

3. Les changements de groupe ne sont pas autoris´es.

Bibliographie indicative :

— Analyse 1, exercices corrig´es avec rappels de cours, Jean-Pierre Lecoutre et Philippe Pilibossian, Dunod.

— Analyse math´ematique pour ´economistes, Gabriel Archinard et Bernard Guerrien, Economica.

— Math´ematiques pour ´economistes, Carl P. Simon et Lawrence Blume, De Boeck.

— Statistique descriptive. Applications avec Excel et calculatrices, Etienne Bressoud et Jean-Claude Kahan´e, Pearson.

— Premiers pas en statistique, Yadolah Dodge, Springer.

— Statistique descriptive, Maurice Lethielleux, Dunod.

— Math´ematiques en ´economie-gestion, St´ephane Rossignol, Dunod.

Annales :Des annales sont disponibles sur la page web suivante : http://famille.fischler.free.fr/

1. Adresse email : famille.fischler@gmail.com

Feuille n

^o

I.1 : Optimisation des fonctions d’une variable

Exercice 1 - Trouver les extrema ´eventuels des fonctions suivantes, et d´eterminer la nature de chacun d’entre eux :

(a) f(x) =x−x²

4 (b) g(x) = 1

2x⁴−x²+ 1 (c) h(x) = (x−1)²(x+ 1)³ (d) i(x) =xe^x (e) j(x) =xln(x)

Exercice 2 - D´emontrer que la fonctionf :x7→ |x|est convexe surR. La fonctiong:x7→ ¹_x est-elle convexe sur ]0,+∞[ ?

Exercice 3 - Consid´erons la fonctionf d´efinie par f(x) =xe^2x.

1. Dresser le tableau de variations defen pr´ecisant les limites aux bornes de son ensemble de d´efinition.

2. Etudier la concavit´e ou la convexit´e def. Exercice 4 - Consid´erons la fonctionf d´efinie par

f(x) = (x+ 1)e^1+xx .

1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f; ´etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e de f sur cet ensemble.

2. D´eterminer le comportement def(x) quand x tend vers +∞, vers −∞, vers−1.

3. Dresser le tableau de variations def. 4. Etudier la concavit´e ou la convexit´e def.

5. Calculer l’´elasticit´e de f par rapport `a x, et sa valeur en x = 1. On rappelle que l’´elasticit´ed’une fonctionf (d´erivable et qui ne s’annule pas) est donn´ee par _f(x)^x f⁰(x).

Feuille n

^o

I.2 : Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1 - D´emontrer que la fonction f d´efinie par f(x, y, z) = 1

x²+y²+z² tend vers +∞ quand (x, y, z)→(0,0,0).

Exercice 2 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles _∂x^∂ , _∂y^∂, _∂x^∂22,

∂²

∂y² et _∂x∂y^∂2 des fonctions suivantes : 1. f(x, y) =xyln(x).

2. g(x, y) =e^x2y. 3. h(x, y) = ^x2_xy^+y2.

Exercice 3 - Donner le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre au plus 2 de la fonction

f(x, y, z) = e^z2 x²+y². Exercice 4 - Calculer le gradient des fonctions suivantes :

1. f(x1, x2, x3) =x1+x²₂+x³₃. 2. g(x1, x2, x3, x4) =x1x²₂x³₃x⁴₄.

3. h(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) =x₂e^x21 +^x3ln(x_x ⁴⁾

5 .

Exercice 5 - Calculer la jacobienne de la fonction

f(x₁, x₂, x₃, x₄) = (e^x1x2, x²₁x²₃,ln(x₃+x₄)).

Exercice 6 - D´eterminer et discuter les points critiques de la fonctionf(x, y) =x³+y³−3xy.

Exercice 7 - D´eterminer les extrema de la fonction

f(x, y, z) =x³z+y³−3x²y−2z².

Feuille n

^o

I.3 : Comportements asymptotiques

Exercice 1 - D´emontrer que, lorsque x tend vers 0 :

(a) x²ln(x) =o(x); (b) sin(x) =O(x).

Exercice 2 - Donner un ´equivalent simple de chacune des fonctions suivantes : (a) f(x) = 2x³−4x+ 2

x²+ 1 , x→+∞; (b) g(x) =p

x²−x+ 1, x→+∞;

(c) h(x) =e^x−1, x→0; (d) j(x) =xln(1 +x), x→0.

Exercice 3 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Young en 0 de chacune des fonctions suivantes :

(a) f(x) = sin(2x) `a l’ordre 2 ; (b) g(x) = cos(x<sup>2</sup>) `a l’ordre 3 ; (c) h(x) =p

x²+ 1 `a l’ordre 2 ; (d) j(x) = 1

2 +x `a l’ordre 3.

Exercice 4 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange de chacune des fonctions sui- vantes :

(a) f(x) = ln(x) en 1, `a l’ordre 3 ; (b) g(x) =e<sup>3x</sup> en 0, `a l’ordre 4 ; (c) h(x) = 3x+ 2

2x+ 1 en 0, `a l’ordre 2.

Exercice 5 - Donner le d´eveloppement de Taylor-Lagrange de la fonctione^xen 0 `a l’ordre 4, et en d´eduire une valeur approch´ee dee^0,1.

Feuille n

^o

I.4 : Int´ egrales

Exercice 1 - D´eterminer des primitives des fonctions suivantes : _x2^x+5;xe^x2; ^√x2

x³+2. Exercice 2 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant (une ou plusieurs fois) la formule d’int´egration par parties :

(a) Z b

a

ln(x)xⁿdxavec a, b >0 et nentier,n≥0; (b) Z e

1

ln(x)

x² dx; (c) Z 5

2

xe^xdx;

(d) Z 4

−3

x²e^xdx; (e) Z π/2

−π/2

xsin(x)dx; (f) Z 1

0

e^xsin(2x)dx.

Exercice 3 - Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant un changement de variables : (a)

Z 8 2

(ln(t))⁴

t dt; (b)

Z π/4

−π/6

tan(x)dx(on posera u= cos(x)); (c) Z 2

1

t³ln(t)dt;

(d) Z

√2/2

0

√ x

1−x²dx(on posera x= sin(t)); (e) Z 1

0

dx

1 +x² (on posera x= tan(t)).

Exercice 4 - Soientx₀ un nombre r´eel etnun entier. Calculer une primitive de la fonction

1

(x−x0)ⁿ, en distinguant selon quenest ´egal `a 1 ou pas, et si n´ecessaire selon le signe dex−x0. En ´ecrivant que _x2¹−1 = ¹₂(_x−1¹ −_x+1¹ ), en d´eduire la valeur de l’int´egrale suivante :R1/2

0 dx x²−1. Exercice 5 - Notons f la fonction d´efinie sur R par f(x) = _1+x^x2, et g celle d´efinie par g(x) = _1+x^x32. On pose I1 =R₁

0 f(x)dx etI2=R₁

0 g(x)dx. CalculerI1 etI1+I2; en d´eduire la valeur deI₂.

Exercice 6 - Soit aun nombre r´eel tel que a <3.

1. D´eterminer deux nombres r´eelspet q tels que t

3−t =p+ q 3−t. 2. En d´eduire la valeur de l’int´egraleR_a

0 t 3−tdt.

3. CalculerRa

0 ln(1−₃^t)dt en utilisant une int´egration par parties.

Exercice 7 - Calculer l’int´egrale suivante :R1

−1(2 +x)e^−xdx.

Exercice 8 - Etudier si les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes convergent ou non, et quand elles convergent donner leur valeur.

(a) Z +∞

0

x dx x²+ 4 (b)

Z +∞

0

x sin(2x)dx (c)

Z +∞

0

te^−t2dt

(d) Z +∞

0

x²e^−xdx.

Exercice 9 - Etudier la convergence de chacune des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes, en pr´ecisant o`u se situe(nt) le(s) point(s) `a probl`eme. Mˆeme en cas de convergence, on ne de- mande pas de calculer la valeur de l’int´egrale.

(a) Z +∞

1

dt t√

t²+ 2 (b)

Z +∞

0

sin²t t³+ 1dt (c)

Z ₁

0

sint

√t³−t⁵dt

(d)

Z +∞

0

t³ e^t−1dt (e)

Z +∞

0

√t+ 1

√t+√ t⁵dt

Feuille n

^o

II.1 : S´ eries bivari´ ees

Exercice 1 - Le tableau ci-dessous, issu du recensement de 2009, pr´esente les effectifs de la population active ˆag´ee de 15 ans ou plus par cat´egorie socio-professionnelle (CSP) et par sexe. Les donn´ees (l´eg`erement approch´ees) correspondent `a des milliers d’individus.

CSP Hommes Femmes Total

Agriculteurs 365 145 510

Artisans 1238 494 1732

Cadres 2750 1746 4496

Professions interm´ediaires 3443 3781 7224

Employ´es 2037 6700 8737

Ouvriers 5719 1365 7084

Total 15552 14231 29783

1. Calculer les fr´equences partielles f_ij. Interpr´eter au moins une valeur.

2. Calculer les fr´equences marginales f_i+ de la variable CSP (not´ee X), puis celles f_+j de la variable sexe (not´eeY). Interpr´eter.

3. Calculer les fr´equences conditionnelles f_X=xi|Y=yj de la CSP sachant le sexe. In- terpr´eter au moins une valeur.

4. Calculer les fr´equences conditionnellesf_Y=yj|X=xi du sexe sachant la CSP.

5. Conclure sur l’existence ou non d’une liaison entre ces deux crit`eres.

Exercice 2 - Cet exercice porte sur une enquˆete r´ealis´ee sur un ´echantillon de 1000 personnes

`

a propos de l’impact de la publicit´e diffus´ee `a la t´el´evision sur l’achat d’un produit. La table de contingence est la suivante :

Achat|Publicit´e Oui Non Total

Oui n11 n12 n1+

Non n21 n22 n2+

Total n+1 n+2 1000

On dispose des informations suivantes :

• 25% des personnes interrog´ees ont achet´e le produit.

• Parmi les personnes ayant vu la publicit´e, une sur trois a achet´e le produit.

• Parmi les gens ayant achet´e le produit, 60% n’ont pas vu la publicit´e.

1. Compl´eter la table de contingence `a l’aide des informations ci-dessus.

2. Peut-on dire que la publicit´e a un impact sur l’achat de ce produit ?

Exercice 3 - Une ´etude sur les prˆets `a la consommation accord´es `a des jeunes de 18-25 ans dans un certain organisme bancaire au cours d’une ann´ee a permis d’obtenir la r´epartition suivante des prˆets selon le montantX et le type d’achatY :

Montant |Type V´ehicule Mobilier Tr´esorerie Divers Total

[1000, 10000[ 41 14 24 22 101

[10000, 25000[ 123 33 15 18 189

[25000, 50000[ 78 13 1 4 96

[50000, 100000[ 20 1 1 2 24

Total 262 61 41 46 410

1. Donnern12,n3+ etn+4. 2. Calculerf_X=x1|Y=y3.

3. Calculer la moyenne marginale, la variance marginale et l’´ecart-type marginal de X.

4. Calculer la moyenne conditionnelle, la variance conditionnelle et l’´ecart-type condi- tionnel de X.

Exercice 4 - On a interrog´e 318 ´etudiants sur leurs achats de jeux vid´eo neufs et d’occasion au cours de la derni`ere ann´ee. Le tableau suivant croise le nombre de jeux achet´es neufs (X) avec le nombre de jeux achet´es d’occasion (Y).

Neuf (X) |D’occasion (Y) 0 1 [2 ;4[

0 157 8 5

1 55 8 8

[2 ;4[ 49 9 19

1. Calculer la moyenne marginalex et la variance V(x).

2. Calculer la moyenne marginaley et la varianceV(y).

3. Calculer la covariance entreX etY. Conclure sur la d´ependance entre X etY. 4. Effectuer un test du khi2 au seuil de signification de 5%. Conclure sur la d´ependance

entre X etY.

Exercice 5 - On veut ´etudier la liaison entre les caract`eres : ˆetre fumeur (plus de 20 cigarettes par jour, pendant 10 ans) et avoir un cancer de la gorge, sur une population de 1000 personnes, dont 500 sont atteintes d’un cancer de la gorge. Voici les r´esultats observ´es :

Cancer Non cancer Total

Fumeur 342 258 600

Non fumeur 158 242 400

Total 500 500 1000

Effectuer un test du khi2 au seuil de signification de 1‰.

Exercice 6 - Un ´editeur de presse cherche `a ´etablir un lien entre les ventes de trois quotidiens A,B,C et le niveau social des acheteurs. Une enquˆete sur 300 lecteurs montre comment les niveaux sociaux professionnels se r´epartissent selon chaque quotidien. On obtient le tableau suivant.

A B C

Salari´es 31 11 12

Fonctionnaires 49 59 51 Cadres moyens 18 26 31 Cadres sup´erieurs 2 4 6

En suivant la m´ethode du khi2, jusqu’`a quel seuil d’erreur peut-on rejeter l’hypoth`ese que le quotidien choisi ne d´epend pas du niveau social du lecteur ?

Feuille n

^o

II.2 : R´ egression

Exercice 1 - Le tableau suivant montre l’´evolution, pour chaque ann´eeientre 2005 et 2014, du prix moyen (not´e xi) d’un panier d’actions et de celui (not´e yi) d’un panier d’obligations.

Ann´eei Actions xi Obligations yi

2005 352 1024

2006 360 998

2007 358 980

2008 361 970

2009 366 982

2010 382 972

2011 398 935

2012 406 902

2013 450 895

2014 445 900

1. Calculerx,y,V(x),V(y) et Cov(x, y).

2. Calculer le coefficient de corr´elationr, et interpr´eter le r´esultat obtenu.

3. (a) En utilisant la m´ethode MCO, calculer les coefficients ˆa et ˆb de la droite de r´egression de Y selonx.

(b) Si en 2015 le prix moyen du panier d’actions est de 420, `a combien peut-on estimer celui du panier d’obligations ?

Exercice 2 - Une ´etude a ´et´e lanc´ee pour comparer, individu par individu, le temps consacr´e

`

a t´el´echarger des contenus musicaux sur un site internet donn´e et les d´epenses effectu´ees pour l’achat de disques (CD). 62 personnes ont ´et´e interrog´ees ; on note xi le nombre d’heures de t´el´echargement effectu´ees en un mois par l’individu num´eroi, et y_i ses d´epenses en achats de disques (en euros). Voici un extrait des informations recueillies :

Individu num´ero i Temps de t´el´echargementxi D´epenses yi xiyi x²_i y_i²

1 101 130 13130 10201 16900

2 14 120 1680 196 14400

... ... ... ... ... ...

61 29 610 17690 841 372100

62 128 601 76928 16384 361201

Total 6225 18213 2372404 785425 7691039

1. Calculerx,y,V(x),V(y) et Cov(x, y).

2. Calculer le coefficient de corr´elationr, et interpr´eter le r´esultat obtenu.

3. (a) En utilisant la m´ethode MCO, calculer les coefficients ˆa et ˆb de la droite de

(b) Un individu a pass´e 128 heures `a t´el´echarger de la musique sur ce site. Donner une estimation du montant de ses achats de disques.

(c) En r´ealit´e cet individu a d´epens´e 184 euros en achats de disques. Pourquoi ce montant diff`ere-t-il de celui calcul´e `a la question pr´ec´edente ?

4. Effectuer le test du coefficient de corr´elation lin´eaire de Student au seuil de signification de 5 %.

5. Calculer des intervalles de confiance de ˆaet ˆb au seuil de signification de 5 %.

6. Retrouver le r´esultat de la question 4 en effectuant un test de Fisher au seuil de signification de 5 %.

Exercice 3 - Le responsable d’une chaˆıne locale de magasins de bricolage pense qu’il y a une relation entre le nombre de personnes qui s’installent dans la r´egion et le chiffre d’affaires de ses magasins. Pour chaque ann´eetentre 2005 et 2014, il a not´e le nombrex_t de personnes ayant d´em´enag´e pour s’intaller dans la r´egion (en milliers de personnes), et aussi le chiffre d’affaire cumul´e ytde l’ensemble de ses magasins (en millions d’euros) :

Ann´eet x_t y_t 2005 5.2 25.85 2006 4.6 28.30 2007 7.3 31.68 2008 8.2 36.98 2009 6.4 31.89 2010 7.8 34.59 2011 3.6 24.14 2012 4.9 23.11 2013 2.6 18.60 2014 3.7 24.72

1. Calculerx,y,V(x),V(y) et Cov(x, y).

2. Calculer le coefficient de corr´elationr, et interpr´eter le r´esultat obtenu.

3. (a) En utilisant la m´ethode MCO, calculer les coefficients ˆa et ˆb de la droite de r´egression de Y selonx.

(b) En 2015 les services statistiques de la r´egion pr´evoient que 4900 personnes vont s’y installer. Quel chiffre d’affaires cumul´e le responsable est-il en droit d’attendre ? (c) Comparer le r´esultat de la question (b) avec la situation de 2012 : pourquoi

n’obtient-on pas la mˆeme valeur ?

4. Effectuer le test du coefficient de corr´elation lin´eaire de Student au seuil de signification de 1 %.

5. Calculer des intervalles de confiance de ˆaet ˆb au seuil de signification de 1 %.

7

Annexes

loi de Student P(X

>

f) =

p;

on lit , dqns lo toble et p figure sur lo première ligne

Loi de Khi-2

P(x

> r)

2 4 6 7 8

10 1J 12 't3 14 15 -t716

18 19 2A 21 22 24 26 27 2A 29 30 3'l 32 34

13,82 10,60 9,21 7.3A 5,99 4,61 0,21 0,10 o,o5 o,o2 o,ot

^0,oo

-16,27

12,a4 11,35 9,35 7,A2 6,25 0,58 0,35 O,22 O,.t2 O,O7

O,O2

-ts,47 14,86 13,28

11,',t4

S,49 7,78 1,06 0,71 0,48 O,3O O,21

^O,O9

20,52 16,75 15,æ 12,83 11,07 9,24 1,61 1,.15 0,83 0,55 0,4.t

^O,21

22,46 18,55 16,81 t4,45 12,59 10,65 2,20 1,64 1,24 O,87 0,68

^0,38

24,32 20,2A 18,48 16,01 14,07 12,02 2,93 2,.17 1,69 1,24 0,99

^0,60

26,12 21,98 20,09 17,54 15,51

^.19,36

3,49 2,73 2,.tA 1,65 1,34

^0,86

27,88 23,59 21,67 19,02 16,92 14.68 4,17 3,33 210 2,09 1,74

^1,15

29,59 25!'t9 23,2't 20,48 't8,31 15,99 4,87 3,94 3,25 2,56 2,16

^1,4A

31,26 26,76 24,73 21,92 19,68 17,28 5,58 4,58 3,82 3,05 2,60

^.t,83

32,91 28,30 26,22 23,34

2'1,03

18,55 6,30 5,23 4,4O 3,57 3,07

^2,21

34,53 29,82 27Ê9 24,74 22,36 19,81 7,04 5,89 5,0.t 4,11 3,57

^2,62

36!12 31,32 29,14 26,12 23,69 21,A6 7,79 6,57 5,63 4,6ô 4,08

^3,04

37,70

32,A0

30,58 27,49 25,00 22,31 8,s5 7,26 6,26 5,23 4,60

^3,48

39,25 34,27 32,00 28,8s 26,30 23,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5,14

^3,94

40,79

35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5,70

^4,42

42,31

37,'t6 34,81 31,53

2A,87

25,99 10,87 9,S9 8,23 7,02 6,27

^4,91

43,82 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 11,65 10,.t2 8,91 7,63 6,84

^5,41

45,31 40,00 37,57 34,17 31,41 28,4't 12,44 10,85 9,59 8,26 7,43

^5,92

46,80 4r,40 39,93 35,48 32,67 29,62 13,24 1't,59 't0,28 8,90 8,03

^6,45

4e,27

42,A0 40,29

36,78 33,92 30,81 14,04 12,34 .t0,98 9,54 8,64

^6,98

49,73

44,18

41,64 38,09 35,17 32,01 14,85 13,09 11,69 10,20 9,26

^7,53

51,18 45,56 42,98

3S,36

36,42 33,20 15,66 13,85 12,40 10,86 9,89

^8,OS

52,62

46,93 44,3'1

40,65 37,65 34,39 16!47

14,6.1

13.12 11,52.10,52

8,65

54,05 48,29 45,64

41,92

38,89 35,56 17,29.t5,38

19,A4

12,20 11,16

9,22

ss,48 49,65 46,96 43,20 40,11 36,74 18,11

16,.15 .14,57

12,88

11,8.1 9,80

56,89 50,99 48,28 44,48

41,34

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^10,3S

59,30 52,34 49,59 4s,72 42,56 39,09 19,77 17,71.16,05 14,26

13,12 10,99

59,70 53,67 50,89 46,S8 43,77

40,26

20,60 18,49 16,79 14,95

13,79.t.t,59

61,10 55,00 52,19 48,23 44,99

41,42

21,43 19,28 17,54 15,66 14,46

^12,20

62,49 56,33 53,49 49,48 46,19 42,59 22,27 20,07 18,29

16,36

1s,13

12,8.1

63,87 57,65 54,78

50,73

47,40

43.75

23,11 20,97 19,05 17,07

^'15,82 13,43

65,25 58,96 56,06 51,97 48,60 44,90 23,95

2.1,66

19,81 .t7,79

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^14,06

244 Stotistique descri ptive

Annexes : tables statistiques

Table du khi2

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Table de Fisher au seuil de 5%