Techniques quantitatives 1 Equipe pédagogique : Didier Delhaye, Chimène Fischler, Hela Maafi, Jacques Pelletan

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Techniques quantitatives 1

Equipe p´edagogique : Didier Delhaye, Chim`ene Fischler, Hela Maafi, Jacques Pelletan¹ L1 Economie-Gestion, 2020-2021

Universit´e Paris 8, Vincennes - Saint-Denis

Contenu du module : Ce cours est divisé en deux parties : calcul différentiel des fonctions d’une variable réelle, et statistiques descriptives. Le plan du cours est le suivant :

— Partie I : Analyse

— Chapitre 1 : Préliminaires et généralités.

— Chapitre 2 : Limites de fonctions.

— Chapitre 3 : Continuit´e des fonctions num´eriques.

— Chapitre 4 : Dérivabilité et dérivée.

— Partie II : Statistique descriptive

— Chapitre 1 : Préliminaires, généralités et représentation des données.

— Chapitre 2 : Caract´eristiques de tendance centrale.

— Chapitre 3 : Caract´eristiques de dispersion et de forme.

Evaluation :

— Contrôle continu (40% de la note finale) : un premier contrôle de 30 minutes sur les feuilles I.1 et I.2 en semaine 5 qui compte pour 40% de la note de contrôle continu (sans calculatrice) ; un second contrôle de 2h sur les feuilles I.3, I.4, II.1 et II.2 en semaine 11 qui compte pour 60% de la note de contrôle continu (avec calculatrice).

— Contrˆole terminal (60% de la note finale) : un examen en janvier 2021, portant sur l’ensemble du cours (avec calculatrice).

Remarques importantes :

1. Etant donné le contexte sanitaire, tout étudiant présentant des symptômes

évocateurs du COVID, ou étant cas contact, doit respecter les règles en vigueur d’éviction sociale. Il est formellement interdit de venir à l’université dans ce cas.

2. Les documents, notes de cours et matériels électroniques (téléphones por- tables, . . . ) sont INTERDITS aux examens, sauf la calculatrice.

3. L’assiduité aux TD est obligatoire, sauf dispense pour raisons profession- nelles établie auprès du secrétariat, ou suspicion de COVID (cf 1.) ;

4. Toute absence `a l’un des deux contrˆoles continus (sauf suspicion de COVID, cf 1.) entraˆıne l’exclusion de la session 1.

5. Les changements de groupe ne sont pas autoris´es.

Bibliographie indicative :

— Statistique descriptive. Applications avec Excel et calculatrices, Etienne Bressoud et Jean-Claude Kahan´e, Pearson.

— Premiers pas en statistique, Yadolah Dodge, Springer.

— Statistique descriptive, Maurice Lethielleux, Dunod.

— Analyse math´ematique pour ´economistes, G. Archinard et B. Guerrien, Economica.

— Mathématiques en économie-gestion, Stéphane Rossignol, Dunod.

— Math´ematiques pour ´economistes, Carl P. Simon et Lawrence Blume, De Boeck.

— Analyse, Math´ematiques, Laurent Piccinini, Ellipses.

Calculatrice : Calculatrice recommand´ee avec menu Statistiques, par exemple Casio Graph 35+ ou Texas Instrument TI-82 Stats.

Annales :Elles sont disponibles `a l’adresse : http://famille.fischler.free.fr/

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Organisation et calendrier

Au vu de la situation sanitaire, le cours se d´eroulera (jusqu’`a nouvel ordre) de fa¸con hybride :

Le cours magistral en vid´eo sera mis en ligne sur Moodle.

Les TD auront lieu en présentiel. Chaque TD portera sur le cours mis en ligne à la fin de la semaine précédente.

La semaine qui suit chaque TD, des corrig´es vid´eo des exercices seront mis en ligne.

Des permanences, à distance ou en présentiel, pourront éventuellement être organisées pour répondre aux questions sur le cours, les exercices, et revenir sur certains exemples.

Si la situation sanitaire venait à se dégrader, les TD seraient assurés à distance (suivant des modalités à définir) et, dans la mesure du possible, les évaluations seraient maintenues en présentiel (si le contexte sanitaire ne le permet plus, elles auront lieu à distance via Moodle).

La priorité sera donnée au respect du calendrier ci-dessous, de manière à couvrir l’intégralité du programme prévu.

L’enseignement est r´eparti sur 12 semaines de la mani`ere suivante :

Semaine 1 (du 14/09) : explication de l’organisation du cours et r´evisions.

Semaine 2 (du 21/09) : Feuille I.1.

Semaine 5 (du 12/10) : Feuille I.3 et contrôle numéro 1 (durée : 30 min).

Pas de cours ni de TD la semaine du 26/10.

Semaine 9 (du 16/11) : Feuilles II.1 et II.2.

Semaine 10 (du 23/11) : Feuilles II.2 et II.3.

Semaine 11 (du 30/11) : Contrôle numéro 2 (durée : 2h).

Semaine 12 (du 07/12) : Feuille II.3.

Les exercices les plus importants (en vue de l’examen et des contrôles) ont été marqués d’un losange noir

. Ils devront avoir été particulièrement bien compris.

Il est indispensable de. vous inscrire, dès que possible, à l’espace de cours TQ1 de votre ENT e-p8 avec la clef d’inscription suivante : TECHQUANT1 Des informations supplémentaires et importantes pourront vous être communiquées par ce biais.

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Partie I : Analyse

Feuille I.1 : Rappels et généralités Feuille I.2 : Limites de fonctions

Feuille I.3 : Continuité des fonctions numériques Feuille I.4 : Dérivabilité et dérivée

Opérations sur les limites et formes indéterminées Dérivées des fonctions usuelles

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Feuille I.1 : Rappels et g´ en´ eralit´ es

Exercice 1 -

1. Consid´erons, dansN, l’ensemble E= [2,7[.

(a) Donner la liste des ´el´ements de E.

(b) Donner l’ensemble des majorants deE et celui de ses minorants.

(c) Donner (si ils existent) le maximum, le minimum, la borne sup´erieure et la borne inf´erieure deE.

2. Reprendre les questions précédentes avec encoreE = [2,7[, mais considéré cette fois-ci dans R.

3. Faire de mˆeme avec [−2 ; 3,5] dans Z, puis dans R.

4.

^Dans ^R, reprendre les mˆemes questions pour chacun des ensembles suivants : (a) {x∈R,∃n∈N^? tel quex= _2n¹ }.

(b) {x∈R,∃n∈N tel quex= 4n}.

(c) {x∈R, x²−4x+ 1≤0}.

(d) {x∈R, x6=−2 et ^x−4_x+2 ≥0}.

(e) {_n¹ + (−1)ⁿ, n∈N^?}.

Exercice 2 - D´emontrer que (1 +a²)(1 +b²)(1 +c²)≥8abcpour tous a, b, c≥0.

Exercice 3 - Démontrer queE(x) +E(−x) est égal à−1 pourx∈R\Z, et à 0 pourx∈Z. Exercice 4 - Soit I un intervalle de R et f : I → R, x → x². Discuter, en fonction de l’intervalle I choisi, si f admet une réciproque et l’expliciter le cas échéant.

Exercice 5 - R´esoudre dansR les ´equations suivantes : 1.

^e^3x^{= 2.}

2.

^ln^x^{= 3.}

3. lnx+ ln(x²) + ln 2 = 1.

4. lnx+x=−2.

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Feuille I.2 : Limites de fonctions

Exercice 1 - Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer la limite de f(x) quand x tend vers +∞ puis quandx tend vers−∞ :

(a)f(x) = 5x³−4x²+x−1 (b)f(x) = 2x(x−1)(2−x)(3+x) (c)f(x) = 2x²+ 3x−7 5x²+ 5x+ 4 (d)f(x) = x³−7x²+ 4x+ 1

(x²−1)(3x−5) (e)f(x) = (1−2x)(2−3x)(3−4x)

(2 +x)(3 + 2x)(4 + 3x) (f)f(x) = x−3

x−1−x2x+ 5 x²−7 Exercice 2 -

Etudier la limite ´eventuelle de f en x₀, dans chacun des cas suivants :

1. f(x) = _(x−3)(x^2x²^+3x+12−1), x₀∈ {−∞,−1,1,3,+∞}.

2. f(x) = ^5x_x2²−3x+2^−4x−1, x0 ∈ {−∞,1,2,+∞}.

3. f(x) =√

2x²−3x+ 1−√

x²+x−1, x₀∈ {−∞,+∞}.

4. f(x) =√

x²−1−√

x²+x+ 1, x₀ ∈ {−∞,+∞}.

5. f(x) =

√x−1−2

x−5 , x₀ ∈ {5,+∞}.

6. f(x) =x(√

x²+ 1−x), x₀ ∈ {−∞,+∞}.

7. f(x) = ^x²⁻

√x

√x−1 , x₀∈ {1,+∞}.

Exercice 3 - D´eterminer (si elles existent) les limites des expressions suivantes : (a)x+ 1 +

√ x²

x , x→0; (b) x³+ 3x²−3x−1

x²+x−2 , x→1 et x→+∞;

(c) 2x²+ 3x−1

3x²+ 1 , x→+∞; (d) x√ x+x

x²+ 4x+ 1, x→+∞;

(e)x−p

x²−x, x→+∞; (f) x+ 1

√3

x³+ 2x, x→+∞;

(g)

√x

q x+p

x+√ x

, x→+∞; (h) 1

1−x− 3

1−x³, x→1; (i)

√1 +x−1

√3

1 +x−1, x→0.

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Feuille I.3 : Continuit´ e des fonctions num´ eriques

Exercice 1 - La fonction d’offre d’une entreprise est donn´ee par : ( S(p) = 0 sip <2,

S(p) =p+ 4 si p≥2.

Etudier la continuit´e de la fonction S(p).

Exercice 2 -

^Soient âun nombre réel, etf la fonction définie par : f(x) =

( x+ 1 pour x≤1, 3−ax² pour x >1.

Pour quelles valeurs deala fonctionf est-elle continue en 1 ?

Exercice 3 -

Montrer que tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

Dans le cas particulier de P(x) = x⁵ + 4x²−3, donner une valeur approch´ee d’une racine r´eelle.

Exercice 4 - Dans cet exercice, on consid`ere la fonctionf(x) = _x2¹−1; on notegsa restriction

`

a l’intervalle [0,1[, et h sa restriction `a ]1,+∞[.

1. Quel est l’ensemble de d´efinition def? Est-elle continue en tout point de cet ensemble ? 2. Etudier les limites def en +∞, en−∞et au voisinage des ´eventuels points en lesquels

f n’est pas d´efinie ou pas continue.

3. Dresser le tableau de variation def et tracer sa courbe repr´esentative.

4. Pour chacune des fonctions g et h, donner l’ensemble de d´efinition, les limites aux bornes de cet ensemble et tracer la courbe repr´esentative.

5. Démontrer que g et h ont des applications réciproques ; calculer g⁻¹(y) et h⁻¹(y) en précisant pour quelles valeurs dey ces notations ont un sens.

6. Soitm∈R. D´eterminer le nombre de solutions x∈R+ de l’´equation f(x) =m.

7. Démontrer quef est paire, et en déduire (pour m∈R) le nombre de solutionsx∈R de l’équation f(x) =m.

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Feuille I.4 : D´ erivabilit´ e et d´ eriv´ ee

Exercice 1 -

^D´eterminer les r´eelsaetbpour que la fonction f(x) =

( 1 si x≥1 x²+ax+b si x <1

soit continue et dérivable au pointx= 1. Démontrer que pour ces valeurs deaetb, la fonction f est continue et dérivable sur R.

Exercice 2 - Démontrer que la dérivée d’une fonction paire dérivable est impaire.

Exercice 3 -

Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : f(x) =

√2x+ 5

x−2 ; g(x) = x³−x+ 4

x−3 ; h(x) =e

√x; j(x) =xln(x²+ 3).

Exercice 4 - On rappelle que l’élasticité d’une fonction f (dérivable et qui ne s’annule pas) est donnée par _f_(x)^x f⁰(x). Déterminer l’élasticité des fonctions suivantes : 2^x;x^2/5;x^x. Exercice 5 - Considérons la fonctionf définie par :

( f(x) = (x²+ 2x) ln(x²)−3x²−8x six6= 0 f(0) = 0

Etudier la continuité et la dérivabilité def en 0, puis ses variations. Tracer enfin sa courbe représentative.

Exercice 6 -

^Notons^g la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0, e[ parg(x) = ^lnx−2_lnx−1. 1. Etudier le sens de variation deg sur ]0, e[.

2. Démontrer que g définit une bijection de ]0, e[ sur ]1,+∞[, et préciser les propriétés de sa fonction réciproque notéeh.

3. Démontrer queh est dérivable au point 2, et calculer la dérivée de h en ce point.

Exercice 7 -

^Notons^f la fonction d´efinie pour tout nombre r´eelx6=−1 parf(x) = ^x−1_x+1e^x. 1. Etudier le sens de variation def.

2. Tracer le graphe def, en pr´ecisant ses asymptotes ´eventuelles.

3. Etant donné un nombre réelm, quel est (en fonction dem) le nombre de solutions de l’équationf(x) =m?

Exercice 8 -

Donner une valeur approch´ee de f(x) = 3x⁴+ 2x³+x pour x= 1,2.

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Exercice 9 -

^Notons^f la fonction d´efinie par f(x) = ^ln(x)^√_x pour x >0.

1. Dresser le tableau de variations de f, et tracer sa courbe représentative (notée C) en précisant les asymptotes éventuelles.

2. Notons (T) la tangente à C au point d’abscisse 1. Déterminer une équation de (T).

3. Notons g la fonction définie par g(x) = (x−1)−f(x) pour x > 0. Vérifier que sa dérivée est donnée par

g⁰(x) = 1 2x√

x h

ln(x) + 2

x√ x−1

i

;

calculer alors g⁰(1), et ´etudier le signe de g⁰(x) sur chacun des intervalles ]0,1[ et ]1,+∞[.

4. Calculerg(1) et, à l’aide du sens de variation deg, étudier le signe deg(x). En déduire la position relative de la courbeC et de la tangente (T). Tracer (T).

Exercice 10 - Notons f et h les fonctions d´efinies pour x > 0 par h(x) = x−ln(x) et f(x) = _h(x)^x .

1. Etudier le sens de variation de h; en d´eduire que h(x) >0 pour tout x >0, et quef est bien d´efinie.

2. Dresser le tableau de variations def.

3. Notonsφla fonction d´efinie sur [0,+∞[ par φ(0) = 0 etφ(x) =f(x) pour toutx >0.

Démontrer queφprolongef par continuité. Etudier la dérivabilité deφen 0, et tracer la courbe représentative de φ.

Exercice 11 - Notonsf, g, h les fonctions d´efinies sur [0,+∞[ par : f(0) = 1 et f(x) = ln(1 +x)

x pourx >0;

g(x) = ln(1 +x)− x−x²

2 +x³ 3

et h(x) = x

1 +x −ln(1 +x) pour tout x≥0.

1. D´emontrer quef est continue sur [0,+∞[.

2. Etudier le sens de variation deg, calculerg(0) et en d´eduire que ln(1 +x)≤x−x²

2 +x³

3 pour toutx≥0.

3. En introduisant et en étudiant une fonction analogue àg, démontrer de même que ln(1 +x)≥x−x²

2 pour tout x≥0.

4. Déduire des questions précédentes que

−1

2 ≤ ln(1 +x)−x x² ≤ −1

2+ x

3 pour toutx >0, et en d´eduire que f est d´erivable en 0 avec f⁰(0) =−¹₂.

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5. Etudier le sens de variation deh, et en d´eduire son signe.

6. D´emontrer quef⁰(x) = ^h(x)_x2 pour toutx >0.

7. Dresser le tableau de variations de f, et tracer sa courbe représentative en précisant les asymptotes éventuelles et en tra¸cant la tangente au point d’abscisse 0.

Exercice 12 -

^Notons^f la fonction d´efinie surRparf(x) = 2e^x−2e^−x−5x.

1. Etudier la parit´e def.

2. En utilisant le fait que limx→+∞e^x

x = +∞, calculer la limite def en +∞. En d´eduire la limite de f en −∞.

3. Calculer la dérivéef⁰(x), et démontrer qu’elle est du même signe que (2e^x−1)(e^x−2).

Dresser alors le tableau de variations de f, et tracer sa courbe repr´esentative.

4. D´emontrer que l’´equation f(x) = 0 admet trois solutions α, 0 et −α (avec α > 0).

Donner une valeur approchée à 10⁻² près deα.

Exercice 13 -

Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer si elle admet une asymp- tote oblique en +∞, et lorsque c’est le cas en donner une ´equation :

(a) f(x) = x²+x+ 2

x−2 ; (b) g(x) = 3x+ 2√

x; (c) h(x) =p x²+ 2.

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Op´ erations sur les limites et formes ind´ etermin´ ees

La notation∗ signifie qu’il faut appliquer lar`egle des signes. Limites des fonctions usuelles

f(x) xⁿ

n∈N^?

1 xⁿ n∈N^?

x^α α∈R^?+

1 x^α α ∈R^?₊

lnx expx

x→−∞lim f(x) ∗∞ 0^∗ X X X 0⁺

x→0lim⁻f(x) 0^∗ ∗∞ X X X 1⁻

x→0lim⁺f(x) 0⁺ +∞ 0⁺ +∞ −∞ 1⁺

x→+∞lim f(x) +∞ 0⁺ +∞ 0⁺ +∞ +∞

Limite d’une somme

lim f l l +∞ −∞ −∞

lim g l⁰ ±∞ +∞ −∞ +∞

lim (f+g) l+l⁰ ±∞ +∞ −∞ F.I.

Limite d’un produit

lim f l l6= 0 ±∞ 0

lim g l⁰ ±∞ ±∞ ±∞

lim (f ×g) l×l⁰ ∗∞ ∗∞ F.I.

Limite d’un quotient

lim f l l l ±∞ ±∞ 0

lim g l⁰ 6= 0 ±∞ 0 l⁰ ±∞ 0

lim f

g

l

l⁰ 0 ∗∞ ∗∞ F.I. F.I.

Calcul de limites dans les cas de formes ind´etermin´ees

limf(x) limg(x) Limite indéterminée Type d’indétermination

+∞ −∞ f(x) +g(x) ∞ − ∞

0 ±∞ f(x)×g(x) 0× ∞

0 0 f(x)

g(x)

0 0

±∞ ±∞ f(x)

g(x)

∞

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D´ eriv´ ees des fonctions usuelles

Fonction f Fonction f⁰ Ensemble de d´efinition def⁰

k 0 R

ax+b a R

1

x − 1

x² R^∗

√x 1

2√

x R^∗+

Rsiα ∈N^∗

x^α αx^α−1 R^∗ si α∈Z^∗−

R^∗+ siα∈R

ln(x) 1

x R^∗+

e^x e^x R

Soientu etv sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalleI.

Opération Fonction Dérivée

Addition u+v u⁰+v⁰

Multiplication par un nombre k×u avec k∈R k×u⁰

Multiplication u×v u⁰×v+u×v⁰

Puissance uⁿ n×u⁰×uⁿ⁻¹

Division u

v

u⁰×v−u×v⁰ v²

Inverse 1

v −v⁰

v²

Fonction compos´ee f◦g f⁰◦g×g⁰

exponentielle e^u u⁰ e^u

logarithme ln(u) u⁰

u

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Partie II : Statistiques descriptives

Feuille II.1 : Préliminaires, généralités et représentation des données Feuille II.2 : Caractéristiques de tendance centrale

Feuille II.3 : Caract´eristiques de dispersion et de forme

(14)

.

Feuille II.1 : Pr´ eliminaires, g´ en´ eralit´ es et repr´ esentation des donn´ ees

Exercice 1 - D´efinir la nature des caract`eres suivants :

(a) lieu de résidence (b) distance domicile-université (c) genre (sexe) (d) impôt sur le revenu (e) nombre de véhicules possédés par un ménage (f) nombre d’élèves dans une classe (g) fumer (h) pratique d’une activité physique (très souvent, souvent, rarement, jamais)

Exercice 2 - Les données suivantes font suite à une enquête de l’Insee concernant les diplômes délivrés dans l’enseignement supérieur en 2003 :

BTS et assimil´es 103 497

DUT 48 142

DEUG, DEUST 119 017

Licence 146 358

Maˆıtrise 97 178

DESS 47 174

DEA 26 819

Doctorat 8 087

Diplˆome de sant´e 7 185

Diplôme d’ingénieur 26 437 Diplôme des écoles de commerce 24 363

1. Pr´eciser le type de caract`ere.

2. Donner le nombre de modalit´es.

Exercice 3 -

^{Une soci´}êté d’assurance fait étudier par son service d’études statistiques la fréquence des sinistres liés aux accidents domestiques dans les familles de deux enfants ou plus. A partir d’un échantillon aléatoire de 200 familles assurées, ayant deux enfants ou plus, on a obtenu la distribution suivante :

Nombre d’accidents 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de familles 25 43 30 37 27 35 2 1

1. Définir la population, le caractère étudié, sa nature et ses modalités.

2. Donner une repr´esentation graphique de cette s´erie.

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Exercice 4 - Le tableau suivant donne le poids en Kg des 30 individus d’un club sportif :

70 70 52 62 56 70 65 58 46 60

80 104 60 51 54 57 58 60 63 80

88 86 88 68 77 54 61 68 45 52

1. Définir la population, le caractère étudié, sa nature et ses modalités.

2. Présenter ces données sous forme de tableau d’une distribution statistique en effectifs, fréquences, fréquences cumulées (croissantes). Préciser ce que représentex, xi, n, ni, fi, ficc.

Interpr´etern2, f1 etf3cc pour cette distribution.

3. À partir de la distribution en effectif, réaliser un histogramme de la série.

Conseil : on sugg`ere de regrouper les observations en classes d’amplitude ´egale de 10.

Exercice 5 -

^{On consid`}^{ere la s´}erie suivante concernant la population (en milliers) par grandes tranches d’ˆages des individus du D´epartement de Paris (75) en 2013.

0 à 14 ans 320 15 à 29 ans 522 30 à 44 ans 514 45 à 59 ans 406 60 à 74 ans 296 75 ans ou plus 169

Total 2 227

Sources : Insee, RP2013 exploitations principales.

1. Calculer les fr´equences.

2. Calculer les fréquences cumulées croissantes et décroissantes.

3. Déduire de la question précédente le pourcentage d’individus âgés de moins de 60 ans, puis de plus de 30 ans.

4. Repr´esenter cette s´erie par un histogramme.

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Feuille II.2 : Caract´ eristiques de tendance centrale

Exercice 1 -

^{On consid`}^{ere la s´}erie suivante concernant l’ˆage des individus compris entre 15 et 45 ans en Ile de France en 2008.

Age Effectifs (en milliers)ni

[15 ; 20[ 749

[20 ; 25[ 829

[25 ; 30[ 907

[30 ; 40[ 1 780

[40 ; 45[ 858

1. Représenter cette série par un graphique approprié.

2. D´eterminer la classe modale et le mode de cette s´erie.

3. Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes et donner graphiquement une estimation du troisième quartile.

4. Calculer la m´ediane de cette s´erie et donner sa signification.

5. D´eterminer la moyenne de cette s´erie.

6. Estimer le nombre d’individus dont l’ˆage est compris entre 33 et 45 ans.

Exercice 2 - Le tableau suivant indique la r´epartition des 1122 agences (r´eparties dans toute la France) d’une compagnie d’assurance, en fonction de leurs chiffres d’affaires (CA en millions d’euros).

Chiffre d’affaires Effectifsn_i de 0 à moins de 2.5 51 de 2.5 à moins de 5 360 de 5 à moins de 10 482 de 10 à moins de 15 154 de 15 à moins de 20 47 de 20 à moins de 25 28

Total P

ni = 1 122

1. Tracer l’histogramme des effectifs.

2. D´eterminer la classe modale de cette distribution et le mode.

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3. Tracer le polygone des fréquences (relatives) cumulées croissantes et en déduire graphiquement la médiane de cette série.

4. D´eterminer les quartiles par le calcul.

5. D´eterminer la moyenne x.

Exercice 3 -

Une entreprise de publicité a fait effectuer une étude sur le budget consacré

`

a la publicité par les entreprises d’une région et a obtenu les données suivantes :

Budget (en milliers d’euros) [0; 50[ [50; 70[ [70; 100[ [100; 120[ [120; 130[ [130; 150[ [150; 200[

Nombre d’entreprises 10 48 52 34 18 22 6

1. Calculer le budget moyen, en rappelant la formule utilis´ee et en pr´esentant l’ensemble des calculs.

2. Préciser la classe modale, en justifiant votre résultat. Calculer le mode de cette série.

3. Calculer le troisi`eme quartileQ₃ et donner sa signification.

4. Calculer le premier et le neuvi`eme d´ecile, D₁ etD₉ et donner leur signification.

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Feuille II.3 : Caract´ eristiques de dispersion et de forme

Exercice 1 - On considère la série des salaires annuels (exprimés en euros) des employés d’une entreprise. On dispose des données suivantes :

Salaire médian 28 000 Premier Quartile Q1 23 000 Troisième QuartileQ3 38 000 Premier décileD1 17 000 Neuvième décileD9 65 000 1. Calculer l’écart-interquartile et donner son interprétation.

2. Représenter la boˆıte à moustaches de cette série.

Exercice 2 -

^{Ces donn´}ees concernent la population de la France m´etropolitaine en 2010, avec les effectifs (en millions) selon l’ˆage.

Age Effectifs (en millions)

[0 ; 20 [ 15, 35

[20 ; 40 [ 13, 24

[40 ; 60 [ 19, 85

[60 ; 90 [ 14, 36

On donne :











Q₃= 58.65 Q₂= 42.83 EIQ= 38.13

Représenter la boˆıte à moustaches en expliquant votre schéma.

Exercice 3 - Une société d’assurance fait étudier par son service d’études statistiques la fréquence des sinistres liés aux accidents domestiques dans les familles de deux enfants ou plus. A cet effet, un sondage est effectué auprès d’un échantillon aléatoire de 200 familles assurées, ayant deux enfants ou plus. On a obtenu la distribution suivante :

Nombre d’accidents 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de familles 25 50 58 37 22 5 2 1 1. D´eterminer la moyenne x.

2. D´eterminer la variance et l’´ecart-type.

(19)

3. Donner le pourcentage du nombre d’accidents qui sont `a moins d’un ´ecart-type de la moyenne.

Exercice 4 - Une entreprise de publicité a fait effectuer une étude sur le budget consacré à la publicité par les entreprises d’une région et a obtenu les données suivantes :

Budget (en milliers d’euros) [0; 50[ [50; 70[ [70; 100[ [100; 120[ [120; 130[ [130; 150[ [150; 200[

Nombre d’entreprises 10 48 52 34 18 22 6

1. Calculer le budget moyen.

2. Calculer la variance et l’´ecart-type.

3. On suppose que les budgets consacrés à la publicité augmentent de 6%. Donner le nouveau budget moyen et le nouvel écart-type.

4. Comparer la dispersion des distributions, avant et apr`es l’augmentation.

Exercice 5 -

Le tableau suivant indique la r´epartition des 1122 agences (r´eparties dans toute la France) d’une compagnie d’assurance, en fonction de leurs chiffres d’affaires (CA en millions d’Euros).

Chiffre d’affaires Effectifsn_i de 0 à moins de 2.5 51 de 2.5 à moins de 5 360 de 5 à moins de 10 482 de 10 à moins de 15 154 de 15 à moins de 20 47 de 20 à moins de 25 28

Total P

n_i = 1 122 1. Déterminer la moyenne xet l’écart-typeσ de cette série.

2. D´eterminer le pourcentage d’agences ayant un chiffre d’affaires compris entrex−σ et x+σ.

3. Déterminer la moyenne x et l’écart-type σ de cette série dans chacun des deux cas suivants :

(a) Les chiffres d’affaires de toutes les agences augmentent de 5%.Commenter.

(b) Les chiffres d’affaires de toutes les agences augmentent de 100000 e ( 0.1 million d’euros). Commenter.

Exercice 6 - La campagne nationale de mensuration 2006, a donn´e les r´esultats suivants concernant la longueur du pied (en cm) :

Pied Moyenne Variance

Femmes 21.81 6.6255

(20)

Exercice 7 - Une entreprise comporte 400 employés et on note X la variable statistique représentant le salaire mensuel. La distribution des salaires fait apparaˆıtre un salaire moyen de 1980 euros et un écart-type de 720 euros.

La direction d´ecide de diminuer les salaires de 3% et ensuite d’augmenter tous les salaires de 110 euros. On noteY la variable statistique repr´esentant le nouveau salaire.

1. Calculer le nouveau salaire moyen, et l’´ecart-type de Y.

2. Comparer la dispersion des caract`eres X etY.

Exercice 8 - On considère la série des salaires annuels (exprimés en euros) des employés d’une entreprise. On dispose des données suivantes :

Salaire médian 25 000 Premier Quartile Q1 22 000 Troisième QuartileQ3 35 000 Premier décile D1 15 000 Neuvième décile D9 60 000 1. Calculer l’écart-interdécile et donner son interprétation.

2. Représenter la boˆıte à moustaches de cette série.

3. Calculer le coefficient d’asymétrie de Yule et interpréter le résultat.

Exercice 9 -

Une entreprise fabrique des pizzas qu’elle livre à domicile. 0n a relevé le temps x de livraison (exprimé en minutes) sur un échantillon de 500 pizzas dans le tableau ci-dessous :

Classes Effectifsn_i

[ 5 ; 10 [ 7

[ 10 ; 15 [ 58

[ 15 ; 25 [ 242 [ 25 ; 30 [ 181

[ 30 ; 35 [ 12

1. Représenter cette série par un graphique approprié.

2. D´eterminer la classe modale et le mode de cette s´erie.

3. Calculer la m´ediane.

4. On donneQ1= 17.48 et Q3= 26.88 ; (a) repr´esenter la boˆıte `a moustaches.

(b) Commenter les positions relatives de la m´ediane, du mode et de la moyenne.

5. Calculer le coefficient d’asymétrie de Yule et interpréter le résultat