Annexe : tables de lois statistiques Table de Student

(1)

Univ. Paris VIII, 2018-2019

Examen de M´ ethodes Quantitatives 2

Dur´ee : 2 heures

Les téléphones portables doivent être éteints. Le barème est donné à titre indicatif. Des tables de lois statistiques sont disponibles à la fin de l’énoncé.

Exercice 1 - (7 points) Le tableau suivant donne la taille X et le poidsY des athl`etes d’un club d’escalade.

Taillexi en m Poidsyi en kg

1,78 82

1,65 63

1,82 90

1,68 62

1,75 69

1,78 72

1,90 95

1,60 56

1,72 68

1,80 84

1. Calculerx,y,V(x),V(y) et Cov(x, y).

2. Calculer le coefficient de corrélationr, et interpréter le résultat obtenu.

3. (a) En utilisant la méthode MCO, calculer les coefficients â et ˆb de la droite de régression de Y selonx.

(b) Un nouvel athl`ete, qui mesure 1m74, s’inscrit au club. Donner une estimation de son poids.

(c) En réalité l’athlète de la question (b) pèse 84kg. Pourquoi l’estimation précédente n’est-elle pas exacte ?

4. Effectuer le test du coefficient de corr´elation lin´eaire de Student au seuil de signification de 5 %.

5. Calculer des intervalles de confiance de ˆaet ˆb au seuil de signification de 5 %.

6. Retrouver le r´esultat de la question 4 en effectuant un test de Fisher au seuil de signification de 5 %.

Exercice 2 - (9 points) Dans cet exercice, les questions sont ind´ependantes.

1. Calculer la matrice jacobienne de la fonctionf suivante (en pr´ecisant son ensemble de d´efinition) :

f(x1, x2, x3, x4) =

x1e^x²

x₃+ 5, ln(x4) x₂ ,√

x1+x2x3x4

.

1

(2)

2. Donner un équivalent simple en +∞ de ^x³_x^+x2+x+2²ê^x⁺². 3. En intégrant par parties, calculerRe

1 x³ln(x)dx.

4. En utilisant la formule de changement de variable, calculerR1 0

√ x

2x²+1dx.

5. Démontrer que l’intégrale généralisée suivante est convergente :R+∞

1 lnx

x³ dx.

Exercice 3 - (4 points) Consid´erons la fonction f d´efinie surR² par : f(x, y) =p

x²+xy+ 2y²+ 1.

1. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 def, c’est-à-dire ^∂f_∂x et ^∂f_∂y. 2. En déduire le gradient et le(s) point(s) critique(s) éventuel(s) def. 3. Déterminer a, b∈Rpour qu’on ait

x²+xy+ 2y²= (x+ay)²+by².

4. En déduire la nature du/des point(s) critique(s) déterminé(s) à la question 2.

2

(3)

Annexe : tables de lois statistiques Table de Student

t 3; ; 3È

:..4

f

É :-

§I r i.;

5

ëi

F

3

E_8

3

E

3E i 3 §îË g:§ s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ nEËBi3:EsÊ§Ësi§$E F$§Rs:§ss:ft s§: Ë§§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§ËËgsF B§g$Ëig§ 383 $É§§g§B§BB FBssBsssÈ ËB§gsi+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§

§âigH$3g§F; gBe§Cggssst§$gÈeC$g

gsÊ§BË§Ë§B$$§§§g$FB§*§$38$

§s§33â§ÊB§3ËBË§§BËgg;âsgg§.âgB*

gB:

§ 3 g

B§É3 ËÈ gs E3 s§

§

ÈssË.§ ss§ 3§ g

§ËgsÈs§35§B§§§s$gBs§B§339:38§

EaBÊrgs9§g99*3353iEra§rEÊBËBËE

Ë§Ë§§sË$§Ë§Ë$§§$[Ë$B$àBË$$§BË§

33§3BB§§B§$§33à$§s§$BB§$§$B$

§Ë§§§§â§Ëg§ÈËÈ§Ë§§ËËË§§Ë§§ËË§§ r) §

C.l

o x o c c

a

'6

I

^J

^È

^o

^o I ^.9

^o

t I §

_ilÈo

o T

o

t ^.9 ^o ! I

r

il

5 3 ta o x o tr tr o =c 'tr I o E o - o E E s r/)

§ § c.l 3§$ gs§ggËsÈ§g gFiE §Ës§sssslgsÊ e E$$g§$ssii$3953Ësâs3igsËË3FsÈË ^3$§H.g3§*

s33Ël.§ g3$$ i33 ËsB1lsï ËË ss§FÊs§ÊËi§§ssiliPiF:3ës§ggss

Ê

§.§§3§sEE$H§::§ispiFf, §sl§s$§3 :s§ $§*.§3§rE§sts§ $sssssFËËsË$B$

m,

g.q .§.§.ft.s-È-Ë I EB s

B

§ s §

H

§ ; § g § §

B É

c §

Èê o é o o d ô dd dd d dd d d d d d dd dd

sgBesBss$s§$§§gB:8333i;3gsB3gB

È.§E $ g.F.§E-E-E *.8$

E

ë e

È E

§ $ § i : g § â BE

S

§

oô o ddddddddddddddddddJ:

gÈH-§.§.à§- .8-È EË g § § § §

È

ü s § g

E

§

B

§ § * § §

çn- <o d d ddddddddddddàd;;i

§.e-ëE

E

§.;-Ë.§

Ë

8.ËË 3

Ë

â f;

H m

g

E

ü §

E

* ; § s §

E

{{{{{ddd++{+{+d+++a; ;.8-Ë&E §-5.8.§ § Ë88 ü

Ë

$ §

E

g § §

F Ë

p

Ë Ë

ËE §

Bo60 66 6 ddddddddddddddd;;

' §ïË5§gËsgs§5sâg B§BssÉ gsE.sss à B

8 s g

EBB Bp

e BE s

Ee Bs ;;s gaB

BB s B g-B"e-R-E3"8.

EoçoÈ!ooç@o§9:9!999!9ddddddir n do o f r 6o d6Éôdddg E =S9 9: 999 -- - = -- - - dq@-qqqqqqo-qq\à_ d à_ à_ é_ J : i- i_ ;_ ;- + + d f 6 È È d d d I 9 : g : I : : I : ! : 6 d - 6 d ô D.: +q*--_E-P qo_È-o_qqdddd; jdddddddddÈdddp gE§!p:pp9È33 p a E p a È E a

t

B & a à É

I

à g E- B- B-

{

t- E- 6- 3- P- B" F- ?- A È- à" 3-

dddiidddd+ôddÈÈdd3:::99:P99È39RRE

E

t I

â Ê g E

:

à A B B e g E 3- à- 3- C- E_ E- E- A" §_ R- :- A È" 3" 3- q

:- ddj--dddidddÈÉd d9

P

: g3 :: P:

È

P39

RE

§R

; E : ù 6 o o- o- q q o- é ê- o- o- È- 6- q {- €- o- è- n- Ô- 6- ! o- q q q q \ q

a:-a Jdi dd d d J d dddÈdd-_dd6dÉdd ;dd{ dÈd

â B È- o- c- o- q o- É- ô- o- È- È- ?- 6- È- 6_ o- È- {_ E è- q q q q q \ q q a \ q

=é d è Éi o 6 d É( @ tqê!eiqâ a o aqqaN q6-È,rÈ-ê-

qqq\qq qqqtqqqqq\F-qqr-q--qq {qqqqqqqq

è- d- !_ 6- Ç- o_ È- 6_ o_ «- q q -- \ q \ q q q q q È. a e ê-.- 6- e È_ : q_ q q

Table de Fisher au seuil de 5%

t 3; ; 3È

:..4

f

É :-

§I r i.;

5

ëi

F 3 E_8 3 E

3E i 3 §îË g:§ s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ nEËBi3:EsÊ§Ësi§$E F$§Rs:§ss:ft s§: Ë§§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§ËËgsF B§g$Ëig§ 383 $É§§g§B§BB FBssBsssÈ ËB§gsi+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§

§âigH$3g§F; gBe§Cggssst§$gÈeC$g

gsÊ§BË§Ë§B$$§§§g$FB§*§$38$

§s§33â§ÊB§3ËBË§§BËgg;âsgg§.âgB*

gB:

§ 3 g

B§É3

ËÈ

gs E3 s§

§

ÈssË.§ ss§ 3§ g

§ËgsÈs§35§B§§§s$gBs§B§339:38§

EaBÊrgs9§g99*3353iEra§rEÊBËBËE

Ë§Ë§§sË$§Ë§Ë$§§$[Ë$B$àBË$$§BË§

33§3BB§§B§$§33à$§s§$BB§$§$B$

§Ë§§§§â§Ëg§ÈËÈ§Ë§§ËËË§§Ë§§ËË§§ r) §

C.l

o x o c c

a

'6

I

^J

^È

^o^o

I

^.9^o

t I §

_il^È^o^o

T

o

t

^.9o

! I

r

il

5 3 ta o x o tr tr o =c 'tr

I

o E o - o

EE

s

r/)

§ §

c.l

3§$ gs§ggËsÈ§g gFiE §Ës§sssslgsÊ

e

E$$g§$ssii$3953Ësâs3igsËË3FsÈË ^3$§H.g3§*

s33Ël.§ g3$$ i33 ËsB1lsï ËË ss§FÊs§ÊËi§§ssiliPiF:3ës§ggss

Ê

§.§§3§sEE$H§::§ispiFf, §sl§s$§3 :s§ $§*.§3§rE§sts§ $sssssFËËsË$B$

m,

g.q

.§.§.ft.s-È-Ë

I EB

s B § s § H §

;

§ g § § B É c § Èê o é o o d ô dd dd d dd d d d d d dd dd

sgBesBss$s§$§§gB:8333i;3gsB3gB

È.§E

$ g.F.§E-E-E

*.8$

E ë e È E § $ §

i :

g § â BE S §oô o ddddddddddddddddddJ:

gÈH-§.§.à§-

.8-È

EË

g § § § § È ü

s

§ g E § B § §

*

§ §çn- <o d d ddddddddddddàd;;i

§.e-ëE

E

§.;-Ë.§

Ë

8.ËË

3 Ë â f; H m g E ü § E

* ;

§

s

§ E

{{{{{ddd++{+{+d+++a; ;.8-Ë&E

§-5.8.§ §

Ë88

ü Ë $ § E g § § F Ë p Ë Ë

ËE

§ Bo60 66 6 ddddddddddddddd;;

' §ïË5§gËsgs§5sâg B§BssÉ gsE.sss

à B

8 s g EBB Bp e BE s Ee Bs

;;s gaB

BB s B g-B"e-R-E3"8.

EoçoÈ!ooç@o§9:9!999!9ddddddir n do o f r 6o d6Éôdddg E =S9 9: 999 -- - = -- - - dq@-qqqqqqo-qq\à_ d à_ à_ é_ J : i- i_ ;_ ;- + + d f 6 È È d d d I 9 : g : I : : I : ! : 6 d - 6 d ô D.: +q*--_E-P qo_È-o_qqdddd; jdddddddddÈdddp gE§!p:pp9È33 p a E p a È E a

t

B & a à É

I

à g E- B- B-

{

t- E- 6- 3- P- B" F- ?- A È- à" 3-

dddiidddd+ôddÈÈdd3:::99:P99È39RRE

E

t I

â Ê g E

:

à A B B e g E 3- à- 3- C- E_ E- E- A" §_ R- :- A È" 3" 3- q :-

ddj--dddidddÈÉd d9

P

: g3 :: P:

È

P39

RE §R

; E : ù 6 o o- o- q q o- é ê- o- o- È- 6- q {- €- o- è- n- Ô- 6- ! o- q q q q \ q

a:-a Jdi dd d d J d dddÈdd-_dd6dÉdd ;dd{ dÈd

â B È- o- c- o- q o- É- ô- o- È- È- ?- 6- È- 6_ o- È- {_ E è- q q q q q \ q q a \ q

=é d è Éi o 6 d É( @ tqê!eiqâ a o aqqaN q6-È,rÈ-ê-

qqq\qq qqqtqqqqq\F-qqr-q--qq {qqqqqqqq

è- d- !_ 6- Ç- o_ È- 6_ o_ «- q q -- \ q \ q q q q q È. a e ê-.- 6- e È_ : q_ q q

3

Annexe : tables de lois statistiques Table de Student

Examen de M´ ethodes Quantitatives 2

Annexe : tables de lois statistiques Table de Student

t 3; ; 3È

f

§I r i.;

ëi

3

3

3E i 3 §îË g:§ s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ nEËBi3:EsÊ§Ësi§$E F$§Rs:§ss:ft s§: Ë§§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§*ËËgsF B§g$Ëig§ 383 $É§§g§B§BB FBssBsssÈ ËB§gsi*+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§

§âigH$3g§F; gBe§Cggssst§$gÈeC$g

gsÊ§BË§*Ë*§B$$§§§g$*FB*§*§$38$

§s§33â§ÊB§3ËBË§§BËgg;âsgg§.âgB*

gB:

B§É3 ËÈ gs E3 s§

ÈssË.§ ss§ 3§ g

§ËgsÈs§35§B§§§s$gBs§B§339:38§

EaBÊrgs9§g99*3353iEra§rEÊBËBËE

Ë§Ë§§sË$§Ë§Ë$§§$[Ë$B$àBË$$§BË§

33§3BB§§B§*$§33à$§s§$*BB§$§$B$

§Ë§§§§â§Ëg§ÈËÈ§Ë§§ËËË§§Ë§§ËË§§ r) §

o x o c c

a

I

È

o I .9

t I §

o T

t .9 o ! I

r

5

3 ta o x o tr tr o =c 'tr I o E o - o E E s r/)

§ § c.l 3§$ gs§ggËsÈ§g gFiE §Ës§sssslgsÊ e E$$g§$ssii$3953Ësâs3igsËË3FsÈË 3$§H.g3§*

s33Ël.§ g3$$ i33 ËsB1lsï ËË ss§FÊs§ÊËi§§ssiliPiF:3ës§ggss

§.§§3§sEE$H§::§isp*iFf, *§sl§s$§3 :s§ $§*.§3§rE§sts§ $sssssFËËsË$B$

g.q .§.§.ft.s-È-Ë I EB s

§ s §

§ ; § g § §

c §

sgBesBss$s§$§§gB:8333i;3gsB3gB

È.§E $ g.F.§E-E-E *.8$

ë e

§ $ § i : g § â BE

§

gÈH-§.§.à§- .8-È EË g § § § §

ü s § g

§

§ § * § §

§.e-ëE

§.;-Ë.§

8.ËË 3

â f;

g

ü §

* ; § s §

{{{{{ddd++{+{+d+++a; ;.8-Ë&E §-5.8.§ § Ë88 ü

$ §

g § §

p

ËE §

' §ïË5§gËsgs§5sâg B§BssÉ gsE.sss à B

EBB Bp

Ee Bs ;;s gaB

t

I

{

dddiidddd+ôddÈÈdd3:::99:P99È39RRE

t I

:

:- ddj--dddidddÈÉd d9

: g3 :: P:

P39

§R

Table de Fisher au seuil de 5%

t 3; ; 3È

f

§I r i.;

ëi

3E i 3 §îË g:§ s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ nEËBi3:EsÊ§Ësi§$E F$§Rs:§ss:ft s§: Ë§§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§*ËËgsF B§g$Ëig§ 383 $É§§g§B§BB FBssBsssÈ ËB§gsi*+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§

§âigH$3g§F; gBe§Cggssst§$gÈeC$g

3E i 3 §îË g:§ s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ nEËBi3:EsÊ§Ësi§$E F$§Rs:§ss:ft s§: Ë§§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§ËËgsF B§g$Ëig§ 383 $É§§g§B§BB FBssBsssÈ ËB§gsi+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§

gsÊ§BË§Ë§B$$§§§g$FB§*§$38$

33§3BB§§B§$§33à$§s§$BB§$§$B$

^È

^o I ^.9

t ^.9 ^o ! I

§ § c.l 3§$ gs§ggËsÈ§g gFiE §Ës§sssslgsÊ e E$$g§$ssii$3953Ësâs3igsËË3FsÈË ^3$§H.g3§*

§.§§3§sEE$H§::§ispiFf, §sl§s$§3 :s§ $§*.§3§rE§sts§ $sssssFËËsË$B$

3E i 3 §îË g:§ s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ nEËBi3:EsÊ§Ësi§$E F$§Rs:§ss:ft s§: Ë§§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§ËËgsF B§g$Ëig§ 383 $É§§g§B§BB FBssBsssÈ ËB§gsi+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§

gsÊ§BË§Ë§B$$§§§g$FB§*§$38$

33§3BB§§B§$§33à$§s§$BB§$§$B$

^È

E$$g§$ssii$3953Ësâs3igsËË3FsÈË ^3$§H.g3§*

§.§§3§sEE$H§::§ispiFf, §sl§s$§3 :s§ $§*.§3§rE§sts§ $sssssFËËsË$B$