Probl ˜ A¨me 1.

Probl ˜ A¨me 1.

PARTIE I

1. Covariance des variables al´eatoires X et Y a. On a

Cov(X, Y) =E[(X−E(X))(Y −E(Y))] =E(XY)−E(X)E(Y).

b. PourZ une variable al ˜A catoire sur un espace probabilis ˜A cfini, on a : Cov (Z, Z) =E Z²

−E(Z)²=V (Z) donc

Cov(λX+Y, λX+Y) =V(λX+Y) et

V(λX+Y) =E

(λX+Y)²

−E(λX+Y)²

=E λ²X²+ 2λXY +Y²

−[λE(X) +E(Y)]²

=λ²E X²

+2λE(XY)+E Y²

−λ²E(X)²−2λE(X)E(Y)−E(Y)²

=λ²V (X) + 2λCov (X, Y) +V (Y) c. Comme une variance est positive ou nulle, le polynˆomeP, d ˜A cfini pour

λ∈R, par

P(λ) =λ²V (X) + 2λCov (X, Y) +V (Y)

est positif ou nul et de degr ˜A cdeux carV(X)6= 0. D’o ˜A¹sondiscriminantestn´egatif ounul.DoncCov(X, Y)²≤ V(X)V(Y)

On a ´egalit´e si et seulement si ∆ = 0 c’est ˜A dire s’il existe λtel que V(λX+Y) = 0. Ce qui ´equivaut `aλX+Y constante presque surement.

Il y a ´egalit´e si et seulement si il existe (λ, µ)∈R² tel queY =λX+µ presque surement.

2. Coefficient de corr´elation lin´eaire des variables al´eatoires X et Y.

a. Comme

Cov (X, Y)²≤V (X)V(Y)

alors

Cov (X, Y)² V(X)V(Y) ≤1 et, en prenant la racine,

Cov (X, Y) σ(X)σ(Y)

≤1

D’o ˜A¹ ρ∈[−1,1]etl⁰onaρ=±1⇐⇒ρ²= 1⇐⇒Cov (X, Y)²=V(X)V(Y)D’apr ˜A¨s la question pr ˜A cc ˜A cdente, ρ∈[−1,1] si et seulement si il existe des constantes λet µtelles queY =λX+µpresque surement.

SiX etY sont ind´ependantes, Cov (X, Y) = 0 et doncρ= 0.

PARTIE II

1. Calculs pr´eliminaires

a. Montrons le r ˜A csultat par r ˜A ccurrence surn.

Pourn=qon a :

q

X

k=q

k q

= q

q

= 1 = q+ 1

q+ 1

Soitn≥qtel que

n

X

k=q

k q

= n+ 1

q+ 1

alors

n+1

X

k=q

k q

=

n

X

k=q

k q

+ n+ 1

q

= n+ 1

q+ 1

+ n+ 1

q

= n+ 2

q+ 1

D’o ˜A¹laf ormuledemandA˜eparrc A˜currence.c b. En prenantq= 1, on trouve :

n

X

k=1

k 1

=

n

X

k=1

k= n+ 1

2

=(n+ 1)n 2 pourq= 2 :

n

X

k=2

k 2

=

n

X

k=2

k(k−1)

2 =

n+ 1 3

= (n+ 1)n(n−1) 3·2 et donc

n

X

k=2

k(k−1) = (n+ 1)n(n−1) 3 on obtient aussi

n

X

k=1

k²=

n

X

k=2

k(k−1) + 1 +

n

X

k=2

k

!

=(n+ 1)n(n−1)

3 +(n+ 1)n 2 D’o ˜A¹

n

P

k=1

k²= n(n+1)(2n+1)

6 enf inpourq=3 :

n

X

k=3

k 3

=

n

X

k=3

k(k−1) (k−2)

3·2 =

n+ 1 4

=(n+ 1)n(n−1) (n−2) 4·3·2

et donc

n

X

k=3

k(k−1) (k−2) = (n+ 1)n(n−1) (n−2) 4

2. Lois conjointe et marginales des variables al´eatoires N1 etN2. a. Les num´eros pr´esents dans l’urne sont ´equiprobables donc

P (N₁=i) = 1 n pour 16i6n.

On obtient de m ˜A^ame

P_N1=i(N₂=j) = 1

n−1 pour 16j6n, j6=i et P_N1=j(N₂=j) = 0 car la boulej est retir´ee de l’urne.

La famille (N₁=i)_i∈[[1,n]] est un syst`eme complet d’´ev´enements donc P (N2=j) =

n

X

i=1

PN₁=i(N2=j) P (N1=i)

=

n

X

i=1

1 n−1·1

n+ PN₁=j(N2=j) P (N1=j) = (n−1) 1 n−1·1

n = 1 n

La loi deN2 est donc la mˆeme que celle deN1. b. On aE(N1) =E(N2) =ⁿ⁺¹₂ (loi uniforme sur [[1, n]] )

E N₁²

=

n

X

k=1

k² n = 1

n

n(n+ 1) (2n+ 1)

6 = (n+ 1) (2n+ 1) 6 et

V(N1) =E N₁²

−E(N1)²=(n+ 1) (2n+ 1)

6 −

n+ 1 2

2

=n+ 1

12 (4n+ 2−3n−3) = n²−1 12 D’o ˜A¹ E(N1) =E(N2) = n+ 1

2 etV(N1) =V(N2) =n²−1 12 c. On a

P ((N1=i)∩(N2=j)) = 0 si i=j (´ev´enement impossible) Pouri6=j

P ((N1=i)∩(N2=j)) = P (N1=i) PN₁=i(N2=j) = 1 n(n−1) On a alors

E(N₁N₂) =

n

X

i=1 n

X

j=1

i j P ((N₁=i)∩(N₂=j))

=

n

X

i=1

i





n

X

j=1j6=i

j P ((N₁=i)∩(N₂=j)) + 0





=

n

X

i=1

i 1

n(n−1)





n

X

j=1

j−i



=

n

X

i=1

in(n+ 1) 2n(n−1) −

n

X

i=1

i² 1 n(n−1)

= n²(n+ 1)²

4n(n−1) −n(n+ 1) (2n+ 1) n(n−1) 6

= (n+ 1)

(n−1) 12 3 n+n²

−2 (2n+ 1)

= (n+ 1)

(n−1) 12 3n²−n−2

= (n+ 1) (3n+ 2) (n−1)

(n−1) 12 = (n+ 1) (3n+ 2) 12

On a doncE(N1N2) =(n+ 1) (3n+ 2)

12 .

La covariance deN₁et N₂ vaut

Cov (N1, N2) =E(N1N2)−E(N1)E(N2)

= (n+ 1) (3n+ 2)

12 −(n+ 1)²

4 = (n+ 1)

12 [3n+ 2−3n−3]

=−n+ 1 12 On a donc Cov (N₁, N₂) =−n+ 1

12 et ρ(N₁, N₂) = Cov (N₁, N₂)

pV (N1)V(N2) =−n+ 1 12

12

n²−1 =− 1 n−1 Le coefficient de corr´elation lin´eaire deN1et N2vaut donc − 1

n−1 d. On a alors

V(N1+N2) =V (N1) +V(N2) + 2Cov (N1, N2)

= 2n²−1

12 −2n+ 1

12 =n+ 1

6 (n−1−1) = (n+ 1) (n−2) 6 D’o ˜A¹ V(N1+N2) =(n+ 1) (n−2)

6

3. Lois conjointe, marginales et conditionnelles deX etY a. Soit (i, j)∈[[1, n]]².

Pour 16i < j6n, l’ ˜A cv ˜A cnement ((X =i)∩(Y =j)) correspond A l’ ˜˜ A cv ˜A cnement«le plus grand vautj et le plus petit vauti» et comme on a bieni < j l’ ˜A cv ˜A cnement ((X =i)∩(Y =j)) corres- pond donc ˜A «un num ˜A cro vautiet l’autrej» c’est ˜A dire

((N1=i)∩(N2=j))∪((N1=j)∩(N2=i)) C’est une union de deux ˜A cv ˜A cnements incompatibles donc

P ((X =i)∩(Y =j))

= P ((N1=i)∩(N2=j)) + P ((N1=j)∩(N2=i)) = 2 n(n−1)

Sinon, l’´ev´enement est impossible et la probabilit´e est nulle.

b. Les lois deX et deY sont les lois marginales du couple donc, pourj≥2 P (Y =j) =

n

X

i=1

P ((X =i)∩(Y =j)) =

j−1

X

i=1

2

n(n−1)+ 0

= 2 (j−1)

n(n−1) (on a bienj−1≥1) et pourj= 1 on P (Y = 1) = 0, ce que donne encore la formule.

Pouri≤n−1 P (X =i) =

n

X

j=1

P ((X =i)∩(Y =j)) =

n

X

j=i+1

2

n(n−1) + 0

= 2 (n−(i+ 1) + 1)

n(n−1) (on a bien i+ 1≤n) qui donne bien 0 pouri=n.

D’o ˜A¹, pourietjdansJ1, nK, P (Y =j) = 2 (j−1)

n(n−1) P (X =i) = 2 (n−i) n(n−1) c. Pour 16i < j6n:

On peut utiliser que :

PY=j(X =i) =P ((X=i)∩(Y =j))

P (Y =j) =

2 n(n−1)

2(j−1) n(n−1)

= 1

j−1 Ou remarquer directement que, quand Y =j, le plus petit num ˜A cro tir ˜A c peut prendre toutes les valeurs de J1, j−1K et ceci de fa¸con

´equiprobable.

Donc

P_Y=j(X=i) = 1

j−1 pour i∈[[1, j−1]]. et de mˆeme

P_X=i(Y =j) = 1 n−i

D’o ˜A¹Y, conditionnA˜parX=i, suitlaloiunif ormesur[[ic + 1, n]]

d. En notant Ω l’univers, on aX(Ω) = [[1, n−1]] donc (n+ 1−X) (Ω) = [[2, n]] =Y (Ω)

Pour 26j6non a

P (n+ 1−X =j) = P (X =n+ 1−j)

=2 (n−(n+ 1−j))

n(n−1) car 1≤n+ 1−j≤n−1

= 2 (j−1)

n(n−1) = P (Y =j) On en d ˜A cduit que n+ 1−X etY ont la mˆeme loi. ,

Les deux variables al ˜A catoires ont donc mˆeme esp´erance et m ˜A^ame variance.

OrE(n+ 1−X) =n+ 1−E(X) d’o`uE(X) =n+ 1−E(Y) etV (n+ 1−X) = (−1)²V(X) donc

E(X) =n+ 1−E(Y) etV(X) =V (Y)

4. Esp´erances et variances des variables al´eatoires X et Y a. On revient `a la d´efintion :

E(Y) =

n

X

j=2

j2 (j−1)

n(n−1) = 2 n(n−1)

n

X

j=2

j(j−1)

= 2

n(n−1)

(n+ 1)n(n−1)

3 par II1b = 2

3(n+ 1) D’o`u

E(X) =n+ 1−E(Y) = 1 3(n+ 1)

b. On a :

E[Y (Y −2)] =

n

X

j=2

j(j−2) 2 (j−1) n(n−1)

= 2

n(n−1)

n

X

j=2

j(j−1) (j−2)

= 2

n(n−1)

(n+ 1)n(n−1) (n−2)

4 ( par II1b)

=(n+ 1) (n−2) 2 Or

E[Y (Y −2)] =E

Y²−2Y

=E Y²

−2E(Y) et E Y²

=E

Y²−2Y

+ 2E(Y) donc

E Y²

=(n+ 1) (n−2)

2 +4

3(n+ 1) = (n+ 1)

6 (3n−6 + 8)

= (n+ 1) (3n+ 2) 6 et

V(Y) =E Y²

−E(Y)²=(n+ 1) (3n+ 2)

6 −4

9(n+ 1)²

=n+ 1

18 (9n+ 6−8n−8) = (n+ 1) (n−2) 18 Conclusion : V(X) =V (Y) =(n+ 1) (n−2)

18

5. Covariance et coefficient de corr´elation lin´eaire de X etY

a. CommeX est l’une des deux valeur etY l’autre alorsX+Y =N₁+N₂ Donc

V (X+Y) =V (N₁+N₂) = (n+ 1) (n−2) 6

D’autre partV(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2Cov (X, Y) donc Cov (X, Y) = 1

2[V(X+Y)−V (X)−V(Y)]

= 1 2

(n+ 1) (n−2)

6 −2(n+ 1) (n−2) 18

=(n+ 1) (n−2) 2·18 Conclusion : Cov (X, Y) = (n+ 1) (n−2)

36 b. On a alors

ρ(X, Y) = Cov (X, Y)

pV (X)V (Y)= (n+ 1) (n−2) 36

18

(n+ 1) (n−2) =1 2 On a donc ρ(X, Y) = 1

2 (ce qui est bien ind´ependant den)

Probl ˜ A¨me 2.

Partie I. Des tableaux entiers particuliers.

1. Exemples.

a. On commence par compl ˜A cter les bords avec 0, 1, 2, 3, 4 et 4, 4, 4, 4.

Comme les sauts (de gauche ˜A droite et de bas en haut) sont de 0 ou de 1. On compl ˜A¨te ensuite la ligne d’index 2, les colonnes d’index 2 et 3. Les valeurs ded(1,1) etd(3,3) sont ˜A cglement contraintes.

4 4 4 4 4 4

3 3 A˜ 4 4 4

2 2 3 4 4 4

1 1 2 3 A˜ 4

0 0 1 2 3 4

ji 0 1 2 3 4

Les valeurs ded(1,3) etd(3,1) sont ˜A choisir parmi 3 et 4. On peut donc former quatreDtableaux ˜A partir de la donn ˜A ce de l’ ˜A cnonc ˜A c.

b. Pour montrer queµest unD-tableau, on remarque d’abord que si un des deux indices est nul, le plus grand des deux est l’autre doncµ(k,0) = µ(0, k) = k. De m ˜A^ame, si l’un des deux est n c’est le plus grand : µ(k, n) =µ(n, k) =n. De plus, si un des deux indices augmente de 1, le plus grand des deux augmente de 0 ou de 1.

De m ˜A^ame,µaugmente de 1 au plus lorsque l’un des indices augmente de 1. D’autre part,µ(0, k) =µ(0, k) = min(k, n) =ket si un des indices estnla somme des deux est sup ˜A crieure ˜A n doncµ(n, k) =µ(, k) = min(n+k, n) =n.

Les fonctionsµet µsont bien desD-tableaux.

2. a. On utilise le fait que la valeur de dd’une case ˜A l’autre n’augmente que de 1 au plus.

d(i, j) = (d(i, j)−d(i−1, j)) +· · ·+ (d(1, j)−d(0, j))

| {z }

itermes≤1

+d(0, j)

=j

≤i+j⇒d(i, j)≤µ(i, j)

d(i, j) = (d(i, j)−d(i+ 1, j)) +· · ·+ (d(n−1, j)−d(n, j))

| {z }

n−itermes≥−1

+d(n, j)

=n

≥ −n+i+n=i En raisonnant de m ˜A^ame entre (i, j) et (n, j) on montre qued(i, j)≥j.

On en d ˜A cduitµ(i, j)≤d(i, j).

b. D’apr ˜A¨s les conditions impos ˜A ces, six tableaux sont possibles : δ δ

δ δ

δ δ

δ−1 δ

δ−1 δ δ−1 δ

δ δ

δ−1 δ−1

δ−1 δ δ−1 δ−1 δ−1 δ

δ−2 δ−1 ,

3. a. Pour justifier la d ˜A cfinition de ϕd, il suffit de remarquer que pour tout i, il existe un j tel que d(i−1, j) = d(i, j) ˜A savoir j = n.

L’ensemble de cesj A c˜tant une partie deJ0, nK, il admet bien un plus petit ˜A cl ˜A cment. Le raisonnement est le m ˜A^ame pourϕ^∗_d. Pour tout j, il existe au moins univ ˜A crifiant la relation ˜A savoiri=n.

b. Dans chaque colonne de 1 ˜A 4 du tableau donn ˜A c, on doit chercher en partant du haut le dernier terme ˜A cgal ˜A celui ˜A sa gauche. On

en d ˜A cduit :

ϕd(1) = 4, ϕd(2) = 3, ϕd(3) = 1, ϕd(4) = 2,

c. Pour calculerϕ_µ(j), on cherche le plus petit des itel queµ(i−1, j) = µ(i, j) c’est ˜A dire tel que max(i−1, j) = max(i, j). Or

i≤j⇒max(i−1, j) =j= max(i, j) i=j+ 1⇒max(i−1, j) =i−1<max(i, j) =i

)

⇒ϕµ(j) =j.

La fonctionϕ_µ est donc l’identit ˜A cdeJ0, nK. 4. Soitj∈J1, nK, notonsi₀=ϕ^∗_d(j₀) etj₁=ϕ_d(i₀).

Examinons la d ˜A cfinition dei0A l’aide des tableaux de la question 2.b. en˜ notantδ=d(i0, j0).

d(i0, j0−1) =d(i0, j0) d(i0−1, j0−1)6=d(i0−1, j0)

)

⇒ tableau de la forme x δ

y δ avecx6=y

⇒

(x=δ y=δ−1 ⇒

( d(i0−1, j0) =d(i0, j0) d(i0−1, j0−1) =d(i0, j0)−1 Par d ˜A cfinition de ϕd : d(i0−1, j0) =d(i0, j0) entra ˜AneR j1 ≤j0 carj0

est alors unj tel qued(i0−1, j) =d(i0, j) etj1 est le plus petit de cesj.

On ne peut en d ˜A cduire quej1=j0car il est possible qu’il existe unj < j0

tel que d(i0−1, j) = d(i0, j) (dans l’exemple de la question I.3.b : j0 = 4, i0= 2,j1= 2).

Partie II. Bases et sous-espaces engendr ˜A cs.

1. a. SiB =A alors Ai =Bi pour tous les i donc Ai+Bj = A_max(i,j) et d=µ.

b. CommeA0 =B0={0E}, An =Bn =E et dim(Ak) = dim(Bk) =k, les conditions impos ˜A ces auxD-tableaux se v ˜A crifient facilement :

∀k∈J0, nK:

(dim(A_k+B₀) = dim(A₀+B_k) =k

dim(Ak+Bn) = dim(An+Bk) = dim(E) =n

Comme de plus dim(Ak) = dim(Bk) = k, la dimension de Ai+Bj

augmente de 1 au plus lorsque l’un des deux indices augmente de 1.

c. On consid ˜A¨re iciietj dansJ1, nKtels que d(i−1, j) =d(i, j).

Notons δ=d(i, j) et formons les tableaux de valeurs possibles pour d sur{i−1, i} × {j, j+ 1}comme en I.2.b. `A priori il y en a trois :

δ δ δ δ

δ+ 1 δ+ 1

δ δ

δ δ+ 1

δ δ

Mais le troisi ˜A¨me est impossible car il correspond ˜A un cas o ˜A¹dim(Ai−1+Bj) = dim(Ai+Bj) = dim(Ai−1+Bj+1) `A cause des inclusions entre eux, les sous-espaces sont ˜A cgaux

A_i−1+Bj=Ai+Bj=A_i−1+Bj+1

On en tire Bj+1 ⊂ Ai+Bj d’ou Ai+Bj+1 = Ai+Bj en contradiction avec l’in ˜A cgalit ˜A cdes dimensions.

Ainsi, si une ˜A cgalit ˜A cd(i−1, j) =d(i, j) est v ˜A crifi ˜A ce pour un certainj, elle est valable aussi pourj+ 1 doncpour tous lesj plus grands.

On peut revenir alors sur la question I.4. o ˜A¹l⁰onsetrouvaitdanslaconf igurationd(i₀− 1, j₀) =d(i₀, j₀) et d(i₀−1, j₀−1)< d(i₀, j₀−1)et en d ˜A cduire cette fois quej₀ est bien le plus petit desj pour lesquelsd(i−1, j) =d(i, j).

On a montr ˜A cquej1=j0 c’est ˜A direϕd◦ϕ^∗_d = Id

J1,nK. On en d ˜A cduit que ϕd est surjective. Or une application surjective d’un ensemble fini dans lui m ˜A^ame est bijective doncϕd est bijective de bijection r ˜A cciproqueϕ^∗_d.

1. On utilise la formule sur la dimension d’une somme de deux sous-espaces dans la d ˜A cfinition deσ(i) (les dimB_σ(i) se simplifient) :

dim(Ai−1+B_σ(i)) = dim(Ai+B_σ(i))

⇒dim(A_i−1) + dim(B_σ(i))−dim(A_i−1∩B_σ(i))

= dim(Ai) + dim(Bσ(i))−dim(Ai∩Bσ(i))

⇒dim(A_i−1)−dim(A_i−1∩B_σ(i)) = dim(Ai)−dim(Ai∩B_σ(i)) On conclut par :

dimAi= dimAi−1+ 1⇒dim(Ai∩B_σ(i)) = dim(Ai−1∩B_σ(i)) + 1 2. Comme, ˜A cause des dimensions, A_i−1∩B_σ(i)est une partie stricte deAi∩

B_σ(i), il existe desei dansAi∩B_σ(i)mais pas dansAi−1∩B_σ(i).

1. On raisonne par r ˜A ccurrence suri. Le vecteure1est non nul dansA1∩B_σ(1) donc (e1) est une famille libre de vecteurs de A1. C’est bien une base car dimA1= 1.

Supposons que (e1,· · ·e_i−1) soit une base de Ai et consid ˜A crons ei. Par hypoth ˜A¨se il appartient ˜A Ai∩B_σ(i) mais pas ˜A A_i−1∩B_σ(i). Comme il appartient ˜A A_i, la famille (e₁,· · · , e_i) est une famille ˜A i A c˜l ˜A cments dansA_i. Comme d’autre part il n’appartient pas ˜A A_i−1= Vect(e₁· · ·, e_i−1), on peut utiliser une propri ˜A ct ˜A cusuelle du cours :

(e₁,· · ·e_i−1) libre ei∈/ Vect(e1· · ·, e_i−1)

)

⇒(e1,· · ·ei) libre

On en d ˜A cduit que (e1,· · ·ei) est une base deAi cari= dimAi.

2. La famille (e⁰₁,· · ·, e⁰_n) est obtenue par permutation des vecteurs de la base (e1,· · ·, en). C’est donc aussi une base ; en particulier elle est libre ainsi que les familles (e⁰₁,· · ·, e⁰_i).

La condition de la question 2.b. est valable pour tous les i. En substituant σ⁻¹(i) ˜A i, on d ˜A cduit

e⁰_i∈A_σ−1(i)∩B_i

De B1 ⊂ · · · ⊂ Bi, on tire que e⁰_k ∈ Bi pour k entre 1 et i. La famille (e⁰₁,· · ·, e⁰_i) est donc une famille libre deBiqui est de dimensioni; c’est une base de ce sous-espace.

Partie III. Aspect matriciel

1. a. La matriceM P_σest obtenue ˜A partir deM en permutant ses colonnes.

Plus pr ˜A ccis ˜A cment, la colonneideM P_σ est la colonneσ(i) deM. On remarque en particulier queP_σ=I P_σ est obtenue en permutant les colonnes de la matrice identit ˜A c.

b. On peut appliquer la question pr ˜A cc ˜A cdente, en d ˜A csignant par C_i(M) la colonne id’une matriceM :

Ci(PϕPθ) =C_θ(i)(Pϕ) =C_ϕ(θ(i))(I) =C_ϕ◦θ(i))(I) =Ci(P_ϕ◦θ) On en d ˜A cduitP_ϕP_θ=P_ϕ◦θ.

2. Dans cette question, consid ˜A crons P comme la matrice de passage d’une baseA= (a1,· · · , an) dans une baseB= (b1,· · · , bn).

On est alors en mesure d’utiliser les r ˜A csultats de la partie II dont on

adopte les notations. On dispose en particulier d’une permutation σ, d’une baseE = (e1,· · ·, en) et de la base permut ˜A ceE⁰= (e⁰₁,· · · , e⁰_n).

Pour tous lesi∈J1, nK, on a prouv ˜A cen II.3. que (e1,· · ·, ei) est une base de Ai et (e⁰₁,· · ·, e⁰_i) est une base deBi. On en d ˜A cduit que les matrices de passage entre AetE d’une part et entreB etE⁰ d’autre part sont trian- gulaires sup ˜A crieures. En rempla ˜A§ant lesei par desλiei avec desλi bien choisis, on peut supposer que les matrices de passage entreAetE n’ont que des 1 sur la diagonale.

PosonsU =PAE : matrice de passage deAversE.

En revanche, pour les matrices de passage entreBetE⁰, les termes diagonaux ne sont pas ˜A cgaux ˜A 1, ils sont seulement non nuls.

PosonsT =P_E⁰_B et ˜A ccrivons les matrices de passage comme des matrices de l’identit ˜A c dans des bases distinctes pour l’espace de d ˜A cpart et d’ar- riv ˜A ce

P = Mat

BA Id

E =

MatEA Id

E Mat

E⁰E Id

E Mat

BE⁰ Id

E

=P_AEP_EE⁰P_E⁰_B=U P_σ−1T