Notions sur les ´equations de r´ecurrence lin´eaire `a coefficients constants

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

28 ao ˆut 2019

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

On appelle ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 1 `a coefficients constants toute ´equation du type :

u

+ au

= f (t)

o `u a ∈

et f est une fonction `a valeurs dans

. R ´esoudre cette ´equation, c’est trouver toutes les suites r ´eelles (u

)

dont les termes v ´erifient l’ ´egalit ´e pour tout indice t.

Exemple

u

= au

avec a ∈

: on sait que les suites qui v ´erifient cette

´equation sont par d ´efinition les suites g ´eom ´etriques de raison

a, et elles s’ ´ecrivent : u

= u

a

pour tout t entier.

D ´efinition

On appelle ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 1 `a coefficients constants toute ´equation du type :

u

+ au

= f (t)

o `u a ∈

et f est une fonction `a valeurs dans

. R ´esoudre cette ´equation, c’est trouver toutes les suites r ´eelles (u

)

dont les termes v ´erifient l’ ´egalit ´e pour tout indice t.

Exemple

u

= au

avec a ∈

: on sait que les suites qui v ´erifient cette

´equation sont par d ´efinition les suites g ´eom ´etriques de raison

a, et elles s’ ´ecrivent : u

= u

a

pour tout t entier.

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

On appelle ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 2 toute

´equation du type :

u

+ au

+ bu

= f (t) o `u b ∈

et f est une fonction `a valeurs dans

Remarque

On d ´efinirait de la m ˆeme fac¸on des ´equations de r ´ecurrence

lin ´eaire d’ordre n quelconque.

D ´efinition

On appelle ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 2 toute

´equation du type :

u

+ au

+ bu

= f (t)

o `u b ∈

et f est une fonction `a valeurs dans

Remarque

On d ´efinirait de la m ˆeme fac¸on des ´equations de r ´ecurrence

lin ´eaire d’ordre n quelconque.

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

Si on a une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre

quelconque, l’ ´equation obtenue en supprimant le terme f(t) s’appelle l’ ´equation homog `ene associ ´ee.

Proposition : D ´ependance des conditions initiales

Soit

n r ´eels. Il existe une unique solution u telle que u

=

pour i = 0,1, ..., n − 1.

Remarque

Une solution (c’est `a dire une suite (u

)) s’appelle parfois une

trajectoire.

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

Si on a une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre

quelconque, l’ ´equation obtenue en supprimant le terme f(t) s’appelle l’ ´equation homog `ene associ ´ee.

Proposition : D ´ependance des conditions initiales

Soit

n r ´eels. Il existe une unique solution u telle que u

=

pour i = 0,1, ..., n − 1.

trajectoire.

G ´en ´eralit ´es

D ´efinition

Si on a une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre

quelconque, l’ ´equation obtenue en supprimant le terme f(t) s’appelle l’ ´equation homog `ene associ ´ee.

Proposition : D ´ependance des conditions initiales

Soit

n r ´eels. Il existe une unique solution u telle que u

=

pour i = 0,1, ..., n − 1.

Remarque

Une solution (c’est `a dire une suite (u

)) s’appelle parfois une

trajectoire.

G ´en ´eralit ´es

Proposition : D ´ependance des conditions initiales

Les solutions d’une ´equation lin ´eaire homog `ene d’ordre n forment un

−espace vectoriel de dimension n.

lin ´eaire en ajoutant la solution g ´en ´erale de l’ ´equation

homog `ene associ ´ee `a une solution particuli `ere de l’ ´equation

compl `ete.

G ´en ´eralit ´es

Proposition : D ´ependance des conditions initiales

Les solutions d’une ´equation lin ´eaire homog `ene d’ordre n forment un

−espace vectoriel de dimension n.

Proposition : Propri ´et ´e fondamentale

On obtient toutes les solutions d’une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire en ajoutant la solution g ´en ´erale de l’ ´equation

homog `ene associ ´ee `a une solution particuli `ere de l’ ´equation

compl `ete.

Proposition Soit

u

= au

+ f (t)

une ´equation d’ordre 1. La solution de l’ ´equation homog `ene associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

a

o `u

∈

Cas de l’ordre 1

Proposition Soit

u

= au

+ f (t)

une ´equation d’ordre 1. La solution de l’ ´equation homog `ene associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

a

o `u

∈

Exemple

R ´esoudre u

− 7u

= t.

La solution de l’ ´equation homog `ene u

− 7u

= 0 associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

avec

∈

Proposition Soit

u

= au

+ f (t)

une ´equation d’ordre 1. La solution de l’ ´equation homog `ene associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

a

o `u

∈

Exemple

R ´esoudre u

− 7u

= t.

La solution de l’ ´equation homog `ene u

− 7u

= 0 associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

avec

∈

Cas de l’ordre 1

Proposition Soit

u

= au

+ f (t)

une ´equation d’ordre 1. La solution de l’ ´equation homog `ene associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

a

o `u

∈

Remarque

Il reste `a trouver une solution particuli `ere de l’ ´equation

compl `ete.

Proposition

Quand le second membre f (t) est une constante b : Si a = 1, il existe une solution particuli `ere qui est bt.

Les suites solutions sont donc de la forme : u

=

+ bt

Si a 6= 1, il existe une solution qui est la suite constante b

1 − a

Les suites solutions sont donc donn ´ees par : u

=

a

+ b

1 −a

Cas de l’ordre 1

Proposition

Quand le second membre f(t) est de la forme r

P(t) o `u r ∈

et P est un polyn ˆome :

si r 6= a, il existe une solution particuli `ere qui est r

Q(t), o `u Q est un polyn ˆome de m ˆeme degr ´e que P.

Les suites solutions sont donc donn ´ees par : u

=

a

+ r

Q(t)

Si r = a, il existe une solution particuli `ere qui est tr

Q(t), o `u Q est un polyn ˆome de m ˆeme degr ´e que P .

Les suites solutions sont donc donn ´ees par :

u

=

a

+ tr

Q(t)

Cas de l’ordre 1

Exemple

R ´esoudre (E ) : u

− 7u

= t.

Cas de l’ordre 1

Exemple

R ´esoudre (E ) : u

− 7u

= t.

La solution de l’ ´equation homog `ene u

− 7u

= 0 associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

avec

∈

R ´esoudre (E ) : u

− 7u

= t.

La solution de l’ ´equation homog `ene u

− 7u

= 0 associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

avec

∈

Recherchons les solutions particuli `eres de (E) de la forme v

= at + b.

v

= at + b est solution de (E) ⇐⇒ v

− 7v

= t

⇐⇒ a(t + 1) + b − 7(at + b) = t

⇐⇒ −6at + (a − 6b) = t

⇐⇒ a = − 1

6 et b = − 1 36

⇐⇒ v

= − 1 6 t − 1

36

Cas de l’ordre 1

Exemple

R ´esoudre (E ) : u

− 7u

= t.

La solution de l’ ´equation homog `ene u

− 7u

= 0 associ ´ee est donn ´ee par :

u

=

avec

∈

Les solutions particuli `eres de (E ) sont les suites de la forme v

= −

t −

.

Les solutions de (E) sont les suites de la forme u

=

− 1

6 t − 1

36 avec

r ´eel

Cas de l’ordre 2 : D ´efinitions

D ´efinition

Soit (E) : u

= au

+ bu

+ f (t) avec b 6= 0 et f que l’on appelle le second membre. L’ ´equation homog `ene associ ´ee est l’ ´equation :

(EH) : u

= au

+ bu

R

r

= ar + b ⇐⇒ r

− ar − b = 0

Cas de l’ordre 2 : D ´efinitions

D ´efinition

Soit (E) : u

= au

+ bu

+ f (t) avec b 6= 0 et f que l’on appelle le second membre. L’ ´equation homog `ene associ ´ee est l’ ´equation :

(EH) : u

= au

+ bu

D ´efinition

On appelle ´equation caract ´eristique associ ´ee `a (EH) ou `a (E ) l’ ´equation d’inconnue r ∈

d ´efinie par :

r

= ar + b ⇐⇒ r

− ar − b = 0

Cas de l’ordre 2 : R ´esolution de (EH )

Proposition

Soit r

− ar − b = 0 l’ ´equation caract ´eristique associ ´ee `a (EH).

Alors :

quelconques.

Si l’ ´equation caract ´eristique a une solution double r

dans

, les solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par :

u

= (λ

t +

) r

o `u

et

sont deux ´el ´ements de

quelconques.

Cas de l’ordre 2 : R ´esolution de (EH )

Proposition

Soit r

− ar − b = 0 l’ ´equation caract ´eristique associ ´ee `a (EH).

Alors :

Si l’ ´equation caract ´eristique a deux racines distinctes r

et r

dans

, les solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par : u

=

r

+

r

o `u

et

sont deux ´el ´ements de

quelconques.

Si l’ ´equation caract ´eristique a une solution double r

dans

, les solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par :

u

= (λ

t +

) r

o `u

et

sont deux ´el ´ements de

quelconques.

Proposition

Soit r

− ar − b = 0 l’ ´equation caract ´eristique associ ´ee `a (EH).

Alors :

Si l’ ´equation caract ´eristique a deux racines distinctes r

et r

dans

, les solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par : u

=

r

+

r

o `u

et

sont deux ´el ´ements de

quelconques.

Si l’ ´equation caract ´eristique a une solution double r

dans

, les solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par :

u

= (λ

t +

) r

o `u

et

sont deux ´el ´ements de

quelconques.

Cas de l’ordre 2 : R ´esolution de (EH )

Remarque

Cette proposition r `egle le probl `eme dans le cas o `u l’ ´equation caract ´eristique admet des racines r ´eelles. Mais si son

discriminant est strictement n ´egatif, elle n’admet aucune racine r ´eelle mais deux racines complexes conjugu ´ees z

et z

. On montre qu’alors, les suites r ´eelles solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par :

Proposition

u

= |z

|

(λ

cos tθ +

sin tθ)

o `u

= arg(z

) (2π) et

et

sont deux r ´eels quelconques.

Remarque

Cette proposition r `egle le probl `eme dans le cas o `u l’ ´equation caract ´eristique admet des racines r ´eelles. Mais si son

discriminant est strictement n ´egatif, elle n’admet aucune racine r ´eelle mais deux racines complexes conjugu ´ees z

et z

. On montre qu’alors, les suites r ´eelles solutions de (EH) sont les suites donn ´ees par :

Proposition

u

= |z

|

(λ

cos tθ +

sin tθ)

o `u

= arg(z

) (2π) et

et

sont deux r ´eels quelconques.

Cas de l’ordre 2 : Solutions particuli `eres

Proposition

Soit (1) : u

= au

+ bu

+ f (t) une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 2. On suppose que le second membre f (t) est de la forme f (t) = r

P(t) o `u r ∈

et P est un polyn ˆome. L’ ´equation (1) admet alors une solution (v

) qui est de la forme :

v

= r

Q(t) si r n’est pas solution de l’ ´equation caract ´eristique

v

= tr

Q(t) si r est racine simple de l’ ´equation caract ´eristique

v

= t

r

Q(t) si r est racine double de l’ ´equation caract ´eristique

avec, dans tous les cas, Q qui est un polyn ˆome de m ˆeme

degr ´e que P.

Exercice

R ´esoudre l’ ´equation de r ´ecurrence suivante en exprimant les

solutions en fonction des deux premiers termes u

et u

:

u

− 2u

+ 4u

= 2t − 1 u

= 0 u

= 3 avec v

= at + b

Cas de l’ordre 2 : R ´esolution de (EH )

Exercice

R ´esoudre l’ ´equation de r ´ecurrence suivante en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termes u

et u

: u

− 2u

+ 4u

= 2t − 1 u

= 0 u

= 3 avec v

= at + b

(E) : u

− 2u

+ 4u

= 2t − 1 (EH) : u

− 2u

+ 4u

= 0 (EC) : r

− 2r + 4 = 0 ⇐⇒ r = 1 − √

3i ou r = 1 +

√ 3i

⇐⇒ r = 2e

ou r = 2e

Les solutions de (EH) sont les suites de la forme

u

= 2

λ₁

cos(

3 t) +

sin(

3 t)

avec

et

r ´eels

Exercice

R ´esoudre l’ ´equation de r ´ecurrence suivante en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termes u

et u

: u

− 2u

+ 4u

= 2t − 1 u

= 0 u

= 3 avec v

= at + b Recherchons les solutions particuli `eres de (E) de la forme v

= at + b.

v

= at + b est solution de (E ) ⇐⇒ v

− 2v

+ 4v

= 2t − 1

⇐⇒ 3at + 3b = 2t − 1

⇐⇒ a = 2

3 et b = − 1 3

⇐⇒ v

= 2

3 t − 1

3

Cas de l’ordre 2 : R ´esolution de (EH )

Exercice

R ´esoudre l’ ´equation de r ´ecurrence suivante en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termes u

et u

: u

− 2u

+ 4u

= 2t − 1 u

= 0 u

= 3 avec v

= at + b Les solutions de (E) sont les suites de la forme

u

= 2

λ1

cos(

3 t) +

sin(

3 t)

+ 2 3 t − 1

3 avec

et

r ´eels

Exercice

R ´esoudre l’ ´equation de r ´ecurrence suivante en exprimant les solutions en fonction des deux premiers termes u

et u

: u

− 2u

+ 4u

= 2t − 1 u

= 0 u

= 3 avec v

= at + b Les solutions de (E) sont les suites de la forme

u

= 2

λ₁

cos(

3 t) +

sin(

3 t)

+ 2

3 t − 1

3 avec

et

r ´eels En consid ´erant u

et u

on obtient :

u

= 2

1 3 cos(

3 t) + 7 √ 3 9 sin(

3 t)

!

+ 2

3 t − 1

3

Notion de stabilit ´e

D ´efinition

Soit (1) : u

= a

u

+ a

u

+

+ a

u

+ f (t) une

´equation de r ´ecurrence lin ´eaire `a coefficients constants d’ordre n. On appelle ´equilibre toute suite stationnaire solution de (1).

Remarque

Il est clair qu’il ne peut y avoir d’ ´equilibre que si f est une fonction constante. Supposons que f (t) = c une constante. Un ´equilibre x

est alors solution de :

x

= a

x

+

+ a

x

+ c ⇔ x

(1 − a

−

a

) = c

D ´efinition

Soit (1) : u

= a

u

+ a

u

+

+ a

u

+ f (t) une

´equation de r ´ecurrence lin ´eaire `a coefficients constants d’ordre n. On appelle ´equilibre toute suite stationnaire solution de (1).

Remarque

Il est clair qu’il ne peut y avoir d’ ´equilibre que si f est une fonction constante. Supposons que f (t) = c une constante.

Un ´equilibre x

est alors solution de :

x

= a

x

+

+ a

x

+ c ⇔ x

(1 − a

−

a

) = c

Notion de stabilit ´e

Remarque

x

= a

x

+

+ a

x

+ c ⇔ x

(1 − a

−

a

) = c Plusieurs cas se pr ´esentent :

Si (1 − a

−

− a

) 6= 0, il existe un seul ´equilibre x

= c/(1 − a

−

− a

)

Si (1 − a

−

− a

) = 0, deux cas possibles :

Sic6=0, il n’y a pas d’ ´equilibre.

D ´efinition

On dit que le processus d ´ecrit par l’ ´equation est globalement stable si toutes les trajectoires sont convergentes.

Si toutes les trajectoires convergent vers le m ˆeme ´equilibre (ce qui implique qu’il est le seul ´equilibre), on dit que l’ ´equilibre est globalement stable.

Si x

est un ´equilibre, on d ´efinit l’ensemble de stabilit ´e de x

comme ´etant le sous ensemble S

de

form ´e des conditions

initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers x

.

Notion de stabilit ´e

Proposition

Soit z un complexe, t ∈

et

un r ´eel. Alors les z

t

z

et

|z| t

cosθt convergent vers 0 ssi |z|

1.

Proposition

Soit x

= ax

+ bx

une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 1 ou 2 (1 si b = 0). Alors l’ ´equilibre est globalement stable ssi toutes les racines de l’ ´equation caract ´eristique sont de module strictement inf ´erieur `a 1.

Proposition

Soit P(λ ) =

+ aλ + b un polyn ˆome du second degr ´e `a coefficients r ´eels. Alors les modules de ses racines (r ´eelles ou complexes) sont strictement inf ´erieurs `a 1 ssi

P(1)

0,P(−1)

0 et |b|

1.

Notion de stabilit ´e

Proposition

Soit z un complexe, t ∈

et

un r ´eel. Alors les z

t

z

et

|z| t

cosθt convergent vers 0 ssi |z|

1.

Proposition

Soit x

= ax

+ bx

une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 1 ou 2 (1 si b = 0). Alors l’ ´equilibre est globalement stable ssi toutes les racines de l’ ´equation caract ´eristique sont de module strictement inf ´erieur `a 1.

coefficients r ´eels. Alors les modules de ses racines (r ´eelles ou complexes) sont strictement inf ´erieurs `a 1 ssi

P(1)

0,P(−1)

0 et |b|

1.

Notion de stabilit ´e

Proposition

Soit z un complexe, t ∈

et

un r ´eel. Alors les z

t

z

et

|z| t

cosθt convergent vers 0 ssi |z|

1.

Proposition

Soit x

= ax

+ bx

une ´equation de r ´ecurrence lin ´eaire d’ordre 1 ou 2 (1 si b = 0). Alors l’ ´equilibre est globalement stable ssi toutes les racines de l’ ´equation caract ´eristique sont de module strictement inf ´erieur `a 1.

Proposition

Soit P(λ ) =

+ aλ + b un polyn ˆome du second degr ´e `a coefficients r ´eels. Alors les modules de ses racines (r ´eelles ou complexes) sont strictement inf ´erieurs `a 1 ssi

P(1)

0, P(−1)

0 et |b|

1.

Exercice

C

d ´esigne la consommation durant la p ´eriode t, Y

le revenu durant cette p ´eriode et I

l’investissement pendant cette p ´eriode. On suppose que :

C

= −2Y

I

= −2 (C

− C

) + I

o `u I est une constante (investissement autonome).

1

En utilisant la relation Y

= C

+ I

, montrer que la suite (Y

) est solution de l’ ´equation de r ´ecurrence :

Y

− 2Y

+ 4Y

= I

2

Montrer que cette ´equation admet une solution constante.

3

Ecrire la solution g ´en ´erale de cette ´equation.

4

D ´eterminer le comportement asymptotique de (Y

).