L’´equation de Smoluchowski : existence de solutions et ph´enom`ene de g´elation
Romain Joly et Emmanuel Vincent sous la direction de Benoˆıt Perthame
8 juin 2000
R´esum´e
On consid`ere l’´equation de Smoluchowski, qui est un mod`ele d´ecrivant simplement la coagulation de particules. On d´emontre l’existence de solutions, et on met en ´evidence le ph´enom`ene de g´elation.
On effectue enfin des simulations num´eriques.
Table des mati` eres
1 Introduction 2
2 Existence de solutions 2
2.1 CasK born´e . . . 2 2.2 Cas g´en´eral . . . 5 2.3 A propos du th´eor`eme de Dunford-Pettis . . . .` 9
3 Ph´enom`ene de g´elation 11
3.1 D´efinition de la g´elation . . . 11 3.2 Un exemple de r´esultat . . . 11
4 Simulations Num´eriques 12
4.1 Discussion autour de la validit´e de la discr´etisation . . . 12 4.2 Les programmes . . . 13 4.3 R´esultats . . . 14
5 Un peu de physique 17
5.1 Un exemple concret deK(x, y) : la formation des gouttes d’eau . . . 17 5.2 Applications `a l’astronomie . . . 17
6 Conclusion 18
1 Introduction
L’´equation de Smoluchowski d´ecrit l’´evolution de particules pouvant s’agglom´erer pour former des particules plus grosses, ou se fragmenter en particules plus petites. Dans la suite, on ne consid`erera que le processus d’agglom´eration. L’´equation mod´elise par exemple la croissance des goutelettes dans les nuages, la formation des ´etoiles...
On note c(x, t) le nombre de particules de masse x `a l’instant t. Et on suppose que deux particules de massesxety ont une probabilit´eK(x, y)dt de s’agglom´erer pendant un tempsdt.
Physiquement, on suppose que le nombre et la masse totale des particules sont finis pour tout temps, c’est-`a-dire pour toutt,R
c(x, t)dxetR
xc(x, t)dxsont finies. De plus,cet Ksont des fonctions positives etK est sym´etrique (K(x, y) =K(y, x)).
Pendant un temps dt, l’ensemble des particules de massexgagne 12Rx
0 K(y, x−y)c(y, t)c(x−y, t)dy dt particules (quand des particules de masses inf´erieures se regroupent) et perdR∞
0 K(x, y)c(x, t)c(y, t)dy dt particules (quand des particules de masse x se regroupent avec d’autres). On obtient donc l’´equation suivante :
∂
∂tc(x, t) =1 2
Z x 0
K(x−y, y)c(x−y, t)c(y, t)dy− Z ∞
0
K(x, y)c(x, t)c(y, t)dy .
2 Existence de solutions
Nous nous int´eresserons ici `a r´esoudre le syst`eme
∂
∂tc(x, t) = 12Rx
0 K(x−y, y)c(x−y, t)c(y, t)dy−R∞
0 K(x, y)c(x, t)c(y, t)dy , t≥0, x≥0, c(x, t= 0) =c0(x)≥0 ∈L1.
(1)
2.1 Cas K born´ e
Nous commen¸cons par le cas o`u K∈L∞. Notations 2.1 Si
u: R2+ −→ R (x, t) 7−→ u(x, t)
On travaille avec les fonctions qui v´erifient : u(x, .) ∈ C1 et u(., t)∈ L1. On introduit aussi la norme : kuksup T = sup0≤t≤Tkutk1. L’espace des fonctions deR2+ dansRavec la section `atfix´e dansL1 est bien complet pour cette norme.
Propri´et´e 2.1 Une solution physiquec , c’est-`a-dire positive et suffisamment d´ecroissante, v´erifient : kuksup T ≤ kc0k1. Donc elle se trouve en particulier dans :
BT ={u;kuksup T ≤2kc0k1;u(x, t)≥0surR+×[0;T]}. (2) Le 2kc0k1 ´etant l`a pour des raisons techniques qui apparaˆıtrerons dans la suite. Nous allons donc res- treindre la recherche de solutions `a ce type de demi-boule, puisque c’est le lieu des solutions qui nous int´eressent.
D´emonstration Il est clair quec(x, t)≥0 est n´ecessaire `a la physique du probl`eme. Nous pouvons alors
´ecrire :
∂
∂t Z ∞
0
c(x, t)dx= ∂
∂tkctk1=1 2
Z ∞ 0
Z x 0
K(x−y, y)c(x−y, t)c(y, t)dydx
− Z ∞
0
Z ∞ 0
K(x, y)c(x, t)c(y, t)dxdy . Les inversions d’int´egration ´etant assur´ees par la positivit´e des termes. Or :
Z ∞ 0
Z x 0
K(x−y, y)c(x−y, t)c(y, t)dydx = Z ∞
0
Z ∞ y
K(x−y, y)c(x−y, t)c(y, t)dxdy,
= Z ∞
0
Z ∞ 0
K(x, y)c(x, t)c(y, t)dxdy.
D’o`u :
∂
∂tkctk1=−1 2
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)c(x, t)c(y, t)dxdy ≤0,
etkctk1≤ kc0k1 iekcksup T ≤ kc0k1
Nous allons montrer maintenant l’existence d’une solution sur tout R+, pour cela il nous faut com- mencer `a d´emontrer l’existence locale par un th´eor`eme de point fixe.
Lemme 2.1 On noteψ l’application qui `auassociev solution de :
∂
∂tv(x, t) =12Rx
0 K(x−y, y)u(x−y, t)u(y, t)dy−R∞
0 K(x, y)v(x, t)u(y, t)dy, v(x, t= 0) =c0(x)≥0.
ψ est bien d´efinie surBT et laisse stableBT pour T assez petit.
D´emonstration On suppose queu∈BT
• `axfix´e,v(x, t) v´erifie : d
dtv(x, t) +λ(t)v(x, t) =a(t), v(x, t= 0) =c0(x).
λetasont continues ent et mˆemeC1, le th´eor`eme deCauchy-Lipschitz assure donc l’existence de vxsur R+.On connaˆıt mˆeme la solution, elle est donn´ee par la formule :
v(x, t) =c0(x)e−R0tλ(s)ds+ Z t
0
a(s)e−R0tλ(r)drds Cela assure quev(x, t) est positive, puisquec0≥0.
• Montrons la borneL1. On tire de notre ´equation int´egr´ee enxet ent que :
Z ∞ 0
v(x, t)dx=1 2
Z t 0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)u(x, τ)u(y, τ)dxdydτ
− Z t
0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)v(x, τ)u(y, τ)dxdydτ +
Z ∞ 0
c0(x)dx.
kvtk1≤ t
2kKk∞(kuksup T)2+kc0k1.
kvksup T ≤2TkKk∞(kc0k1)2+kc0k1.
Et pour T ≤2kKk∞1kc0k1,v appartient `aBT.
Lemme 2.2 PourT assez petit,ψest contractante pourk.ksup T et admet donc un unique point fixe qui est la solution `a notre probl`eme dansBT.
D´emonstration Nous consid´erons lesT pour lesquelsψ laisse stableBT. Soient deux fonctions deBT: u1et u2 d’imagesv1et v2. Calculons :
Z ∞
0 |v2(x, t)−v1(x, t)|dx≤1 2
Z t 0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)|u22(x, τ)−u21(x, τ)|dxdydτ +
Z t 0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)|u2v2(x, τ)−u1v1(x, τ)|dxdydτ.
Ce qui implique que :
k(v2−v1)tk1≤ t
2kKk∞ku2+u1ksup Tku2−u1ksup T
+tkKk∞(ku2ksup Tkv2−v1ksup T +kv1ksup T ku2−u1ksup T).
Comme les fonctions sont dans lesBT qui sont stables, on peut majorer nos normes des ant´ec´edents et des images par 2kc0k1:
kv2−v1ksup T ≤2TkKk∞kc0k1ku2−u1ksup T
+ 2TkKk∞(kc0k1kv2−v1ksup T+kc0k1ku2−u1ksup T).
kv2−v1ksup T ≤ ku2−u1ksup T
4Tkcok1kKk∞
1−2Tkcok1kKk∞ =C(T,kc0k1,kKk∞)ku2−u1ksup T. PourT suffisamment petit, on peut repondre `a la condition de stabilit´e et rendreψcontractante.
Propri´et´e 2.2 Il existe une unique solution “physique” (positive et rapidement d´ecroissante) surR+×R+ D´emonstrationNous avons montr´e l’existence d’une solution physique `a notre probl`eme dansR+×[0, T].
Cette solution est positive donc d’apr`es la propri´et´e (2), sa normeL1 d’espace d´ecroit avec le temps.
Nous pouvons r´eit´erer le processus en prenant comme donn´ee de d´epart c(., t = T2), donn´ee qui est positive et de norme plus petite que celle de c0. Nous aurons une solution sur [T2,T2 +T′] qui est sur [T2, T] confondue avec notre solution de d´epart ( car il y a unicit´e sur tout intervalle [T2,T2 +t]t≤T′] ).
On peut ainsi prolonger notre solution, mais en observant que les conditions sur T′ sont plus larges que celles surT car la norme de la donn´ee initiale d´ecroit (etT ne d´epend que de cette norme), on peut donc choisirT′=T.
On peut continuer de mˆeme jusqu’`a obtenir une solution sur toutR+×R+.
2.2 Cas g´ en´ eral
On prouve dans cette partie l’existence d’une solution au syst`eme (1) o`u on suppose que le nombre et la masse des particules initiales sonf finis, et queK est principalement un produit.
c0∈L1(R+,(1 +x)dx),
K(x, y) =r(x)r(y) +α(x, y) avec r∈ C0, 0≤α(x, y) =α(y, x)≤Ar(x)r(y).
(3)
Th´eor`eme 2.1 Sous ces hypoth`eses, il existe une solution `a l’´equation sur [0,+∞[satisfaisant Z ∞
0
xc(x, t)dx≤ Z ∞
0
xc0(x)dx ∀t∈R. Remarque 2.1 Aucune limitation particuli`ere n’est impos´ee `a la fonction r.
La condition que K soit principalement un produit est un peu restrictive, mais elle permet de prouver l’existence de solutions dans le cas de la g´elation, que nous ´etudierons plus loin.
Notations 2.2 On d´efinit des fonctions tronqu´ees
Kn =
K sur [0, n]2 0 ailleurs cn0 =
c0 sur [0, n]
0 ailleurs On d´efinit de mˆeme les fonctions rn,αn.
D’apr`es le th´eor`eme dans le cas Kborn´e, l’´equation o`u (K, c0) est remplac´e par (Kn, cn0) admet une solution positive surR+ qu’on notecn.
Lemme 2.3 Soit g∈L∞
loc . Si on poseg(x, y) =˜ g(x+y)−g(x)−g(y), on a pour tout 0≤s≤t <∞ Z ∞
0
g(x) (cn(x, t)−cn(x, s))dx= 1 2
Z t s
Z ∞ 0
Z ∞ 0
Kn(x, y)˜g(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dxdydτ. (4) D´emonstration Lescn sont `a support born´e (contenu dans [0,2n]), toutes les int´egrales suivantes sont donc bien d´efinies.
A partir de l’´equation initiale, on tire` cn(x, t)−cn(x, s) = 1
2 Z t
s
Z x 0
Kn(x−y, y)cn(x−y, τ)cn(y, τ)dydτ− Z t
s
Z ∞ 0
Kn(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dydτ.
On multiplie parg(x) et on int`egre par rapport `axsur [0,+∞[.
Un changement de variable associ´e `a Fubini et l’utilisation de la sym´etrie de Kn donne le r´esultat.
Remarque 2.2 En prenant g(x) = x dans l’´equation (4), on voit que les cn conservent la masse : kxcn(., t)k1=kxc0k1∀t.
Et en prenantg(x) = 1, on voit que le nombre de particules diminue : kcn(., t)k1≤ kcn0k1≤ kc0k1∀t.
Lemme 2.4 {cnt, n∈N} est faiblement compact dansL1 pourt fix´e.
D´emonstration D’apr`es le crit`ere de Dunford-Pettis, il suffit de d´emontrer les deux r´esultats suivants :
∀ǫ >0,∃δ, λ(E)≤δ⇒sup
n
Z
E
cn(x, t)dx≤ǫ, (5)
(o`u E est un ensemble mesurable deR+ et λla mesure de Lebesgue), et :
∀ǫ >0,∃Mǫ,sup
n
Z ∞ Mǫ
cn(x, t)dx≤ǫ. (6)
L’in´egalit´e (6) est ´evidente. En effet, comme lescn conservent la masse, on a Z ∞
M
cn(x, t)dx≤kxc0k1 M + 1. D’autre part, (5) r´esulte d’une suite de majorations. On a d’abord
Z
E
cn(x, t)dx≤ Z Mǫ
0
χE(x)cn(x, t)dx+ǫ, puis on pose :
ǫnδ(t) = sup
λ(E)≤δ
Z Mǫ
0
χE(x)cn(x, t)dx.
Par (5), la positivit´e des fonctions consid´er´ees et Fubini, on obtient : Z Mǫ
0
χE(x)cn(x, t)dx ≤ ǫnδ(0) +1 2
Z t 0
Z Mǫ
0
Z x 0
χE(x)Kn(x−y, y)cn(x−y, τ)cn(y, τ)dydxdτ,
≤ ǫnδ(0) +1 2
Z t 0
Z Mǫ
0
Z Mǫ
0
χ−y+E(x)Kn(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dxdtdτ,
≤ ǫnδ(0) +1
2kKnkL∞([0,Mǫ]2)kc0k1 Z t
0
ǫnδ(τ)dτ, et le lemme faible de Gronwall conclut :ǫnδ(t)≤C1(t)ǫnδ(0).
De plus, commec0∈L1,
ǫnδ(0) ≤ sup
λ(E)≤δ
Z Mǫ 0
χE(x)c0(x)dx,
≤ ǫpourδ assez petit.
Les propri´et´es (5) et (6) permettent d’utiliser le th´eor`eme de Dunford-Pettis qui donne imm´ediatement
le r´esultat du lemme.
Lemme 2.5 On a les in´egalit´es suivantes Z t
0
Z ∞ 0
rn(x)cn(x, τ)dx 2
dτ ≤2kc0k1. (7)
Z t 0
Z ∞ a
rn(x)cn(x, τ)dx 2
dτ ≤ 2kxc0k1
a . (8)
D´emonstration En prenantg(x) = 1 dans l’´equation (4), on obtient Z t
0
Z ∞ 0
rn(x)cn(x, τ)dx 2
dτ ≤ Z t
0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
Kn(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dxdydτ,
= 2
Z ∞ 0
(cn0(x)−cn(x, t))dx d’o`u (7).
Et en prenantg(x) = min(x, a), on a
g(x, y) =˜ −a si(x, y)∈[a,∞[2
˜
g(x, y)≤0 sinon
Z t 0
Z ∞ a
rn(x)cn(x, τ)dx 2
dτ ≤ Z t
0
Z ∞ a
Z ∞ a
Kn(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dxdydτ,
≤ 2 a
Z ∞ 0
g(x)(cn(x, t)−cn0(x))dxd’o`u (8).
Lemme 2.6 La suite(cn)n∈Nest faiblement ´equicontinue ent (si on consid`ere les(cn)comme ´el´ements de C([0, T],L1(R+))).
D´emonstration En prenants, t∈ [0, T] ,a >0 etg(x) =χ[0,a](x)sgn(cn(x, t)−cn(x, s)) dans l’´egalit´e (4), on obtient
Z a
0 |cn(x, t)−cn(x, s)|dx ≤ 3 2
Z t s
Z a 0
Z ∞ 0
Kn(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dxdydτ,
≤ 3
2(1 +A) Z t
s
Z a 0
rn(x)cn(x, τ)dx
Z ∞ 0
rn(x)cn(x, τ)dx
dτ,
≤ 3
2(1 +A)krnkL∞([0,a])kc0k1
Z t s
Z ∞ 0
rn(x)cn(x, τ)dτ,
≤ C2(a, T)|t−s|12. Par l’in´egalit´e (7) et Cauchy-Schwarz.
On en tire grˆace `a l’in´egalit´e (6) que Z ∞
0 |cn(x, t)−cn(x, s)|dx ≤ C2(Mǫ, T)|t−s|12+ 2ǫ, (9)
≤ 3ǫ d`es que (10)
|t−s| ≤ ǫ2
C2(Mǫ, T)2. (11)
La condition (11) ne porte pas sur n, donc (cn) est ´equicontinue pour la topologie forte, et donc aussi
pour la faible.
Lemme 2.7 Pour toutT, (cn) est relativement sequentiellement compacte dans C([0, T],L1(R+)w) (o`u L1(R+)w estL1(R+) muni de la topologie faible)
Donc il existec∈ C(R+,L1(R+)w)telle que
∀t∈R+, cnt ⇀ ct(convergence faible dans L1) (12)
D´emonstrationLe th´eor`eme d’Ascoli-Arzela donne imm´ediatement le r´esultat `a partir des lemmes 2.4
et 2.6.
Propri´et´e 2.1 c∈ C0(R+,L1(R+))etc positive.
D´emonstration La positivit´e vient de (12).
En utilisant (12), l’in´equation (10) reste vraie `a la limite d`es que la condition (11) est r´ealis´ee, d’o`u la
continuit´e.
Lemme 2.8 ∀g∈L∞, si˜g(x, y) =g(x+y)−g(x)−g(y), on a Z ∞
0
g(x)(c(x, t)−c0(x))dx=1 2
Z t 0
Z ∞ 0
Z ∞ 0
˜
g(x, y)K(x, y)c(x, τ)c(y, τ)dxdydτ. (13) D´emonstration On s´epare l’int´egrale de droite surxety en trois morceaux :
K1(a, τ) = Z a
0
Z a 0
˜
g(x, y)K(x, y)c(x, τ)c(y, τ)dxdy, K2(a, τ) = 2
Z a 0
Z ∞ a
˜
g(x, y)K(x, y)c(x, τ)c(y, τ)dxdy, K3(a, τ) =
Z ∞ a
Z ∞ a
˜
g(x, y)K(x, y)c(x, τ)c(y, τ)dxdy.
Et on d´efinit de mˆemeK1,n,K2,n,K3,n, en rempla¸cantK parKnet cparcn. (12) donne
Z ∞ 0
g(x)(cn(x, t)−cn0(x))dx→ Z ∞
0
g(x)(c(x, t)−c0(x))dx.
Il reste donc `a montrer que
Z t 0
3
X
i=1
(Ki,n(a, τ)−Ki(a, τ))→0. (14)
D’abord, pourn≥a, on a ˜gKn≡gK˜ ∈L∞([0, a]2). Alors, les propri´et´es de la convergence faible donnent
∀τ, K1,n(a, τ)→K1(a, τ).
Commekcn(., t)k1≤ kc0k1 ∀t, K1,n(a, τ) est uniform´ement born´e enτ sur [0, t], et avec le th´eor`eme de convergence domin´ee
Z t 0
(K1,n(a, τ)−K(a, τ))dτ →0. (15)
D’autre part, par (7), (8) et Cauchy-Schwarz, Z t
0 |K2,n(a, τ) +K3,n(a, τ)|dτ ≤ 9kgk∞ Z t
0
Z ∞ 0
Z ∞ a
Kn(x, y)cn(x, τ)cn(y, τ)dxdydτ,
≤ 9kgk∞(1 +A) Z t
0
Z ∞ 0
rn(x)cn(x, τ)dx
Z ∞ a
rn(x)cn(x, τ)dx
dτ,
≤ C3
√a.
Ensuite, on reprend les in´egalit´es (7) et (8). En coupant les int´egrales `a l’infini enM ≤n, on peut utiliser encore la convergence domin´ee, puis faire tendreM vers l’infini. Ces deux in´egalit´es restent donc vraies
`a la limite.
Alors, l’in´egalit´e (16) elle aussi est vraie `a la limite.
On en d´eduit grˆace `a (15) que
lim sup
Z t 0
3
X
i=1
(Ki,n(a, τ)−Ki(a, τ))dτ
≤ 2C3
√a.
OrP3
i=1(Ki,n(a, τ)−Ki(a, τ)) ne d´epend pas de a, donc Z t
0 3
X
i=1
(Ki,n(a, τ)−Ki(a, τ))dτ →0.
Lemme 2.9 c est une solution du probl`eme initial.
D´emonstration Par les mˆemes changements de variables autoris´es que pour la d´emonstration de (4), on trouve∀g∈L∞,
Z ∞ 0
g(x)(c(x, t)−c0(x))dx = Z ∞
0
g(x) Z t
0
1 2
Z x 0
K(x−y, y)c(x−y, τ)c(y, τ)dy− c(x, τ)
Z ∞ 0
K(x, y)c(y, τ)dy
dτ dx.
D’o`u
c(x, t)−c0(x) = Z t
0
1 2
Z x 0
K(x−y, y)c(x−y, τ)c(y, τ)dy−c(x, τ) Z ∞
0
K(x, y)c(y, τ)dy
dτ p.p.
c(x, .) est doncC1 pourxp.p., et on retrouve bien l’´equation initiale.
2.3 A propos du th´ ` eor` eme de Dunford-Pettis
On se propose ici de donner une d´emonstration du th´eor`eme de Dunford-Pettis dans le cas particulier qui nous int´eresse.
Th´eor`eme 2.2 SoitF une partie de l’espaceL1(R+,R+). On noteλla mesure de Lebesgue et on suppose que
∀ǫ >0,∃δ, λ(E)≤δ⇒sup
f∈F
Z
E
f dλ≤ǫ (16)
∀ǫ >0,∃M,sup
f∈F
Z ∞ M
f dλ≤ǫ (17)
Alors, de toute suite deF, on peut extraire une sous-suite qui converge pour la topologie faible de L1.
D´emonstrationCommen¸cons par d´emontrer ce r´esultat sur un intervalle K born´e de R+. On suppose que l’hypoth`ese (16) reste valable.
Soit (fn) une suite d’´el´ements deF. Pour toutn∈Net chaque bor´elien EdeK, on pose In(E) =
Z
E
fndλ.
D’apr`es (16)In(E)≤lλ(K)
δ
mǫ, lesIn(E) sont donc uniform´ement born´es. On peut trouver une sous-suite (fψ(n)) et d´efinir une fonction d’ensemble
I(E) = lim
n Iψ(n)(E).
Pour cela, on peut utiliser la th´eorie des ultrafiltres, la notion de limite g´en´eralis´ee `al∞, ou encore des notions de th´eorie de la mesure.
La fonctionIainsi construite est born´ee et sigma-additive (grˆace `a (16), la bornitude de K et l’additivit´e finie). De plus, d’apr`es (16) encore,
∀ǫ >0,∃δ, λ(E)≤δ⇒I(E)≤ǫ.
I est donc une mesure absolument continue par rapport `a λ. Le th´eor`eme de Radon-Nikodym donne l’existence d’une fonctionf ∈L1 telle que pour tout bor´elien E
I(E) = Z
E
f dλ.
Pour toute fonctiong∈L∞ combinaison finie d’indicatrices, on a limn
Z
E
fψ(n)g= Z
E
f g
Par limite uniforme, cette ´egalit´e reste vraie pour toute fonctiong∈L∞
Passons maintenant au th´eor`eme ´enonc´e proprement dit.
Soit (fn) une suite d’´el´ements deF. Soit (Ki) la suite de compacts d´efinis parKi= [0, i].
Lesfn|K1 v´erifient les hypoth`eses du cas mesure finie surK1, donc on peut extrairefψ1(n)⇀ φ1 surK1. A leur tour, les` fψ1(n)|K2 v´erifient les hypoth`eses du cas mesure finie surK2. Par r´ecurrence, on d´efinit ainsi des extractions (ψk) et des fonctions (φk) sur (Kk) telles que pour toutk
fψ1◦...◦ψk(n)⇀ φksurKk.
On voit facilement par unicit´e de la limite faible queφk+1|Kk =φk, donc lesφk sont les restrictions d’une fonctionφbor´elienne d´efinie et positive surR+ tout entier.
Les propri´et´es de la convergence faible permettent de passer les in´egalit´es (16) et (17) `a la limite. D’o`u φ∈L1(R+,R+). On utilise le proc´ed´e diagonal pour conclure. Posonsψ(n) =ψ1◦...◦ψn(n).ψ est une extraction et sur toutKk,fψ(n)|Kk⇀ φ|Kk. En utilisant (17), cela impliquefψ(n)⇀ φsurR+tout entier.
3 Ph´ enom` ene de g´ elation
3.1 D´ efinition de la g´ elation
Si on se permet de raisonner formellement sur les ´equations, on peut ´ecrire :
∂
∂t Z ∞
0
xc(x, t)dx=1 2
Z ∞ 0
Z x 0
K(x−y, y)xc(x−y, t)c(y, t)dydx− Z ∞
0
Z ∞ 0
K(x, y)xc(x, t)c(y, t)dydx.
En effectuant le changement de variable d´ej`a utilis´e :
∂
∂t Z ∞
0
xc(x, t)dx= 1 2
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)(x+y)c(x, t)c(y, t)dydx− Z ∞
0
Z ∞ 0
K(x, y)xc(x, t)c(y, t)dydx.
Par sym´etrie de K et du reste de l’expression :
∂
∂t Z ∞
0
xc(x, t)dx= 0.
Autrement dit : la masse se conserve. L’´equation de Smoluchowski semble donc bien rendre compte du ph´enom`ene physique qu’elle d´ecrit.
Malheureusement, notre raisonnement n’est que formel et rien ne dit queR R
K(x−y, y)xc(x−y, t)c(y, t)dydx converge. On peut montrer en fait qu’il existe des cas o`u la masse totale d´ecroit : on appelle ce ph´enom`ene la g´elation.
On peut interpr´eter la g´elation comme la fuite de masse vers l’infini en temps fini. Physiquement, le nom vient de la solidification d’un liquide, c’est-`a-dire du groupement de toutes les mol´ecules en un seul bloc de tr`es grande masse. Mais la g´elation reste un ph´enom`ene difficile `a ´etudier et `a comprendre.
3.2 Un exemple de r´ esultat
On ´etudie toujours le syst`eme (1) avec les hypoth`eses (3).
Pour observer le ph´enom`ene de g´elation, on imposer(x)≥Rx L’´equation (13) se transforme facilement en
Z ∞ 0
g(x) (c(x, t)−c(x, s))dx= 1 2
Z t s
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)˜g(x, y)c(x, τ)c(y, τ)dxdy (18) pourg∈ L∞et 0≤s < t <+∞.
Lemme 3.1 On noteρla masse :
ρ(t) = Z ∞
0
xc(x, t)dx.
Pour0≤s < t <∞,ρ(t)≤ρ(s).
D´emonstration on pose g(x) =xχ[0,M](x),M >0, on a : ˜g(x, y) = 0 sixety≥M
˜
g(x, y)≤0 sinon Donc on peut utiliser (18) et on tire l’in´egalit´e :
Z M 0
x(c(x, t)−c(x, s))dx≤0.
On n’a plus qu’`a faire tendre M vers l’infini.
Th´eor`eme 3.1 Sous les hypoth`eses(3) etr(x)≥Rx, la densit´e d´ecroit vers 0 : ρ(t)≤
r2kc0k1
tR2 . D´emonstration on prendg≡1
Z ∞ 0
[c(x, t)−c(x, s)]dx=−1 2
Z t s
Z ∞ 0
Z ∞ 0
K(x, y)c(x, τ)c(y, τ)dxdydτ.
Pour une solution “physique” (c≥0 ), on a :
− Z ∞
0
c(x, s)dx≤ −1 2
Z t s
Z ∞ 0
Z ∞ 0
R2xyc(x, τ)c(y, τ)dxdydτ.
D’o`u :
Z ∞ 0
c(x, s)dx≥R2 2
Z t s
|ρ(τ)|2dτ.
Puis en faisant s=0, et en utilisant la d´ecroissance deρ: Z ∞
0
c0(x)dx≥ R2 2
Z t
0 |ρ(τ)|2dτ ≥ R2
2 t|ρ(t)|2.
Remarque 3.1 On peut alors appeler Tgel = 2kcρ20k1
0R2 le temps de g´elation, c’est-`a-dire le temps `a partir duquel le ph´enom`ene est forc´ement visible.
4 Simulations Num´ eriques
4.1 Discussion autour de la validit´ e de la discr´ etisation
Pour r´ealiser des simulations num´eriques, nous sommes oblig´es de discr´etiser notre mod`ele, en temps comme en espace, ainsi que de restreindre l’´echantillonage en espace `a un segment compact. Cela va-t’il apporter de grande modification du comportement de nos solutions?
On peut commencer par remarquer que la discr´etisation en espace ne pose aucun probl`eme. En effet, si la donn´ee initiale est une somme de masse de Dirac sur les entiers, par coagulation, les particules auront toujours des masses enti`eres : notre discr´etisation en espace est exacte. D’ailleurs, l’´equation de Smoluchowski en espace discret et temps continue est aussi tr`es ´etudi´ee. Elle peut s’´ecrire :
∂
∂tc(n, t) =1 2
n
X
k=1
K(n−k, k)c(n−k, t)c(k, t)−c(n, t)
∞
X
k=1
K(n, k)c(k, t).
La restriction sur un intervalle pose par contre un probl`eme. Etant donn´e qu’il n’y a pas beaucoup de particules de grande masse, la troncature de l’int´egrale dans l’equation n’est pas tr`es grave (toute simulation ne peut ˆetre que approch´ee). Par contre, la masse de ces mˆemes particules n’est pas n´egligeable : notre restriction va entrain´e une baisse de la masse totale, mˆeme dans les cas sans g´elation, et qui risque de masquer la g´elation elle-mˆeme.
Enfin, et c’est peut-ˆetre le plus remarquable, le mod`ele discret en temps empˆeche la g´elation. En effet, on se persuade facilement que si la donn´ee initiale est `a support compact, son support ne peut que doubler de longueur `a chaque pas de temps : aucune particule ne peut se retrouver `a l’infini en temps fini.
N´eanmoins, les simulations restent indispensables pour comprendre notre ´equation.
4.2 Les programmes
Pour mieux ´etudier l’´equation de Smoluchowski, il est n´ecessaire de r´ealiser quelques simulations nu- m´eriques. Le langage choisi est Scilab, mais l’algorithme est facilement compr´ehensible et peut s’adapter rapidement `a d’autres compilateur.
Le programme suivant dessine `a intervalles r´eguliers la courbec(x, t). Il n’y a aucune difficult´e si ce n’est la fa¸con matricielle de proc´eder (car Scilab est tr`es rapide en calcul matriciel), mais on se persuadera que cela fournit un calcul correct.
n=200;
Nmax=50;
dx=Nmax/n;
dt=1/200;
Tmax=5;
Taffich=80;
//———————————- // K=ones(n,n);
K=diag([0:dx:Nmax-dx])*ones(n,n)./10 + ones(n,n)*diag([0:dx:Nmax-dx])./10;
// K=diag([0:dx:Nmax-dx])*ones(n,n) .* ones(n,n)*diag([0:dx:Nmax-dx])./10;
u=2.2*[0:dx:Nmax-dx]’.*exp(-1.*(([0:dx:Nmax-dx]’-4).ˆ2));
y=0:dx:Nmax-dx;
y=y’;
xbasc();
//————————————- for t=0:dt:Tmax
if Taffich*t==floor(t*Taffich) then
plot2d(y,[0:dx:Nmax-dx]’.*u,[Taffich*t+1],”111”,”L1”,[0,0,Nmax,40],[1,20,1,10]);
end;
M=diag(u)*K;
v=-M*u;
for j=2:n
M(j:n,j)=M(1:(n-j+1),j);
M(1:j-1,j)=zeros(j-1,1);
end;
u=u+dx*dt*((1/2).*M*u + v);
end;
Avec le mˆeme calcul central, on peut tracer l’´evolution de la masse : n=100;
Nmax=50;
dx=Nmax/n;
dt=1/100;
Tmax=2;
//———————————- // K=ones(n,n);
// K=diag([0:dx:Nmax-dx])*ones(n,n)./10 + ones(n,n)*diag([0:dx:Nmax-dx])./10;
K=diag([0:dx:Nmax-dx])*ones(n,n) .* ones(n,n)*diag([0:dx:Nmax-dx])./10;
u=5.*[0:dx:Nmax-dx]’.*exp(-2*(([0:dx:Nmax-dx]’-3).ˆ2));
y=0:dt:Tmax;
y=y’;
rho=zeros(Tmax/dt,1);
//————————————- for t=0:dt:Tmax
rho((t/dt)+1)=sum(u.*[0:dx:Nmax-dx]’);
M=diag(u)*K;
v=-M*u;
for j=2:n
M(j:n,j)=M(1:(n-j+1),j);
M(1:j-1,j)=zeros(j-1,1);
end;
u=u+dx*dt*((1/2).*M*u + v);
end;
plot2d(y,rho);
4.3 R´ esultats
Voici un exemple o`u la donn´ee initiale est un pic tr`es marqu´e, on constate bien le ph´enom`ene annonc´e lors de notre discussion : les particules ont une masse multiple de celle des particules de la donn´ee initiale.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
Maintenant, observons la diff´erence entre un noyau provoquant de la g´elation (K(x, y) = xy), et un noyau ne la provoquant pas (K(x, y) =x+y).Pour ce qui suit, les graphiques repr´esententc(x, t) pour plusieurst fix´es.
Voici pourK(x, y) =xy:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
Et pour K(x, y) =x+y:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 0
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
L1
Nous notons que la masse semble partir plus vite dans le casK(x, y) =xy
Mais voil`a qui rend la g´elation beaucoup visible. On effectue le trac´e de la masse totale en fonction du temps dans les deux cas si dessus. Puis en conservant la mˆeme densit´e de point pour la discr´etisation, on multiplie par quatre notre intervalle d’observation (puisqu’on ne peut simuler surR+ tout entier ). Dans tous les cas, la masse d´ecroit car des particules deviennent trop grosses pour notre intervalle d’observation, mais dans le cas de la g´elation, cette d´ecroissance est la mˆeme quelle que soit la longueur de l’intervalle puisque les particules “s’en vont `a l’infini”.
C’est le cas pourK(x, y) =xy:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
L1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
L1
Mais pas pour K(x, y) =x+y:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
L1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
L1
Il est donc remarquable de constater, que malgr´e tous les probl`emes pr´ecit´es, le phenom`ene de g´elation reste bien visible. Le calcul donne dans le cas ci-dessusTgel ≃0,05, et notre simulation Tgel ≃0.3. On reste quand mˆeme dans le bon ordre de grandeur.
5 Un peu de physique
5.1 Un exemple concret de K (x, y) : la formation des gouttes d’eau
Un cas simple d’application de l’´equation de Smoluchowski est la formation des gouttes d’eau dans les nuages. Les gouttes commencent par grossir par la condensation de vapeur sur leur surface, puis quand elles ont atteint une certaine taille, la croissance se fait par r´eunion quand deux gouttes se rencontrent.
C’est dans cette phase de d´eveloppement que l’´equation de Smolukowski apparaˆıt.
Nous n’allons pas ici rentrer dans les d´etails des simulations et calculs qui int´eressent les sp´ecialistes de ce domaine, mais donner un exemple de noyauK afin de montrer comment on peut effectuer des calculs concrets.
Remarque 5.1 Les constantes multiplicatives devant K n’ont pas d’importance car un changement d’´echelle de temps les fait disparaˆıtre.
Mod´elisons nos gouttes par des sph`eres qui tombent toutes `a leur vitesse limite (donc constante). Soit deux gouttes de massesxet y, de vitessesvx et vy, nous noterons la vitesse relative de y par rapport `a x:vr=vy−vx. Les deux gouttes se rencontrent dans le temps dtsi elles ne sont pas plus ´eloign´ees que rx+ry dans le plan horizontal, et siy est `a moins de|vr|dtdexverticalement.
volume de choc
r v
r
x y
r
On en d´eduit donc que, commeK(x, t)dtest proportionnel au volume de choc,K(x, y)dt≈(rx+ry)|vr|dt.
La vitesse limite v´erifie :vx∗surf ace∗coef def rottement=masse∗g, c’est-`a-dire quevx≈x13. On prend donc :
K(x, y) = (x13 +y13)2|x13 −y13|.
5.2 Applications ` a l’astronomie
Ce petit paragraphe expose simplement le genre de probl`emes que se posent les physiciens face `a l’´equation de Smolukowski.
L’´equation peut s’appliquer `a la formation des ´etoiles par processus d’agglom´eration dans les nuages de gaz. La question est de savoir si cette mod´elisation permet de comprendre pourquoi certains nuages ne contiennent que de grandes ´etoiles et d’autres que des petites. Un des sujets de recherche est donc la d´ependance du spectre de masse asymptotique en fonction des donn´ees initiales. Si le spectre d´epend mˆeme des plus fines variations, le processus permet de d´ecrire la diff´erence entre les nuages, si au contraire, le spectre final n’en d´epend absolument pas, alors il faudra chercher d’autres explications.
Dans le mˆeme ordre d’id´ee, on sait que l’univers primordial n’´etait pas homog`ene (par exemple par le rayonnement `a 3K), est-ce que notre univers actuel tient sa forme de ces fluctuations ou non? L`a encore, il faut savoir si le spectre de masse asymptotique est ind´ependant ou pas de la donn´ee initiale, si on mod´elise la formation des objets c´elestes par processus d’agglom´eration.
Nous n’entrerons pas plus dans les d´etails, pour plus de pr´ecisions, on pourra lire les articles [Gil72], [Sil78] et [Sil79].
6 Conclusion
L’´equation de Smoluchowski se rencontre dans beaucoup de domaines, mais les solutions restent encore mal connues. On ne sait rien prouver de leur existence dans un cas plus g´en´eral, ni de leur unicit´e, et le ph´enom`ene de g´elation reste mal compris en dehors de son formalisme math´ematique. Mais de nombreux probl`emes se greffent sur celui-ci, et les avanc´ees sont r´ecentes.
Il existe en outre un point de vue probabiliste int´eressant sur le probl`eme, qui tente de mieux comprendre le comportement asymptotique des solutions (cf [Ald97]).
R´ ef´ erences
[Lau98] Philippe Lauren¸cot,On a class of continuous coagulation-fragmentation equations, pr´epubli- cation du Weierstraß-Institut, 1998
[Ald97] David Aldous,Deterministic and stochastic models for coalescence (aggregation, coagulation) : a review of the mean-field theory for probabilists, Bernoulli, `a paraˆıtre
[Mel57] Z.A.MelzakA scalar transport equation, Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957)
[Del75] Claude Dellacherie, Paul-Andr´e Meyer,Probabilit´es et potentiel, Chapitres I`a IV, Hermann, 1975
[Edw65] R.E.Edwards,Functionnal Analysis, Theory and Applications, Holt, Rinehart and Winston, 1965
[Gil72] D.T.Gillespie, The stochastic coalescence model for cloud droplet growth, J. Atmos. Sci. 29, 1972
[Sil78] J.Silk and S.D.White,The developpement of structure in the expanding universe, Astrophy- sical J. 223, 1978
[Sil79] J.Silk and T.Takahashi,A statistical model for the initial stellar mass function, Astrophysical J. 229, 1979
