2. R´ esoudre y 00 + y = x 3 (on cherchera une solution particuli` ere de la forme y p (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d).

L1 Maths 2019-2020, Compl´ ements Maths 2

Feuille d’exercices num´ ero 2 : calcul int´ egral (int´ egrales, primitives, sommes de Riemann)

0. Quelques r´ evisions sur les ´ equations diff´ erentielles 1. R´ esoudre y ⁰ = ¹ _x y + xe ^x et y ⁰ = xy + x ² e ^x

^/2 .

2. R´ esoudre y ⁰⁰ + y = x ³ (on cherchera une solution particuli` ere de la forme y p (x) = ax ³ + bx ² + cx + d).

I. Calculer les int´ egrales suivantes: I 1 = R _π/2

0 sin xdx, I 2 = R _π

0 sin x cos ³ xdx, I 3 = R ₁

0 e ^2x dx, I 4 = R 2

1 1

2x dx, I 5 = R 1 0

x

1+x

dx, I 6 = R π/2

0 cos ² (t)dt, I 7 = R 1 0

1

1+t

dt, I 8 = R x 0 te ^t

dt.

II. Un ´ etudiant pr´ etend que F : x 7→ e ^x

/2x est une primitive de f : x 7→ e ^x

. A-t-il raison?

III. Int´ egration par parties

A l’aide d’une int´ egration par parties, calculer les int´ egrales suivantes: J ₁ = R 1

0 xe ^x dx, J ₂ = R 1

0 x ² e ^x dx, J 3 = R 2

1 x ln xdx, J 4 = R 2

1 ln xdx.

IV. Soit, pour n ∈ N , g _n : R → R d´ efinie par g _n (x) = n ² xe ^−nx . 1. Calculer R 1

0 g n (x)dx (utiliser une int´ egration par parties).

2. En d´ eduire lim n→+∞

R ₁

0 g n (x)dx.

V. Suite et int´ egrale : encadrement

On pose, pour tout entier naturel n, I n = R ₁

0 x

x+1 dx.

1. Calculer I ₀ .

2. Montrer que 0 ≤ I n ≤ R 1 0 x ⁿ dx.

3. En d´ eduire que (I n ) est convergente. Que vaut sa limite?.

4. Montrer que I _n + I _n+1 = _n+1 ¹ pour tout entier naturel n.

5. En d´ eduire que I _n = P n k=1

(−1)

k + (−1) ⁿ I ₀ . 6. Montrer finalement que ln 2 = lim n→+∞ P n

k=1

(−1)

k . VI. Suites et int´ egrales : encadrement

On d´ efinit, pour tout entier n, u n = R 1 0

1 1+x

dx.

1. Calculer u ₀ et u ₁ .

2. Montrer que 1 − x ⁿ ≤ _1+x ¹

≤ 1 pour tout x ∈ [0, 1].

3. En d´ eduire que (u n ) converge vers 1.

VII. Suite et int´ egrale : encadrement et IPP On pose, pour tout entier naturel n, I n = R 1

0 (1−x)

n! e ^x dx.

1. Calculer I 0 .

2. Montrer que 0 ≤ I _n ≤ R 1 0

e

n! dx. En d´ eduire que la suite (I _n ) converge vers 0.

3. Montrer que I n+1 = I n − _(n+1)! ¹ pour tout entier naturel n (on pourra, par exemple, int´ egrer I _n+1 par parties en posant u ⁰ = e ^x et v = ^(1−x) _(n+1)!

).

1

4. En d´ eduire que P n k=0 1

k! = 1 + I ₀ − I _n puis que e = lim n→+∞ P n k=0 1

n! . VIII. Int´ egrales, primitives

Soit G la fonction d´ efinie sur lintervalle [0, +∞[ par G(x) = R x

0 e ^−t

dt. Dire pourquoi G est d´ erivable et calculer G ⁰ (x).

IX. Int´ egrales et primitives

Soit f : R → R une fonction continue. Montrer que les fonctions g i sont de classe C ¹ sur R et calculer leur d´ eriv´ ee en fonction de f (on exprimera auparavant g i ` a l’aide d’une primi- tive F de f ): g ₀ (x) = R x

0 f (t)dt, g ₁ (x) = R x

0 f (t)dt, g ₂ (x) = R x

x f (t)dt, g ₃ (x) = R x

0 xf (t)dt, g 4 (x) = R exp(x)

0 f(t)dt.

X. On pose, pour x ≥ 0, G(x) = R 3x

2x e ^1−t

dt. Dire pourquoi G est d´ erivable sur R ⁺ et calculer G ⁰ (x) pour tout x ∈ R.

XI. Int´ egrales, primitives et encadrements

Soit F la fonction d´ efinie sur lintervalle [1, +∞[ par F (x) = R x 1

e

t dt.

1. Dire pourquoi F est d´ erivable et calculer F ⁰ (x). En d´ eduire que F est croissante.

2. Calculer R x 1 e ^−t dt.

3. Montrer que F (x) ≤ R x

1 e ^−t dt. En d´ eduire que F est major´ ee.

4. La fonction F a-t-elle une limite quand x → +∞?

XII. Changment de variable

En utilisant le changement de variable sugg´ er´ e, calculer les int´ egrales suivantes: K 1 = R 2 1

√ 1

x(x+1) dx (x = y ² ), K ₂ = R 2

1

√ 1

x+2x dx (t = √

x), K ₃ = R e 2

1

x(ln x)

dx (x = e ^y ), K ₄ = R 3

0 cos ³ x sin ³ xdx (y = cos x).

XIII. Soient a, b ∈ R et k, ` deux r´ eels non nuls.

1. En posant x = kt , calculer R b a

1 x

+k

dx.

2. En posant x = t + `, calculer R b a

1

(x−`)

+k

dx.

XIV. Sommes de Riemann

Calculer la limite de la suite (u n ) pour : 1. u _n = P _n

k=1 k n

+k

, 2. u _n = P n

k=1 n n

+k

, 3. u _n = P n

k=1 √ 1 n

+2kn , 4. u n = _n ¹ P n

k=1 tan ^k _n ,

Exercices suppl´ ementaires Exercice XV. Examen juin 2019

1. R´ esoudre y ⁰⁰ + y = 0 (on donnera les solutions ` a valeurs r´ eelles).

2. Soit f une fonction continue sur R .

2

a. Montrer que la fonction g d´ efinie sur R par g(x) = sin(x)

Z x

0

f (t) cos(t)dt − cos(x) Z x

0

f (t) sin(t)dt

est d´ erivable sur R et calculer g ⁰ (x) (on exprimera le r´ esultat en fonction de cos(x), sin(x), R x

0 f(t) sin(t)dt, R x

0 f (t) cos(t)dt ...) pour tout x ∈ R .

b. Montrer que g est en fait deux fois d´ erivable sur R puis que g ⁰⁰ (x) = −g(x) + f(x).

3. A l’aide des r´ esultats pr´ ec´ edents, r´ esoudre y ⁰⁰ +y = f(x) o` u f est la fonction d´ efinie ` a la question 2. (on exprimera le r´ esultat ` a l’aide de la fonction g).

XVI. Int´ egrales et primitives : un th´ eor` eme du cours dans un cas particulier

Soit I un intervalle ouvert de R et f une fonction continue sur I que l’on suppose croissante. Soit a ∈ I et F la fonction d´ efinie sur I par F(x) = R x

a f (t)dt.

1. Soit x ₀ ∈ I et h > 0 suffisamment petit pour que x ₀ + h ∈ I. Montrer que F(x ₀ + h) − F (x ₀ ) = R x

+h

x

f (t)dt puis que

f (x ₀ ) ≤ F (x 0 + h) − F (x 0 )

h ≤ f (x ₀ + h).

En d´ eduire lim _h→0 ^{F (x}

^+h)−F _h ^(x

⁾ .

2. Montrer finalement que F est d´ erivable en x 0 et que F ⁰ (x 0 ) = f (x 0 ).

XVII. Soit R > 0. Calculer I _R = R R 0

√ R ² − x ² dx en posant x = R sin t. Que vaut l’aire d’un disque de rayon R?

3