Exercice 1 Équations et exponentielle
Résoudre les équations et inéquation suivantes 1. e3x=e2x−1
2. ex2 =e4x+1
3. 1 =ex2+2x+4 4. e3x≥e−2x−4
5. ex2−2>1 6. ex2+2x+4<0
Exercice 2 Y a-t-il toujours des solutions ?
On souhaite résoudre les équations du type
ex=a
En vous aidant de la représentation graphique de la fonction exponentielle, conjecturer des réponses aux deux premières questions.
1. À quelles conditions sura, cette équation a-t-elle une solution ? 2. Est-il possible que cette équation ait 2 solutions ou plus ?
3. (*) Soita∈]0 ; +∞[ =R+∗démontrer que l’équation une unique solution surRque l’on nommerab.
La dernière question de l’exercice démontre pour touta∈]0 ; +∞[il existe un uniqueb∈Rtel queeb =a. On peut alors définition la fonction qui àaassocieb, c’est le logiciel népérien :ln(a) =b.
4. (*) Démontrer que pour toutx∈R+∗on aeln(x)=x.
5. (*) En déduire que pour toutx∈R+∗on aln(ex) =x.
Exercice 3 Retour aux équations
Résoudre les équations et inéquation suivantes 1. ex= 5
2. ex= 1 3. ex=−10
4. e2x= 3 5. e−3x= 10 6. e5x+1= 10
7. 2ex= 6 8. −3ex=−9 9. 4ex+ 1 = 6
10. −5e−x+ 1 =−1 11. 4ex2−3 = 6 12. −4ex+1−3 = 1
Exercice 1 Équations et exponentielle
Résoudre les équations et inéquation suivantes 1. e3x=e2x−1
2. ex2 =e4x+1
3. 1 =ex2+2x+4 4. e3x≥e−2x−4
5. ex2−2>1 6. ex2+2x+4<0
Exercice 2 Y a-t-il toujours des solutions ?
On souhaite résoudre les équations du type
ex=a
En vous aidant de la représentation graphique de la fonction exponentielle, conjecturer des réponses aux deux premières questions.
1. À quelles conditions sura, cette équation a-t-elle une solution ? 2. Est-il possible que cette équation ait 2 solutions ou plus ?
3. (*) Soita∈]0 ; +∞[ =R+∗démontrer que l’équation une unique solution surRque l’on nommerab.
La dernière question de l’exercice démontre pour touta∈]0 ; +∞[il existe un uniqueb∈Rtel queeb =a. On peut alors définition la fonction qui àaassocieb, c’est le logiciel népérien :ln(a) =b.
4. (*) Démontrer que pour toutx∈R+∗on aeln(x)=x.
5. (*) En déduire que pour toutx∈R+∗on aln(ex) =x.
Exercice 3 Retour aux équations
Résoudre les équations et inéquation suivantes 1. ex= 5
2. ex= 1 3. ex=−10
4. e2x= 3 5. e−3x= 10 6. e5x+1= 10
7. 2ex= 6 8. −3ex=−9 9. 4ex+ 1 = 6
10. −5e−x+ 1 =−1 11. 4ex2−3 = 6 12. −4ex+1−3 = 1
