Leçon 7 Résolution d'une équation du second degré (suite)

Leçon 7 Résolution d'une équation du second degré (suite)

Activités Activité I

Résolution de

l'équation 3x' -I2x

^{+ 8 = 0.}

L'idée

est d'écrire cette équation sous la

forme a(x - A)(*-

^B) =

0,

alors les solutions sont les nombres

A

et B.

On écrit donc

d'abord

3x'

-I2x ^+g _-3( *, -

^4x

+9). ,.rr,

on utilise le

fait

\ ³⁾

que

x' - ^4x

^est le début du développement du carré

(* _-2),

^.

a.

Compléter les écritures suivantes :

. x, -4x=x2 _4x+4_4=(x_...),

^_...

( o\

.

3l

*' _-

^4x

*:

I =

3k" - ^-..)' -...

⁺

^...]

\ 3)

^a\

( o\

.

31

*' _-

^4x

+:

_l =

3k"-...)' _-...1.

\ 3) L,

',

b.

En remarquant que, compléter convenablement

l'égalité

:

' 3k, -2)' -...J=rkr-...)(x+...)1.

c.

Déduire-en alors les solutions de

l'équation 3xt -I2x

^{+ 8 = 0.}

)

^{La méthode} suivie

ici

pour résoudre

l'équation 3x' -l2x*

^{8 =}

⁰

^est

^la

même que celle que nous suivons en cours pour résoi.rdre

l'équation générale ax'+bx+c=0où a,b,c sonttroisréels

donnés,

q#0.

Activité

2

Selon le modèle ci-dessus, résoudre les équations suivantes ^:

a) x' +6x-7 :0 _{c) x' +4x*4} -0

b) 5x'=2x-I d) 2x'-8x*3-0

2. Le

cours

1.

Forme

canonique

On considère un trinôme du second degré ax'

+bx+c, a+0.

Si on met

a

en facteur, on a ^:

ax'+bx+, -o( *'+!**91

\ a a)

7. Équation du second degré : résolution _| 39

on utilise

le

fait

que

x' *L"

est le début du développement _de

(**L\'

\ 2a)'

En erret,

(.. *) ^{=(*' .} *.). #, ^{d,où *, *} *"

⁼

^{(" .} *)' #

Ainsi ^qx'

+ bx + c _--

"l( ,* a)' _- !-* ^gl

L\ 2o) 4q' ^a)

'écrire sous

trinôme.

'g -l

- -.- T6J ^r

^I

' ^zs1

--l

r6_i

2. Résolution

de

l'équation ax'

+ bx + c --

0,

^{a + 0}

Écrivons le trinôm

e

^q)c' + bx

+c

sous forme canonique,

ax'

+ bx + c =

,l( ** a)' _-b' ^- lacl

L\

^2a

) ^4a'

_-j

4a'

forme

^:

onadonc

L'égallté:

qx'+bx+c=al( ,* 1)'-4.l L\ 2a) ^4o')

où le nombre L, =

b' - ^4ac

^{est appelé} discriminant du trinôme

ax' +bx+ c

ou de

l'équation ax' +bx*

c

=0.

Puisque a

* 0, résoudre ax'

+ bx

*

_{c =}

0

équivaut à résoudre:

( _b \'

^ ^{=o soit} (**L\' ₌

^Â

l.* *) ^- 4d \ 2o)

^4a,

.

si

^{A <}

0, alors +.0

^{et donc} l'équation

n'a

pas de solution réelle

4a'

puisqu'un

carré ne peut pas être strictement négatif.

.

Si

^

⁼

0, alors fr. +) -

^{Q et donc}

l'équation

a une solution et une

\ ^2a)

seule *--L.

2a

.siA>o,arors ( ô)' A--l'Gl'

l.*n) ^{= 4s} -l* ₎

/ t 12 t/ ;-12

D'où [.*!l -l + | ^=0,

^et

enutilisant A, - ^B, =(A- ^{B)(A+ B),}

\ 2a) \2")

( b JÀ)f b ff)

Nous obtenons _I

r* - -- ^ll "+-r-.r-- ^{l- 0,}

^et

l'équationapour

( 2o z")\ 2a ^2")

solutions t=--!* ^et *r=-#

Application

Exemples :

1.

Résolution de

l'équation

*2

-

^{* +2 = 0 .} Solution

Dans

l'équation

*2

-

^{* +2 = 0,}

Ona:a=lrb=-I et c=2

L,=b'-4ac-(-1)' -4xlx2=1-8= -7 <0

Donc

l'équation ,2 -

^{* +2} = 0 n?a pas de solution dans

E.

7. Équation du second degré : résolution _| 4l

2.

Résolution _de

l'équation

x2

+I4x+50

₌ 0

Solution

Dans

l'équation

x2

+l4x

+ 50 =

0

,

Ona: a=l,b=14 et c:50

L

₌

b' -

^4ac

^=14' -

^{4x1 x}

⁵⁰ _-196 -

²⁰⁰⁼

-4

^{< 0}

Donc

l'équation

x2

+!4x*

50 =

0 n'a

pas de solution dans

fr.

Exemples :

1.

Résolution de

l'équation x' _-8x+16

₌ 0 Solution:

Dans

l'équation x' _-8x

+ 16

- ^0,

^on

^a:

^a

^=1,

^b

- -g ^et

^c

^_16

D'ou A,=b, -4ac =(_g), _4xlx16 =64_64_0

Donc l'équation xt -8x+l6

⁼

0

^{aune seule} solution:

-b -(-8) 8

^,

-1--=-=-=.t

2a22

2.

Résolution de

l'équation 49x'

+

42x*

9 = ⁰ Dans

l'équation

49x2 +42x+9

=0,

Ona i d--49,b=42 et c--9

A^=b' -4ac ⁼⁴²² -4x49x9 -1764-1764 -0

Donc

l'équation

49x2 +42x+9 ₌

0

a une seule solution:

-b -42 -42

³

x-_=_=_

2a 2x49 98

7

Exemples :

1.

Résolution de

l'équation x' +3x-

¹⁰ = ⁰ Solution:

Dans

l'équatiorr x'

^{+ 3x}

- ^{l0 = 0,}

Ona: a=Lrb=3 et c:-L0

D'ou A,=b' -

^4ac

=3' -4xlx(-10) ⁼⁹⁺

^{40 = 49 > 0}

Donc l'équation x'

+

3x-

10

- 0

^a pour solutions:

-b-.,1L -3- ^J-qg -3-7

Jç,

=-=_= _=_)

' 2a 2xl

r+JL 4+Jag _-3+7

_^

-; ^'- * :

ztr = , -'

2.

Résolution de

l'équation x' +4x-5 -0

Solution:

Dans

l'équation

x2

+4x-5

₌ o ,

Ona: a--7,b=4 et

c

--5

A,

- ^{b' -}

^{4ac =}

^4' -4x ^lx(-5)

^{= 36 > 0}

Donc l'équation

x2

+4x-5:0

a pour solutions:

-ô-,6 -4-J16 -4-6

\=--r;=- 2tr = 2-=-t

af _-b+", _-4+Jle _-4*6_, '2a2xl2

---i

7. Équation du second degré:résolution | 43

Exercices

1.

Résoudre les équations suivantes.

. ^a. x'+6x-27-0 f. ^)cr-x-2=0

b. 2x2+x-3=0 g. 3xr+I4x_5_0

c. L}x' +l3x -3

⁼

0 h.

x2

+l2x+

35

_

₀

d. 3x'-23x+I4=0 i. 6x, +x-5=0

e. x'+2x-3=0 j. ^xr+x-56=0

2.

Résoudre les équations suivantes.

a. 4x+x-3 _=-3

x

b. 2l ₄₉ *4 *'=z!

2

c. _{Q, -8)' -} (+* -6)' ^{* (s"} - ^2tr*

^{+ 2) = s6}

 5x'-9 ^4x, -9

^.,

lJ.

65

3.

Résoudre les équations suivantes.

l^li _- s ^zJl -l ^r-

a' 23 ={x-l

,

h ¹⁷

4J; n-4J;

11 ^ls

c. 3J2x -5J8r ^+.Jt8x -32

4.

Trouver un nombre dont le cané est égal à son

triple

augmenté de 4.

5.

Trouver _{un nombre} qui,

multiplié

par 5, est

supérieur

à son cal:.é 6.

6.

Un rectangle de 9

cm

de longueur et de largeur égal au côté

d'un

carcé.

Calculer la longueur du côté

du canétel

que

I'aire

de ce cané est inferieure à

I'aire

du rectangle 8 cm' .