Les Équations du second degré
I PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE
1 – DÉMONSTRATION(VIDÉO1)
Une équation du second degré à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c=0 où a,b,c sont des réels et a6=0
.
L’équationax2+bx+c=0 aveca6=0 peut s’écrire sous la formea
"
x+ b
2a 2
−b2−4ac 4a2
#
=0
2 – PROPRIÉTÉ
SoitSl’ensemble des solutions dansRde l’équation du second degréax2+bx+c=0 oùa,betcsont des
3 – EXEMPLES
1. Résoudre dansR2x+3x−4=0( Vidéo 2 ) :
Il s’agit d’une équation du second degré sous la formeax2+bx+c=0 avec a=. . .,b=. . . etc=. . .
Le discriminant du trinôme est∆=. . . soit∆=. . . .. Comme∆>0, l’équation admet deux solutions :
x1=. . . .
x2=. . . .
L’ensemble des solutions de l’équation 2x+3x−4=0 estS={. . . .} 2. Résoudre dansRx2+x+1=0(Vidéo 3) :
Il s’agit d’une une équation du second degré sous la formeax2+bx+c=0 aveca=. . . .,b=. . . etc=. . . .
Le discriminant du trinôme est∆=. . . soit∆=. . . .. Comme∆. . . ., l’équation . . . .
L’ensemble des solutions de l’équationx2+x+1=0 estS=. . . . 3. Résoudre dansRl’équation6x2−3=7x(Vidéo 4) :
Il faut mettre cette équation sous la formeax2+bx+c=0 Pour tout réelx, 6x2−3=7x⇔. . . .···=0 Il s’agit de résoudre une équation du second degré de la formeax2+bx+c=0 avec a=. . . .,b=. . . etc=. . . .
Le discriminant du trinôme est∆=b2−4acsoit∆=. . . .. Comme∆>0, l’équation admet deux solutions :
x1=. . . .
x2=. . . . L’ensemble des solutions de l’équation 6x2−3=7xestS={. . . .;. . . .}
II INTERPRÉTATION GRAPHIQUE(VIDÉO5)
casa<0 casa>0
∆ < 0
O x
y
−b 2a
O x
y
−b 2a La parabole ne coupe pas l’axe des abscisses
∆ = 0
O x
y
−b 2a
O x
y
−b 2a La parabole est tangente à l’axe des abscisses
∆ > 0
O x
y
−b 2a
x1 x2 O x
y
−b 2a
x1 x2
III SOMME ETPRODUIT DE RACINES(VIDÉO6) : Rédaction :
SoitSetPla somme et produit de deux réelsx1etx2.
On veut résumer ces informations par ce système de deux équations à deux inconnues :
APPLICATION
Énoncé :
Existe-t-il deux nombres réels dont la somme vaut 4 et le produit 13 ? Rédaction :
Supposons que ces deux réels existent. On les appellex1etx2.
IV CHANGEMENT DE VARIABLE(VIDÉO7) Résoudre dansR, l’équation−2x2+9x−4=0.
En déduire, les solutions des équations suivantes : 1. −2x4+9x2−4=0
2. −2x+9√
x−4=0 3. −2
x2+9
x−4=0 Rédaction :
L’équation−2x2+9x−4=0 admet deux solutions dansR,S= 1
2;4
(non rédigé).
1.
Pour résoudre dansR,−2x4+9x2−4=0
2.
Pour résoudre dansR,−2x+9√
x−4=0
Pour résoudre dansR,−2 x2+9
x−4=0
V SIGNE DU TRINÔME
1 – FACTORISATION(VIDÉO6)
Factorisation du trinômeax2+bx+caveca6=0 :
— Si∆<0 alors le trinôme ne se factorise pas.
— Si∆=0 en notantx0l’unique racine : f(x) =a(x−x0)2.
— Si∆>0 en notantx1etx2les deux racines : f(x) =a(x−x1) (x−x2).
DÉMONSTRATION
Soit fune fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax2+bx+caveca6=0
2 – EXEMPLES
1.
Factoriser 4x−3x−1
2.
Factoriser 1
2x−4x+8
3 – PROPRIÉTÉ
Soit f un polynôme du second degré défini sur Rpar f(x) =ax2+bx+caveca6=0 et∆=b2−4acle discriminant du trinôme.
— Si∆<0 alors pour tout réelx, f(x)est du signe dea.
— Si∆=0 alors f(x)est du signe deapour tout réelx6=− b 2a.
— Si∆>0,x1etx2désignant les deux racines du trinôme avecx1<x2alors f(x)est du signe deapour tout réelx∈]−∞;x1[∪]x2;+∞[et f(x)est du signe contraire de celui deapour tout réelx∈]x1;x2[.
DÉMONSTRATION
Soit fune fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax2+bx+caveca6=0
x −∞ x1 x2 +∞
REMARQUE
On retiendra la règle « Un polynôme du second degré est du signe dea. . . . . . . ..
4 – EXEMPLES
1. Résoudre l’inéquation−x2
4 −x+360.
Étudions le signe du trinôme−x2
4 −x+3 avec
2. Étudier les positions relatives de la parabolePd’équationy=x2avec la droiteDd’équationy=2x−3 Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de
f (x) = ax
2+ bx + c avec a 6 = 0
Discriminant
∆=b2−4ac
∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0
Variations
x −∞ − b
2a +∞
f(x)
f −2ab
a > 0
Courbe0 x
y
− b 2a
0 x
y
− b 2a
0 x
y
− b 2a
x1 x2
Solutions de
ax2+bx+c=0 Pas de solution Une solution : x0=−b
2a
Deux solutions : x1=−b−√
∆ 2a x2=−b+√
∆ 2a Signe de
ax2+bx+c
Strictement positif sur
R Positif surR
Positif sur ]−∞;x1]∪[x2;+∞[
Négatif sur[x1;x2]
Variations
x −∞ − b
2a +∞
f(x)
f −2ab
a < 0
Courbe0 x
y − b 2a
0 x
y − b 2a
0 x
y
− b 2a
x1 x2
