Équations du second degré

Chapitre 2

Équations du second degré

I. Fonction polynôme du second degré

I.1 Définitions Définition 1

On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme) toute fonction définie sur ℝ par f (x)=ax²+bx+c où a, b et c sont des nombres réels et a ≠0 .

Cette expression est appelée forme développée de f . Exemples

• f (_x)_=x²_+2x−1 avec a=1 , b=2 et c=−1 .

• h(x)=(x+2)²−3 est un trinôme car, en développant, on obtient : h(x)=x²+4x+4−3=x²+4x+1 avec a=1 , b=4 et c=1 . Définition 2

Soit f la fonction polynôme du second degré définie par f (x)=ax²+bx+c avec a ≠0 . On dit que la courbe représentative de cette fonction est une parabole.

Une parabole a une forme de « U » (« tournée vers le haut ») lorsque a est positif.

A l'inverse, si a est négatif, la parabole a une forme de « pont » (« tournée vers le bas »).

Dans les deux cas, la parabole possède comme axe de symétrie la droite d'équation x=− b 2a . On appelle généralement S le sommet d'une parabole. S a pour coordonnées

(

(

))

Cas a>0 Cas a<0

I.2 Forme canonique Propriété 3

Pour toute fonction polynôme du second degré de la forme f (x)=ax²+bx+c, avec a ≠0 , on peut trouver deux nombres réel α et β tels que pour tout nombre x, on a :

f (x)=a(x−α)²+β avec α=− b

2a et β= f ⁽α⁾ Le sommet de la parabole est alors de coordonnées (α;β).

Cette expression est appelée forme canonique de f . Démonstration

Soit le polynôme f (x)=ax²+bx+c, où a est un réel non nul.

En mettant le coefficient a en facteur, on obtient : ax²+bx+c=... . On peut considérer x²+b

a x comme le début du développement du carré …... .

(

)

a x=... . On a alors f (x)=a

[ (

)

...

]

[ (

)

...

]

En notant Δ le réel b²−4ac, on obtient f (x)=a

[ (

)

]

(

)

On a bien f (x)=a(x−α)²+β avec α=... et β=... . On remarque que β=f(...). Exemple

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=2x²+8x−1 .

On a f (x)=2

(

)

(

)

(

)

Remarque

Lorsque l'on dispose de la forme canonique, il « suffit » de lire les coefficient α et β pour obtenir les coordonnées du sommet S d'une parabole.

Exemples

• Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=−2(x−5)²+3 .

Comme a=−2<0 , la fonction f admet un maximum. Ce maximum est 3 et il est atteint pour x=5 (a<0 ; α=5 ; β=3 ).

• Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x)=4(x+1)²−2 .

Comme a=4>0 , la fonction g admet un minimum. Ce minimum est −2 et il est atteint pour x=−1 (a>0 ; α=1 ; β=−2 ).

II. Équation du second degré

II.1 Approche graphique

Résoudre l’équation ax²+bx+c=0 , où a ≠0 , c’est trouver, s’il en existe, tous les nombres x qui vérifient cette égalité. De tels nombres sont appelés solutions de l’équation ou racines du trinôme.

Pour trouver le nombre de solutions de cette équation, on peut s’aider de la représentation graphique de la fonction f définie par f (x)=ax²+bx+c.

Dans les trois exemples ci-dessous, on peut conjecturer que l’équation admet respectivement deux solutions, une solution et aucune solution.

II.2 Vocabulaire Définition 4

Une équation du second degré, d’inconnue x , est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0 où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠0 .

Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme ax²+bx+c. Exemples

• L'équation du second degré x²−4=0 possède deux racines : 2 et −2 . En effet, on a : 2²−4=4−4=0 et (−2)²−4=4−4=0 .

• L'équation du second degré x²−4x+3=0 possède deux racines : 1 et 3. En effet, on a : 1²−4×1+3=0 et 3²−4×3+3=9−12+3=0 .

Définition 5

Le nombre réel b²−4ac est appelé discriminant du trinôme ax²+bx+c. Il est noté Δ (se lit

« delta »).

II.3 Résolution Théorème 6

Soit ax²+bx+c=0 avec a ≠0 une équation du second degré et Δ=b²−4ac son discriminant.

L'existence de racine pour l'équation ax²+bx+c dépend du signe de Δ.

• Si Δ>0, l'équation ax²+bx+c=0 a deux solutions réelles distinctes : x₁=−b−√Δ

2a et x₂=−b+√Δ 2a

• Si Δ=0, l'équation ax²+bx+c=0 a une unique solution réelle (appelée racine double) : x₀=− b

2a

• Si Δ<0, l'équation ax²+bx+c=0 n'admet pas de solution réelle.

Démonstration (exigible)

Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par f (_x)_=ax²_+bx+c (avec a ≠0 ).

On a vu précédemment (cf démonstration de la propriété 3) que, pour tout réel x, on a : f (x)=a

[ ⁽

⁾

]

• Si Δ>0, alors Δ

4a² est le carré de ...

... . On peut écrire f (x)=a

[ (

)

(

)

]

En factorisant, on obtient : f (x)=a

(

...

)(

...

)

Comme a ≠0 , l'équation f (x)=0 équivaut à ...+...

...+...

...=0 ou ...+...

...−...

...=0 . Ainsi, cette équation a deux solutions réelles distinctes : x₁=−b−√Δ

2a et x₂=−b+√Δ

2a .

• Si Δ=0, alors f (x)=a

(

)

...=0 .

Elle a donc comme unique solution réelle x₀=− b 2a .

• Si Δ<0, comme a ≠0 , l'équation f (x)=0 est équivalente à

(

)

Or ...

...<0 , et le carré

(

)

L'équation n'a donc pas de solution réelle.

Exemple

Résolvons l'équation du second degré x²−7x+10=0 . On a a=1 , b=−7 et c=−10 .

On peut alors calculer le discriminant : ∆=b²−4ac=(−7)²−4×1×(−10)=49−40=9 . On a Δ>0. Donc d'après le théorème 6, l'équation possède deux racines réelles distinctes :

x₁=−b−

√

2a =−(−7)−

√

2×1 =4

2=2 et x₂=−b+

√

2a =−(−7)+

√

2×1 =10

2 =5 . II.4 Propriétés des racines

Théorème 7

Soit ax²+bx+c un trinôme du second degré avec a≠0 . Si ce trinôme admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient les relations suivantes :

S=x₁+x₂=−b

a et P=x₁×x₂=c a

Démonstration

• Soit ax²+bx+c un trinôme du second degré avec a≠0 et Δ>0 . Il possède alors deux racines réelles distinctes et on a :

S=x₁+x₂=−b+√Δ

2a +−b−√Δ

2a =−2b 2a =−b

a P=x₁×x₂=−b+√Δ

2a ×−b−√Δ

2a =(−b)²−⁽√Δ⁾²

4a² =b²−Δ

4a² =b²−(b²−4ac)

4a² =4ac 4a²= c

a

• Soit ax²+bx+c un trinôme du second degré avec a≠0 et Δ=0 . Il possède alors une racine réelle double et on a :

S=x₀+x₀=2x₀=2×−b 2a =−b

a P=x₀×x₀=x₀²=

(

)

Or Δ=b²−4ac et Δ=0 d'où b²=4ac. On en déduit alors que P= 4ac 4a²=c

a . Propriété 8

Deux réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement s'ils sont solutions de l'équation x²−Sx+P=0 .

Démonstration

• Soit deux réels x₁ et x₂ qui vérifient x₁+x₂=S et x₁×x₂=P . Alors x =S−x et P=x (^S−x )^.

Exemple

L'équation 2x²−x−1=0 admet x₁=1 comme solution évidente.

L'autre solution x₂ vérifie donc 1×x₂=−1

2 , d'où x₂=−1 2 .

Méthode : Déterminer les racines d'un polynôme à l'aide de leur somme et de leur produit Trouvons, s'ils existent, deux nombres réels dont la somme est 4 et le produit 1.

S'ils existent, ces deux nombres vérifient S=4 et P=1 et sont solutions de l'équation x²−4x+1=0 .

On a Δ=(−4)²−4×1×1=16−4=12 .

Comme Δ>0 , l'équation possède deux racines réelles distinctes : x₁=−b−^√Δ

2a =−(−4)−

√

2×1 =4−

√

2 =4−2

√

2 =2−

√

2a =−(−4)+

√

2×1 =4+

√

2 =4+2

√

2 =2+

√

Les nombres recherchés sont 2−

√

√