Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a ¹ 0)

Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a ¹ 0)

1) Transformation d’écriture Exemples :

 x² - 2x + 1 = ( x – 1 )²

 x² - 4 = ( x-2) ( x+2)

 x² + 2x – 8 = ( x² + 2x + 1 ) – 1 – 8 = ( x+1)² - 9 = ( (x + 1 )-3) ( (x + 1) + 3 ) = ( x-2) ( x + 4 ) Cas général :

ax²+bx+c = a[ x² + x + ]= a [ ( x + )² - ^² +] =a[( x + )² - ] : forme canonique (factorisée)

= a( x + )² - : forme canonique 2) Discriminant

 = b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme a x² + b x + c

3) Résolution de l’équation ax²+bx+c = 0 Trois cas se présentent :

si  = 0 alors a x² + b x + c = 0 admet une seule solution (appelée racine) : -

si  > 0 alors a x² + b x + c = 0 admet deux racines réelles distinctes : x1 = et x2 =

si  < 0 alors a x² + b x + c = 0 n’admet aucune racine.

exemple : résoudre 2 x² - x + 1 =0 :  = (-1)² - 4 *2*1 = 1-8 = -7 <0 donc n’admet aucune racine.

-2x² + x + 6 = 0 :  = 49 ; x1 = = - et x2 = = 2 4) Factorisation :

si  = 0 alors a x² + b x + c = (x - )²

si  > 0 alors a x² + b x + c = a( x – x1 ) ( x – x2) :

si  < 0 alors a x² + b x + c ne peut pas se factoriser.

5) Signe d’un polynôme du second degré

Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 :  = (-2)² -4 x(-2)x12 = 10² > 0 - 2 x ² - 2 x + 12 = - 2 ( x + 3)( 4 – 2x )>0

x  

-2 - - -

x + 3 - 0 + +

4 – 2 x + + 0 –

– 0 + 0 –

Cas général : si  > 0, on suppose que x1 < x2

x  x1 x2 

a x² + b x + c signe de a 0 signe de (-a) 0 signe de a

Exemple 2 : P(x) = x² + 6 x + 9 :  = 6² - 4x1x9 = 36 – 36 = 0

Donc P(x) admet une racine : - = -3 donc P(x) = ( x – (-3) )² =( x + 3 )² . P(x) est donc toujours positif et s’annule en –3.

Cas général : si  = 0 alors a x² + b x + c est du signe de a et s’annule en – Exemple 3 : P(x) = x² + 2x + 3 :  = 2² - 4x3 = 4-12 = -8 < 0.

P(x) = ( x + 1 )² + 2 ³ 2 Donc P(x) > 0

Cas général : si  < 0 alors a x² + b x + c est du signe de a.

Application à la résolution d’inéquation : Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 < 0 S = ] –  ; - 3 [  ] 2 ; +  [ Exemple 2 : P(x) = x² + 6 x + 9 £ 0 S = { 3 }

Exemple 3 : P(x) = x² + 2x + 3 > 0 S =

Récapitulatif :

Signe de f ( x ) = a x² + b x + c ( a ¹ 0 )

 > 0  = 0  < 0

Racines de f x1 = et x2 = x0 = – Pas de racine

Factorisation f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) f ( x ) = a ( x - x0 ) ² = a ( x + ) ² Pas de factorisation

Signe de f ( x )

x - x1 x2 +

signe signe signe signe de

0

0

f (x) de a de (- a ) de a

x - x0 +signe signe signe

de

0

f (x) de a de a

x - +

signe

de signe de a f (x)

6) Courbe représentative de la fonction f(x) = ax²+bx+c

Allure de la courbe avec fiche récapitulative :

 > 0  = 0  < 0

Racines de f x1 = et x2 = x0 = – Pas de racine

Factorisation f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) f ( x ) = a ( x - x0 ) ² = a ( x + ) ² Pas de factorisation

a > 0

Signe de f ( x ) + 0 – 0 + + 0 + +

a < 0

Signe de f ( x ) – 0 + 0 – – 0 – –

Propriété : la courbe d’équation y = a x² + b x + c est une parabole, dont l’abscisse du sommet est – . Exemples : tracer les courbes représentatives des fonctions définies par :

f(x) = -2 x² - 2 x + 4 et g(x) = 0,5 x² - x –1,5

f = (-2)² - 4 x (-2) x 4 = 4 + 32 = 36 = 6² x1 = = = = 1

x2 = = = -2

- = - = -

x’ x

x’ x

x x’

x’

x’ x x

x’ x

x1 x2 x0

x1 x2 x0

g = (-1)² - 4 x 0,5 x (- 1,5) =1 + 3 = 4 = 2² x1 = = = -1

x2 = = 3 - = - = 1 7) Somme et produit des racines

Lorsque l’équation a x² + b x + c = 0 admet deux racines x1 et x2 , alors : x1 + x2 = – et x1 x2 = Application :

- Trouver une racine connaissant l’autre . ( ex : 1 est une solution évidente de 2 x² – 5 x + 3 = 0 , donc l’autre racine est = )

- Déterminer le signe des racines sans en connaître les valeurs

- Eviter quelques étapes lors de la résolution d’un système d’équation : x et y sont solution d’une éqaution du second degré a x² + bx + c,

en choisissant a = 1, on trouve b = -3 et c = - 4