Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a ≠ ≠ ≠ ≠ 0)
1) Transformation d’écriture Exemples :
• x² - 2x + 1 = ( x – 1 )²
• x² - 4 = ( x-2) ( x+2)
• x² + 2x – 8 = ( x² + 2x + 1 ) – 1 – 8 = ( x+1)² - 9 = ( (x + 1 )-3) ( (x + 1) + 3 ) = ( x-2) ( x + 4 ) Cas général :
ax²+bx+c = a[ x² + b a x + c
a ]= a [ ( x + b 2a )² -
b 2a
² +c
a] =a[( x + b
2a )² - b² -4ac
4a² ] : forme canonique (factorisée)
= a( x + b
2a )² - b² -4ac
4a : forme canonique 2) Discriminant
∆
∆
∆
∆ = b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme a x² + b x + c
3) Résolution de l’équation ax²+bx+c = 0 Trois cas se présentent :
• si ∆∆∆∆ = 0 alors a x² + b x + c = 0 admet une seule solution (appelée racine) : - b 2a
• si ∆∆∆∆ > 0 alors a x² + b x + c = 0 admet deux racines réelles distinctes : x1 = - b - ∆∆∆∆
2a et x2 = - b + ∆∆∆∆ 2a
• si ∆∆∆∆ < 0 alors a x² + b x + c = 0 n’admet aucune racine.
exemple : résoudre 2 x² - x + 1 =0 : ∆ = (-1)² - 4 *2*1 = 1-8 = -7 <0 donc n’admet aucune racine.
-2x² + x + 6 = 0 : ∆ = 49 ; x1 = -1+7 2*(-2) = -3
2 et x2 = -1-7 2*(-2) = 2 4) Factorisation :
• si ∆∆∆∆ = 0 alors a x² + b x + c = (x - b 2a)²
• si ∆∆∆∆ > 0 alors a x² + b x + c = a( x – x1 ) ( x – x2) :
• si ∆∆∆∆ < 0 alors a x² + b x + c ne peut pas se factoriser.
5) Résolution des inéquations du second degré
Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 > 0 : ∆ = (-2)² -4 x(-2)x12 = 10² > 0 - 2 x ² - 2 x + 12 = - 2 ( x + 3)( 4 – 2x )>0
x −∞ -3 2 +∞
-2 - - -
x + 3 - 0 + +
4 – 2 x + + 0 –
-2.x2
- 2.x + 12 – 0 + 0 –
S = ] – ∞ ; - 3 [ ∪ ] 2 ; + ∞ [
Cas général : si ∆∆∆∆ > 0, on suppose que x1 < x2
x −∞ x1 x2 +∞
a x2 + b x + c signe de (-a) 0 signe de a 0 signe de (-a)
• si ∆∆∆∆ = 0 alors a x² + b x + c et s’annule en –b a
• si ∆∆∆∆ < 0 alors a x² + b x + c est du signe de a.
6) Tableau de variation de la fonction f(x) = ax²+bx+c si a >0
si a <0
Propriété : la courbe d’équation y = a x² + b x + c est une parabole, dont l’abscisse du sommet est –b
2a et dont l’axe de symétrie a pour équation x = -b
2a
dem : a x² + b x + c = a( x + b
2a )² - b² -4ac 4a x
f(x)
−∞ −b/a +∞
x f(x)
−∞ - b/a +∞
x y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1 0 1 2 3 4
