Équations du second degré

(1)

Équations du second degré

(2)

Résolution de l’équationax²₊bx₊c₌0

Forme canonique

On a vu en Seconde que :

Équations du second degré

(3)

Forme canonique

On a vu en Seconde que : ax²₊bx₊c₌a(x₊_α)₊β avecα= −

b

2a etβ=f(α)en posantf(x)₌ax²₊bx₊c.

(4)

Forme canonique

On a vu en Seconde que : ax²₊bx₊c₌a(x₊_α)₊β avecα= −

b

2a etβ=f(α)en posantf(x)₌ax²₊bx₊c. On trouve :

f(α)₌f µ

− b 2a

¶

=a µ

− b 2a

¶2

+b_× µ

− b 2a

¶ +c

(5)

=a_× b² 4a²⁻

b² 2a⁺c

(6)

=a_× b² 4a²⁻

b² 2a⁺c

=−b²₊4ac 4a .

(7)

=a_× b² 4a²⁻

b² 2a⁺c

=−b²₊4ac 4a .

On pose_∆₌b²₋4ac. (qu’on apelle discriminant).

(8)

=a_× b² 4a²⁻

b² 2a⁺c

=−b²₊4ac 4a .

On en déduit :

(9)

=a_× b² 4a²⁻

b² 2a⁺c

=−b²₊4ac 4a .

On en déduit : ax²₊bx₊c₌a

µ x₊ b

2a

¶2

− ∆ 4a

(10)

=a_× b² 4a²⁻

b² 2a⁺c

=−b²₊4ac 4a .

On en déduit : ax²₊bx₊c₌a

µ x₊ b

2a

¶2

− ∆ 4a

a

"

µ x₊ b

2a

¶2

−

b²₋4ac 4a²

# .

(11)

En simplifiant paranon nul, L’équation s’écrit :

(12)

En simplifiant paranon nul, L’équation s’écrit : µ

x₊ b 2a

¶2

− ∆ 4a²⁼0.

(13)

En simplifiant paranon nul, L’équation s’écrit : µ

x₊ b 2a

¶2

− ∆ 4a²⁼0.

On voit que la résolution de l’équation dépend du signe de_∆:

(14)

Premier cas

(15)

Premier cas

∆<0:

(16)

Premier cas

∆<0: Alors : µ

x₊ b 2a

¶2

− ∆ 4a²⁼

µ x₊ b

2a

¶2

+ µ−∆

4a²

¶

>0 (car le premier terme étant le carré d’un nombre réel, il est positif ou nul et le second terme est strictement positif)

(17)

Premier cas

∆<0: Alors : µ

x₊ b 2a

¶2

− ∆ 4a²⁼

µ x₊ b

2a

¶2

+ µ−∆

4a²

¶

donc l’équation n’a pas de solution.

(18)

Premier cas

∆<0: Alors : µ

x₊ b 2a

¶2

− ∆ 4a²⁼

µ x₊ b

2a

¶2

+ µ−∆

4a²

¶

donc l’équation n’a pas de solution.

S _{= ;}

(19)

(20)

Second cas_∆₌0:

L’équation devient :^µx₊ b 2a

¶2

=0 qui a pour solution :x_{= −} b 2a.

(21)

Second cas_∆₌0:

¶2

S ₌

½

− b 2a

¾

(22)

Second cas_∆₌0:

¶2

S ₌

½

− b 2a

¾

Remarque: on a alorsax²₊bx₊c₌a µ

x₊ b 2a

¶2

(23)

Troisième cas :_∆_>0 :

(24)

Troisième cas :_∆_>0 :

∆ 4a²^>0 : µ

x₊ b 2a

¶2

− ∆

4a² est alors la différence de deux carrés donc on peut utiliser la troisième identité remarquable :

(25)

(26)

µ x₊ b

2a

¶2

− ∆ 4a²⁼0

⇔ µ

x₊ b 2a

¶2

− Ãp

∆ 2a

!2

=0

(27)

µ x₊ b

2a

¶2

− ∆ 4a²⁼0

⇔ µ

x₊ b 2a

¶2

− Ãp

∆ 2a

!2

=0

⇔

"

(x₊ b 2a⁺

p∆ 2a

# "

(x₊ b 2a⁻

p∆ 2a

#

=0

(28)

µ x₊ b

2a

¶2

− ∆ 4a²⁼0

⇔ µ

x₊ b 2a

¶2

− Ãp

∆ 2a

!2

=0

⇔

"

(x₊ b 2a⁺

p∆ 2a

# "

(x₊ b 2a⁻

p∆ 2a

#

=0

⇔

"

(x₋b₋^p_∆ 2a

# "

(x₋b₊^p_∆ 2a

#

=0.

(29)

µ x₊ b

2a

¶2

− ∆ 4a²⁼0

⇔ µ

x₊ b 2a

¶2

− Ãp

∆ 2a

!2

=0

⇔

"

(x₊ b 2a⁺

p∆ 2a

# "

(x₊ b 2a⁻

p∆ 2a

#

=0

⇔

"

(x₋b₋^p_∆^{# "}

(x₋b₊^p_∆^#

=0.

(30)

L’équation admet alors deux solutions :

x₁₌⁻b₋^p_∆

2a etx₂₌⁻b₊^p_∆ 2a

(31)

x₁₌⁻b₋^p_∆

2a etx₂₌⁻b₊^p_∆ 2a

S ₌

(−b₋^p_∆

2a ; ⁻b₊^p_∆ 2a

)

(32)

x₁₌⁻b₋^p_∆

2a etx₂₌⁻b₊^p_∆ 2a

S ₌

(−b₋^p_∆

2a ; ⁻b₊^p_∆ 2a

)

Remarque: on a alorsax²₊bx₊c₌a(x₋x₁)(x₋x₂), oùx₁et x₂sont les deux solutions.

(33)

Résumé :

(34)

Résumé :

Signe de_∆ Nombre de solutions Solutions

∆<0 pas de solution S _{= ;}

∆=0 une solution S ₌

½

− b 2a

¾

∆>0 deux solutions S ₌

(−b₋^p_∆

2a ; ⁻b₊^p_∆ 2a

)

(35)

Exemples d’application

(36)

Résoudre l’équation 3x²₊5x₋2₌0.

(37)

C’est une équation du typeax²₊bx₊c₌0 aveca₌3,b₌5 et c_{= −}2.

(38)

∆=b²₋4ac₌5²₋4_×3_×(₋2)₌25₊24₌49_>0.

(39)

∆=b²₋4ac₌5²₋4_×3_×(₋2)₌25₊24₌49_>0.

L’équation a donc deux solutions :x₁₌⁻b₋^p_∆ 2a ⁼

−5₋7 6 ^{= −}2 etx ₌⁻b₊^p_∆

=−5₊7

=1

(40)

∆=b²₋4ac₌5²₋4_×3_×(₋2)₌25₊24₌49_>0.

L’équation a donc deux solutions :x₁₌⁻b₋^p_∆ 2a ⁼

−5₋7 6 ^{= −}2 etx₂₌⁻b₊^p_∆

2a ⁼

−5₊7

6 ⁼

1 3

S ₌

½

−2; 1 3

¾

(41)

Résoudre l’équation : 3x²₊30x₊75₌0.

(42)

L’équation est de la forme ax²₊bx₊c₌0 aveca₌3,b₌30 et c₌75

∆=30²₋4_×3_×75₌0

(43)

∆=30²₋4_×3_×75₌0

L’équation a une solution :₋ b 2a^{= −}

30 6 ^{= −}5

(44)

∆=30²₋4_×3_×75₌0

30 6 ^{= −}5

S ₌_{₋5^}

(45)

∆=30²₋4_×3_×75₌0

30 6 ^{= −}5

S ₌_{₋5^}

On pouvait résoudre l’équation directement en factorisant par 3, puis en reconnaissant une identité remarquable.

(46)

∆=30²₋4_×3_×75₌0

30 6 ^{= −}5

S ₌_{₋5^}

On pouvait résoudre l’équation directement en factorisant par 3, puis en reconnaissant une identité remarquable.

L’équation s’écrit : 3(x₊5)²₌0 donc on retrouve S ₌{−5^}

(47)

Résoudre l’équation :x²₊x₊2.

(48)

∆=1²₋4_×1_×2_{= −}7_<0.

(49)

∆=1²₋4_×1_×2_{= −}7_<0.

Comme_∆_<0, l’équation n’a pas de solution : S _{= ;}

(50)

∆=1²₋4_×1_×2_{= −}7_<0.

Comme_∆_<0, l’équation n’a pas de solution : S _{= ;}

Remarque : l’expression n’est alors pas factorisable