Les Équations du second degré

Les Équations du second degré

I PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE

1 – DÉMONSTRATION(VIDÉO1)

Une équation du second degré à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0 où a,b,c sont des réels et a6=0

.

L’équationax²+bx+c=0 aveca6=0 peut s’écrire sous la formea

"

x+ b

2a 2

−b²−4ac 4a²

#

=0 On pose∆=b²−4ac, l’équationax²+bx+c=0 aveca6=0 équivaut à l’équation

a

"

x+ b

2a 2

− ∆ 4a²

#

=0, soit encore

x+ b 2a

2

− ∆ 4a² =0.

— Si∆<0 alors ∆

4a² <0 et

x+ b 2a

2

− ∆

4a² >0. Donc l’équation du second degré n’a pas de solution.

— Si ∆=0 alors l’équation ax²+bx+c=0 avec a6=0 équivaut à l’équation

x+ b 2a

2

=0. Donc l’équation du second degré a pour unique solutionx=−b

2a.

— Si∆>0 alors :

x+ b 2a

2

− ∆

4a² =0⇔

x+ b 2a

2

−

√∆ 2a

!2

=0

⇔ x+ b 2a+

√∆ 2a

! x+ b

2a−

√∆ 2a

!

=0

⇔ x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

=0

Donc l’équation du second degré a deux solutionsx1=−b−√

∆

2a etx2=−b+√

∆ 2a

2 – PROPRIÉTÉ

SoitSl’ensemble des solutions dansRde l’équation du second degréax²+bx+c=0 oùa,betcsont des réels fixés aveca6=0 et∆=b²−4acle discriminant du trinôme.

— Si∆<0 alors l’équation n’a pas de solution ;S=/0.

— Si∆=0 alors l’équation a une seule solution ;S=

− b 2a

.

— Si∆>0 alors l’équation a deux solutions ;S=

(−b−√

∆

2a ;−b+√

∆ 2a

)

3 – EXEMPLES

1. Résoudre dansR2x²+3x−4=0( Vidéo 2 ) :

Il s’agit d’une équation du second degré sous la formeax²+bx+c=0 aveca=2,b=3 et c=−4 Le discriminant du trinôme est

∆=b²−4ac soit

∆= (3)²−4×2×(−4) =9+32=41 . Comme∆>0, l’équation admet deux solutions :

x1=−b−√

∆

2a Soit x1=−3−√

41 4 x2=−b+√

∆

2a Soit x2=−3+√

41 4 L’ensemble des solutions de l’équation 2x²+3x−4=0 est

S=

(−3−√ 41

4 ;−3+√ 41 4

)

2. Résoudre dansRx²+x+1=0(Vidéo 3) :

Il s’agit d’une une équation du second degré sous la formeax²+bx+c=0 aveca=1,b=1 etc=1 Le discriminant du trinôme est∆=b²−4acsoit∆= (1)²−4×1×(1) =−3.

Comme∆<00, l’équation n’admet aucune solution dansR. L’ensemble des solutions de l’équationx²+x+1=0 est

S= /0 3. Résoudre dansRl’équation6x²−3=7x(Vidéo 4) :

Il faut mettre cette équation sous la forme

ax²+bx+c=0 Pour tout réelx,

6x²−3=7x⇔6x²−7x−3=0

Il s’agit de résoudre une équation du second degré de la forme ax²+bx+c=0 aveca=6, b=−7 et c=−3

Le discriminant du trinôme est∆=b²−4acsoit∆= (−7)²−4×6×(−3) =49+72=121.

Comme∆>0, l’équation admet deux solutions :

x1=−b−√

∆

2a Soit x1=7−11

12 =−1 3 x2=−b+√

∆

2a Soit x2=7+11

12 =3 2 L’ensemble des solutions de l’équation 6x²−3=7xestS=

−1 3;3

2

II INTERPRÉTATION GRAPHIQUE(VIDÉO5)

casa<0 casa>0

∆ < 0

O x

y

−b 2a

O x

y

−b 2a La parabole ne coupe pas l’axe des abscisses

∆ = 0

O x

y

−b 2a

O x

y

−b 2a La parabole est tangente à l’axe des abscisses

∆ > 0

O x

y

−b 2a

x₁ x₂ O x

y

−b 2a

x₁ x₂

La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points

REMARQUE

Les solutions éventuelles de l’équationax²+bx+c=0 sont aussi appelées les racines du trinôme ax²+bx+c

III SOMME ETPRODUIT DE RACINES(VIDÉO6) :Rédaction :

SoitSetPla somme et produit de deux réelsx1etx2.

On veut résuler ces informations par ce système de deux équations à deux inconnues : S = x1+x2

P = x1×x2

En résolvant par substitution, a un système équivalent : x1 = S−x2

P = (S−x₂)×x₂ ⇐⇒

x1 = S−x2

P = Sx₂−x²₂

⇐⇒

x1 = x2−S

0 = Sx2−x²₂−P ⇐⇒

x1 = x2−S x²₂ − Sx2+P=0 Le nombrex2est donc solution de l’équation

x²−Sx+P=0

On pourrait procéder de même avecx1et prouver que le nombrex1est aussi solution de cette équation.

On a donc prouvé que les solutions de l’équation :

x²−Sx+P=0 sont

S={x1;x2}

APPLICATION

Énoncé :

Existe-t-il deux nombres réels dont la somme vaut 4 et le produit 13 ?(Vidéo 7) Rédaction :

Supposons que ces deux réels existent. On les appellex1etx2. On appelleSleur somme etPleur produit.

On sait d’après le cours, queSetPvérifient l’équation : x²−Sx+P=0 donc

x²−4x+13=0

On calcule le discriminant∆=b²−4ac= (−4)²−4×1×13=−38<0 Cette équation n’admet donc pas de solutions réelles.

Il n’existe donc pas de nombres réels dont la somme vaut 4 et le produit 13.

IV CHANGEMENT DE VARIABLE

Résoudre dansR, l’équation−2x²+9x−4=0.

En déduire, les solutions des équations suivantes : 1. −2x⁴+9x²−4=0 2. −2x+9√

x−4=0 3. −2

x²+9

x−4=0 Rédaction :

L’équation−2x²+9x−4=0 admet deux solutions dansR,S= 1

2;4

(non rédigé).

1.

Pour résoudre dansR,−2x⁴+9x²−4=0 (Vidéo 8) On poseX=x²pour toutx∈R.

On a alors :−2x⁴+9x²−4=0 ⇐⇒ −2X²+9X−4=0 On sait que cette équation admet deux solutions :X1=1

2 etX2=4 Comme on a poséX=x², pour revenir aux solutions "enx", on résout : x²=1

2 qui est équivalent àS1= (

−

√2 2 ;

√2 2

)

etx²=4 qui est équivalent àS2={−2;2} d’oùS=S1∪S2, ce qui donne :S=

(

−2;−

√2 2 ;

√2 2 ;2

)

2.

−2x+9√

x−4=0 (Vidéo 9)

Cette équation est définie surD=R₊. On poseX=√

xpour toutx∈D.

On a alors :X²=xpour toutx∈D.

Il vient :−2x+9√

x−4=0 ⇐⇒ −2X²+9X−4=0 On sait que cette équation admet deux solutions :X1=1

2 etX2=4 Comme on a poséX=√x, pour revenir aux solutions "enx", on résout :

√x= 1

2 qui est équivalent àS1= 1

4

et√

x=4 qui est équivalent àS2={16} Les solutions appartiennent bien àD, doncS=S1∪S2, ce qui donne :S=

1 4;16

3.

−2 x²+9

x−4=0 (Vidéo 10) Cette équation est définie surD=R^∗. On poseX=1

x pour toutx∈D.

On a alors :X²= 1

x² pour toutx∈D.

Il vient :−2 x²+9

x−4=0 ⇐⇒ −2X²+9X−4=0 On sait que cette équation admet deux solutions :X1=1

2 etX2=4 Comme on a poséX=1

x , pour revenir aux solutions "enx", on résout : 1

x =1

2 qui est équivalent àS1={2}et 1

x =4 qui est équivalent àS2={1 4} Les solutions appartiennent bien àD, doncS=S1∪S2, ce qui donne :S=

1 4;2

V SIGNE DU TRINÔME

1 – FACTORISATION(VIDÉO11)

Factorisation du trinômeax²+bx+caveca6=0 :

— Si∆<0 alors le trinôme ne se factorise pas.

— Si∆=0 en notantx0l’unique racine : f(x) =a(x−x0)².

— Si∆>0 en notantx1etx2les deux racines : f(x) =a(x−x1) (x−x2).

❊ DÉMONSTRATION

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax²+bx+caveca6=0 et∆=b²−4acle discriminant du trinôme.

f(x) =a

"

x+ b

2a 2

− ∆ 4a²

# .

— Si∆<0 alors f(x) est le produit parad’une somme de deux nombres positifs ; le trinôme ne se factorise pas.

— Si∆=0 alors f(x) =a

x+ b 2a

2

. Soit en notantx₀=−b

2a l’unique racine on a : f(x) =a(x−x0)²

— Si∆>0 alors f(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

. Soit en notantx1= −b−√

∆

2a etx2=−b+√

∆ 2a les deux racines on a :

f(x) =a(x−x1) (x−x2)

2 – EXEMPLES

FACTORISER L’EXPRESSION4x²−3x−1(VIDÉO12)

Il faut trouver les racines du polynôme qui est de la formeax²+bx+caveca=4,b=−3 etc=−1.

Le discriminant du trinôme est∆=b²−4ac d’où∆= (−3)²−4×4×(−1) =9+16=25.

Comme∆>0, le polynôme admet deux racines :

x1=−b−√

∆

2a Soit x1=−(−3)−5 2×4 =−1

4 x2=−b+√

∆

2a Soit x2=−(−3) +5 2×4 =1 L’ensemble des racines du polynôme 4x²−3x−1 sontS=

−1 4;1

On sait alors, comme∆>0, que

ax²+bx+c=a(x−x₁) (x−x₂) . d’où

4x²−3x−1=4(x−1)(x+1 )

FACTORISER L’^EXPRESSION1

2x−4x+8(V^IDÉO13)

Il faut trouver les racines du polynôme qui est de la formeax²+bx+caveca=1

2,b=−4 etc=8.

Le discriminant du trinôme est∆=b²−4ac d’où∆= (−4)²−4×1

2×8=16−16=0.

Comme∆=0, le polynôme admet une unique racine : x0=−b

2a =− −4 2×1

2

=4

On sait alors, comme∆=0, que :

ax²+bx+c=a(x−x0)² . d’où

1

2x−4x+8=1

2(x−4)²

3 – PROPRIÉTÉ(VIDÉO14)

Soit f un polynôme du second degré défini sur Rpar f(x) =ax²+bx+caveca6=0 et∆=b²−4acle discriminant du trinôme.

— Si∆<0 alors pour tout réelx, f(x)est du signe dea.

— Si∆=0 alors f(x)est du signe deapour tout réelx6=− b 2a.

— Si∆>0,x1etx2désignant les deux racines du trinôme avecx1<x2alors f(x)est du signe deapour tout réelx∈]−∞;x1[∪]x2;+∞[et f(x)est du signe contraire de celui deapour tout réelx∈]x1;x₂[.

❊ DÉMONSTRATION

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie surRpar f(x) =ax²+bx+caveca6=0 et∆=b²−4acle discriminant du trinôme.

— Si∆<0 alors f(x)est le produit parad’une somme de deux nombres positifs donc le signe du trinôme est le signe deapour tout réelx.

— Si∆=0 alors f(x) =a

x+ b 2a

2

donc f(x)est nul pourx=−b

2a; pour les autres valeurs dexle signe du trinôme est le signe dea.

— Si∆>0,x1etx2désignant les deux racines du trinôme avecx1<x2alors f(x) =a(x−x1) (x−x2).

Étudions le signe du produita(x−x1) (x−x2)à l’aide d’un tableau de signe.

x −∞ x₁ x₂ +∞

x−x1 − 0 + +

x−x2 − − 0 +

a(x−x1) (x−x2) signe dea 0 signe de−a 0 signe dea

REMARQUE

On retiendra la règle « Un polynôme du second degré est du signe deaà l’extérieur des racines et du signe contraire deaentre les racines.

4 – EXEMPLES

1. Résoudre l’inéquation−x²

4 −x+360 (Vidéo 15).

Étudions le signe du trinôme−x²

4 −x+3 aveca=−1

4,b=−1 etc=3 Le discriminant du trinôme est∆=b²−4acsoit∆= (−1)²−4×

−1 4

×3=1+3=4.

Comme∆>0, le trinôme admet deux racines : x1=−b−√

∆

2a Soit x1=1−2

−1 2

=2

x₂=−b+√

∆

2a Soit x₂=1+2

−1 2

=−6

Un polynôme du second degré est du signe deaà l’extérieur des racines et du signe contraire deaentre les racines. Ainsi :

x −∞ −6 2 +∞

Signe du trinôme

−x²

4 −x+3 − 0 + 0 −

L’ensemble des solutions de l’inéquation−x²

4 −x+360 estS= ]−∞;−6]∪[2;+∞[.

2. Étudier les positions relatives de la paraboleP d’équation y=x² avec la droiteD d’équation y=2x−3 (Vidéo 16)

Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de x²−(2x−3) =x²−2x+3

Le discriminant du trinôme est∆=b²−4acsoit∆= (−2)²−4×1×3=4−12=−8.

Comme∆<0, le trinôme est du signe deadonc pour tout réelx,x²−2x+3>0.

La parabolePest au dessus de la droiteD.

f (x) = ax

+ bx + c avec a 6 = 0

Discriminant

∆=b²−4ac

∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0

Variations

x −∞ − b

2a +∞

f(x)

f −2a^b

a > 0

0 x

y

− b 2a

0 x

y

− b 2a

0 x

y

− b 2a

x₁ x₂

Solutions de

ax²+bx+c=0 Pas de solution Une solution : x0=−b

2a

Deux solutions : x1=−b−√

∆ 2a x2=−b+√

∆ 2a Signe de

ax²+bx+c

Strictement positif sur

R Positif surR

Positif sur ]−∞;x1]∪[x2;+∞[

Négatif sur[x1;x₂]

Variations

x −∞ − b

2a +∞

f(x)

f −2a^b

a < 0

0 x

y − b 2a

0 x

y − b 2a

0 x

y

− b 2a

x₁ x₂

Solutions de

ax²+bx+c=0 Pas de solution Une solution : x0=−b

2a

Deux solutions : x1=−b−√

∆ 2a x2=−b+√

∆ 2a Signe de

ax²+bx+c

Strictement négatif sur

R Négatif surR

Négatif sur ]−∞;x1]∪[x2;+∞[

Positif sur[x1;x₂]