Équations du second degré - Classe de 1ère
I - Équations du second degré
Définitions :
On appelle équation du second degrétoute équation de la forme : ax2+bx+c =0
où a, b etc sont des nombres réels avec a 6=0.
Les solutions de cette équation sont appelées racines du trinôme ax2+bx+c.
Exemple : L’équation 2x2−3x +1 = 0 est une équation du second degré et 1 est une racine du trinôme 2x2−3x+1.
Définition :
Le nombre∆=b2−4ac est appelé discriminant du trinôme 2x2−3x+1.
Propriété : Racines d’un trinôme du second degré
Considérons un trinômeax2+bx+c et son discriminant ∆.
• Si ∆<0, l’équationax2+bx+c =0 n’a pas de solution dans IR
• Si ∆=0, l’équationax2+bx+c =0 a une unique solution x0= −2ab
• Si ∆>0, l’équationax2+bx+c =0 a deux solutions distinctes : x1= −b−p
∆
2a et x2= −b+p
∆ 2a
Preuve : Soit f (x)=ax2+bx+c avec a 6=0.
Dans un chapitre précédent, nous avons vu que la forme canonique de ce trinôme était f (x)=a
µ
x+ b 2a
¶2
−b2−4ac 4a =a
µ
x+ b 2a
¶2
− ∆ 4a On a alors :
f (x)=0 ⇐⇒ a µ
x+ b 2a
¶2
− ∆ 4a =0
⇐⇒ a µ
x+ b 2a
¶2
= ∆ 4a
⇐⇒
µ
x+ b 2a
¶2
= ∆ 4a2
• Si∆<0alors ∆
4a2 <0et l’équation n’a pas de solution car le carré µ
x+ b 2a
¶2
ne peut pas être négatif.
• Si∆=0alors :
µ
x+ b 2a
¶2
=0 ⇐⇒ x+ b 2a =0
⇐⇒ x = − b 2a L’équation possède donc une unique solution :− b
2a
• Si∆>0alors µ
x + b 2a
¶2
= ∆
4a2 ⇐⇒ x+ b 2a =
s ∆
4a2 ou x+ b
2a = −
s ∆
4a2
⇐⇒ x+ b 2a =
p∆
2a ou x+ b
2a = − p∆
2a
⇐⇒ x = − b 2a +
p∆
2a ou x = − b
2a − p∆
2a L’équation possède donc deux solutions : x1= −b−p
∆
2a et x2= −b+p
∆ 2a
Exemple : Application
Déterminons les solutions de l’équation 2x2−3x+1=0.
Nous commençons par calculer le discriminant de ce trinôme :
∆=(−3)2−4×2×1 L’équation possède donc deux solutions distinctes qui sont :
x1= −(−3)−p 1
2×2 = 3−1 4 = 1
2 et x2= −(−3)+p 1 2×2 = 4
4 =1
Propriété : Factorisation d’un trinôme
Soit f une fonction définie par f (x)=ax2+bx+c sur IR :
• Si ∆>0 alors f (x)=a(x−x1)(x−x2) (x1 et x2sont les racines de f ).
• Si ∆=0 alors f (x)=a(x−x0)2 (x0 est l’unique racine de f ).
• Si ∆<0 alors f ne se factorise pas.
Preuve : admis
Exemple : Le trinôme de l’exemple précédent peut donc s’écrire sous la forme : 2x2−3x+1=2
µ
x−1 2
¶
(x−1)
II - Signe d’un trinôme
L’ensemble du travail effectué précédemment nous permet de déduire la propriété suivante : Propriété : Soit f une fonction polynôme du second degré f (x)=ax2+bx+c.
• Si ∆ > 0 alors l’équation f (x) = 0 a deux solutions donc la courbe de f traverse l’axe des abscisses en deux points :
x f (x)
−∞ x1 x2 +∞
Signe deSigne dea0 −0Signe dea a
• Si ∆ = 0 alors l’équation f (x) = 0 a une unique solution donc la courbe de f admet son extremum sur l’axe des abscisses
x f (x)
−∞ x0 +∞
Signe de a0Signe de a
• Si ∆<0 alors l’équation f (x)=0 n’a pas de solution donc la courbe de f ne traverse pas l’axe des abscisses :
x f (x)
−∞ +∞
Signe de a
Exemple : En reprenant l’exemple déjà traité ci-dessus, on obtient pour f (x)=2x2−3x+1 le tableau de signes suivant :
x f (x)
−∞ 12 1 +∞
+ 0 − 0 +
On en déduit alors que les solutions de l’inéquation f (x)>0 sont S =
¸
−∞;1 2
·
∪]1;+∞[
