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Fonction Polynôme du Second Degré

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fonction Polynôme du Second Degré

Rappel de Seconde : la foncton carré

La fonction carré est la fonction définie sur

par : f : x ⟼ x² Sa représentation graphique est une parabole

qui est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Forme développée d’une foncton polynôme du second degré

A partir de la fonction carré, on peut générer ( « fabriquer » ) d’autres fonctions :

j : x ⟼ 2 x² i : x ⟼ 0,5 x² h : x ⟼ – 0,8 x² g: x ⟼ – x² + 4 f : x ⟼ – x² – 4 x + 5

Les exemples et montrent que la valeur du coefficient devant x² a une influence sur la façon dont la parabole est « resserrée » ou « étalée » autour de l’axe des ordonnées.

L’exemple montre que si ce coefficient est négatif, alors la parabole est « inversée ».

Les exemples et montrent que l’on peut rajouter des termes à l’expression de départ, ce qui a un effet sur la position de la parabole dans le repère.

A RETENIR

Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous forme développée : f ( x ) = a x2+ b x +c

où a , b et c sont des nombres réels ( et a ≠ 0 ).

si a > 0 on dit que la parabole est tournée vers le haut

si a < 0 on dit que la parabole est tournée vers le bas Exemples

Pour chacune des fonctions polynômes du second degré suivantes, donner les valeurs de a, b et c puis indiquer si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas :

f ( x) = x2−3x−4 : a = 1 ( parabole tournée vers le haut ) b = – 3 c = – 4 g ( x ) = −0,5x2x + 7,5 : a = – 0,5 ( parabole tournée vers le bas ) b = – 1 c = 7,5 h (x ) = −3,2x +4,2+0,8x2 : a = 0,8 ( parabole tournée vers le haut ) b = – 3,2 c = 4,2 v (t) = −1,5t2−9t−13,5 : a = – 1,5 ( parabole tournée vers le bas ) b = – 9 c = – 13,5

(2)

Forme factorisée d’une foncton polynôme du second degré

Les fonctions u , v , h et k précédentes ont été représentées graphiquement ci-dessous :

On se rend compte que, parfois, la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses ( u et v ), parfois elle ne le coupe jamais ( h ), parfois elle le coupe une seule fois ( k ).

Lorsque la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses, alors la forme développée peut également s’écrire sous forme factorisée.

Par exemple

• La courbe de la fonction u coupe l’axe des abscisses pour x1 = – 1 et pour x2 = 4

alors la forme factorisée de u(x ) est : u (x ) = 1×(x− (−1))(x−4) = (x+1)(x−4)

• La forme factorisée de v( x) est donc : v( x ) = −0,5(x+5)(x−3) A RETENIR

Une fonction polynôme du second degré peut également s’écrire sous forme factorisée, mais uniquement lorsque la parabole coupe l’axe des abscisses deux fois : f ( x ) = a ( xx1)( xx2)

Les deux abscisses x1 et x2 sont appelées racines de la fonction f . Exemples

Déterminer, à l’aide des fonctionnalités de la calculatrice, la forme factorisée de la fonction :

• f : x → – x² + 4 x + 12

on trouve que les racines sont – 2 et 6 donc la forme factorisée est : f ( x) = −(x +2)(x −6).

• g : x → 2 x² + 5 x – 3

on trouve que les racines sont – 3 et 0,5 donc la forme factorisée est : g( x) = 2(x+ 3)(x−0,5). Tracer, à main levée, les paraboles représentant ces deux fonctions :

(3)

Remarque importante

Compte-tenu de la symétrie de la parabole, lorsque l’on connaît les deux racines x1 et x2 d’une fonction polynôme du second degré, il est alors possible de calculer l’abscisse du sommet de la parabole : x1+ x2

2 . Exemples :

• pour la fonction f , les racines sont – 2 et 6 donc le sommet de la parabole a pour abscisse −2+6

2 = 2

et pour ordonnée f ( 2 ) = – 2² + 4 × 2 + 12 = 16

• pour la fonction g , les racines sont – 3 et 0,5 donc le sommet de la parabole a pour abscisse −3+0,5

2 = −1,25 et pour ordonnée g ( – 1,25 ) = 2 × ( – 1,25 )² + 5 × ( – 1,25 ) – 3 = – 6,125

Intérêts de la forme factorisée

A RETENIR

La forme factorisée permet de :

• résoudre les équations du type a x ² + b x + c = 0 ( ou des équations qui se ramènent à ce type-là )

• de résoudre les inéquations du type a x ² + b x + c > 0 à l’aide d’un tableau de signe Exemples

• Résoudre l’équation : – x² + 4 x + 12 = 0 ← on ne sait pas résoudre On utilise la forme factorisée : – ( x + 2 ) ( x – 6 ) = 0 ← on sait résoudre

C’est une équation produit nul donc : x + 2 = 0 ou x – 6 = 0

x = – 2 ou x = 6

• Résoudre l’inéquation : 2 x² + 5 x – 3 ≤ 0

On utilise la forme factorisée : 2 ( x + 3 ) ( x – 0,5 ) ≤ 0 On utilise un tableau de signe pour résoudre l’inéquation :

x – ∞ – 3 0,5 + ∞

2 + + +

x + 3 – 0 + +

x – 0,5 – – 0 +

2 ( x + 3 ) ( x – 0,5 ) + 0 – 0 +

L’ensemble de solutions de l’inéquation est [ – 3 ; 0,5 ]

(4)

Exemples de type E3C

En automatisme

1) Donner la forme factorisée du polynôme 3 x ² – 6 x – 24 sachant que ses racines sont – 2 et 4 . 3 ( x + 2 ) ( x – 4 ) on utilise a ( x – x1 ) ( x – x2 )

2) Quel est le signe de – 2 ( x – 6 ) ( x – 7 ) pour x appartenant à l’intervalle [ 6 ; 7 ] ? – 2 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas et les racines sont 6 et 7 donc, sur [ 6 ; 7 ], – 2 ( x – 6 ) ( x – 7 ) est de signe positif

3) Résoudre l’équation : 6 ² = 54� → x ² = 54 / 6 = 9 ( puisque 9 × 6 = 54 )

donc x = 3 et x = – 3 ( ne pas oublier la solution négative ! ) En exercice

(5)

bien lire l’énoncé : * le résultat ( = le bénéfice de l’entreprise ) est exprimée en centaines d’euros donc si on lit 200, cela signifie 200 centaines d’euros c’est-à-dire 20000 €

* idem pour l’axe des abscisses, qui représente le nombre de lampes en centaines donc si on lit 35, cela signifie 35 centaines de lampes, c’est-à-dire 3500 lampes 1) b (10 ) = – 300

pour la production et la vente de 1000 lampes, le résultat sera de – 30000 € euros

2) le bénéfice maximal semble être d’environ 54000 € pour la vente d’environ 2700 lampes

3) a) pour montrer que la forme développée de l’énoncé de la question 3) est la même que la forme factorisée de la question 3.a), il faut développer la formule de la question 3.a) :

( x – 40 ) ( – 3 x + 40 ) = x × ( – 3 x ) + x × 40 – 40 × ( – 3 x ) – 40 × 40

= – 3 x ² + 40 x + 120 x – 1600

= – 3 x ² + 160 x – 1600

= b ( x )

b) pour résoudre l’équation b ( x ) = 0 , il FAUT utiliser la forme factorisée : b ( x ) = 0

( x – 40 ) ( – 3 x + 40 ) = 0 on reconnaît alors une équation produit nul donc :

x – 40 = 0 ou – 3 x + 40 = 0

x = 40 x = 40 / 3

c) pour trouver la valeur exacte du maximum de la fonction b ( le 540 trouvé au b) est une valeur approchée), il faut d’abord trouver la valeur exacte l’abscisse de ce maximum.

À l’aide de la symétrie de la parabole, on sait que cette abscisse vaut 40+40/3

2 = 80

3 ( ≈ 26,67). Le maximum vaut donc : b

(

803

)

=

(

803 40

)(

803 + 40

)

b

(

803

)

= 16003 ( ≈ 533,33)

remarque : le bénéfice est maximal pour la production et la vente d’environ 2 667 lampes et il sera alors d’environ 53 333 € (mais ça ne répond pas à la question posée, la question posée portant sur des valeurs exactes)

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