UNS Compléments d'algèbre et d'analyse L2 2016-2017
10. Séries entières et équations diérentielles
Exercice 10.1 Application des séries entières à la recherche de solutions d'équa- tions diérentielles
Rechercher des solutions de l'équation diérentielley00(t) + 2ty0(t) + 2y(t) = 0qui sont déve- loppables en série entière. En déduire l'ensemble des solutions de cette équation.
Exercice 10.2 Application des équations diérentielles au développement en série entière des fonctions 1
Dans cet exercice, on dénit la fonction exponentielle comme comme l'unique solution surR de l'équation diérentielle y0 =y qui vérie y(0) = 1. À l'aide de la méthode de l'équation diérentielle, démontrer que la fonction exponentielle est développable en série entière et déterminer son développement en série entière.
Exercice 10.3 Application des équations diérentielles au développement en série entière des fonctions 2
Soitα∈R−N. Montrer que la fonctionf :t7→(1 +t)αest solution sur]−1,1[de l'équation diérentielle (E) y0(t) = 1+tα y(t). En déduire que f est développable en série entière au voisinage de0.
Exercice 10.4 Application des équations diérentielles au développement en série entière des fonctions 3
En utilisant la même méthode que dans les deux exercices précédents, montrer que a fonction f :x7→p
x+√
1 +x2 est développable en série entière au voisinage de0. On commencera par déterminer une équation diérentielle d'ordre2dontf est solution et dont les coecients sont des fonctions rationnelles.
Pour aller plus loin
Exercice 10.5 Un autre exemple de résolution d'équation diérentielle Déterminer les solutions de l'équation diérentiellet(1−t)y00+ (1−3t)y0−y = 0. En particulier, cette équation admet-elle des solutions sur R?
