Équations diérentielles linéaires

Stanislas

Exercices

Équations diérentielles linéaires

Chapitre XV

2020-2021PSI

I. Résolutions d'équations

Exercice 1.Résoudre les équations diérentielles suivantes : 1.x²y⁰⁰+xy⁰−y=x² surR^∗+.

2. 4xy⁰⁰ −2y⁰ + 9x²y = 0 sur R^∗+.

3.y⁰⁰+y=

+∞

P

n=0

a_ncos(nx), où P|a_n|converge.

Exercice 2. [ENSAM]Résoudre l'équation diérentielle z⁰⁰+z= cos.

Exercice 3. (Équation de TCHEBYCHEV) [Mines] Résoudre sur ]−1,1[

l'équation :

4(1−t²)y⁰⁰(t)−4ty⁰(t) +y(t) = 0.

Exercice 4. (Équation d’AIRY) Montrer, en gardant une écriture sous forme de série, que les solutions de l'équation diérentielle :

y⁰⁰−xy = 0

sont développables en série entière surR.

Exercice 5. (Équation d’EULER, Changement de variable)Soit (a, b, c) ∈ R³ tel quea6= 0. On considère, sur R^∗₊ l'équation diérentielle at²x⁰⁰+ btx⁰+cx= 0.

1.Déterminer la dimension de l'espace vectoriel des solutions.

2.Eectuer le changement de variable t=e^u. 3.En déduire les solutions de l'équation.

4.Résoudre t²x⁰⁰−4tx⁰+ 6x= 0.

Exercice 6. (Équations non résolues)Déterminer surR^∗₊surR^∗−les équa- tions diérentielles suivantes. En déduire les fonctions solutions surRde ces équations.

1.t²x⁰−x= 0. 2.4tx⁰⁰+ 2x⁰−x= 0.

Exercice 7. [ENSAM]Soita∈R. Résoudre l'équation diérentiellex(1− x²)y⁰+ (2x²−1)y=ax.

II. Systèmes d'équations & Coecients constants Exercice 8. [TPE]Résoudre le système

(2x⁰(t) +y⁰(t)−3x(t)−y(t) =t x⁰(t) +y⁰(t)−4x(t)−y(t) = e^t

Exercice 9.Soientaetb deux fonctions continues sur R. En posant z= x+iy, résoudre les systèmes :

1.

((t²+ 1)x⁰ =tx+y+ 2t²−1

(t²+ 1)y⁰ =−x+ty+ 3t . 2.

(x⁰+y =a y⁰−x =b .

Exercice 10.Déterminer le comportement asymptotique des solutions des équations diérentielles suivantes :

1.

(x⁰ = 2x+ 3y

y⁰ =−x−2y. 2.

(x⁰ = 2x+ 3y y⁰ =−x−y . Exercice 11. [ÉNS]SoientE =

f ∈C²([0,1],R) ; f(0) =f⁰(0) = 0 et k·k dénie pour toutf ∈E parkfk =kf+ 2f⁰+f⁰⁰k_∞.

1.Montrer que k·k est une norme surE.

2.Soit f ∈E. On poseg=f+ 2f⁰+f⁰⁰. Montrer que f :t7→e^−t

Z _t

0

(t−x) e^xg(x)dx.

3. Montrer qu'il existe a > 0 tel que pour tout f ∈ E, kfk_∞ 6 akfk. Déterminer le plus petitapossible.

4.Existe-t-il un réelb tel que pour toutf ∈E,kfk 6bkfk_∞.

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Exercices XV PSI

Exercice 12. [X-ENS]SoientA=





1 1 1 1 j j 1 j j



 etf(x) =

+∞

P

n=0 x³ⁿ (3n)!. 1.Montrer que Aest inversible et déterminer A⁻¹.

On pourra calculer^tAA.

2.Montrer que f est de classeC^∞ surR.

3.Montrer que f est solution d'une équation diérentielle d'ordre3. 4. En déduire une expression def comme combinaison linéaire d'expo- nentielles.

5.Calculer a)

+∞

P

n=0 1

(3n)!. b)

+∞

P

n=0 1

(3n+1)!. c)

+∞

P

n=0 1 (3n+2)!.

Exercice 13.Déterminer les fonctionsysolutions dey⁰⁰⁰ = 6y⁰⁰−11y⁰+6y.

III. Comportement des solutions

Exercice 14. (Wronskien) On considère l'équation diérentielle x⁰⁰ = a(t)x⁰ +b(t)x. Si x₁ et x₂ sont deux solutions de cette équation, leur wronskien est la fonctionW :t7→x1(t)x⁰₂(t)−x⁰₁(t)x2(t).

1. Montrer que W est solution d'une équation diérentielle du premier ordre.

2.Montrer que s'il existet0 ∈I tel queW(t0)6= 0, alors pour toutt∈I, W(t)6= 0.

3.Soitx1 une solution non nulle de l'équation diérentielle. Déterminer (en fonction de W et de x₁) une fonction λ dérivable telle que t 7→

λ(t)x₁(t) soit encore solution de l'équation diérentielle.

4.Résoudre l'équationty⁰⁰+(1−2t)y⁰+(t−1)y = 0surR^∗+en remarquant que la fonction exponentielle est solution.

Exercice 15.Soit f : R+ → R+ une fonction de classe C² et α un réel strictement positif. On suppose quef est majorée et que pour tout t∈R+,f⁰⁰(t)>α²f(t).

1.Montrer, en raisonnant par l'absurde, quef⁰ est à valeurs négatives.

2.Montrer que f admet une limite réelle en +∞.

3.En appliquant le théorème des accroissements nis à f⁰, montrer que f tend vers0 en +∞.

4.Montrer que f⁰ converge vers0 en+∞.

5.Montrer que la fonction α²f²−f⁰² est croissante.

6.En déduire le signe deαf+f⁰.

7.Montrer que pour tout réel positif t,f(t)6f(0)e^−αt.

IV. Avec Python

Exercice 16. [Centrale]On dénit la suite (an)par a0 =a1= 1,∀n∈N, an+2 =an+1+ 2

n+ 2an.

1. Écrire une fonction a(n) qui prend en entrée un entier et renvoie la liste des termes(a0, . . . , an).

2.Montrer que, pour tout entier naturel nnon nul, 16an6n². 3.Déterminer le rayon de convergence de f(x) =P

a_nxⁿ.

4. Résoudre, à l'aide de Python, sur l'intervalle [−0.7,0.7], l'équation diérentielle

(1−x)y⁰ = (2x+ 1)y

avec la condition initialey(0) = 1. Représenter graphiquement le résultat obtenu.

5.Montrer quefest solution de l'équation diérentielle sur son intervalle de convergence.

6.Résoudre l'équation diérentielle et déterminer f.

Mathématiciens

Euler Leonhard (15 avr. 1707 à Basel-18 sept. 1783 à St Pétersbourg).

Airy George Biddell (27 juil. 1801 à Alnwick-2 jan. 1892 à Greenwich).

Tchebychev Pafnouti Lvovitch (16 mai 1821 à Borovsk-8 déc. 1894 à St Pétersbourg).

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