Soit a un réel. Résoudre :

(1)

PanaMaths Septembre 2011

Soit a un réel.

Résoudre :

( ) ( ) ( )

sinh a + sinh a x + + sinh a + 2 x + sinh a + 3 x = 0

Analyse

Dans cet exercice, il convient de regrouper les termes et d’utiliser la formule permettant de factoriser la somme de deux sinus hyperboliques.

Résolution

Rappelons que l’on a, pour tous x et y réels :

sinh sinh 2 cosh sinh

2 2

x y x y

x+ y= ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠

Il vient alors :

( ) ( ) ( )

( )

sinh sinh sinh 2 sinh 3 0

sinh sinh 3 sinh sinh 2 0

3 3 2 2

2 cosh sinh 2 cosh sinh 0

2 2 2 2

3 2 3

2 cosh sinh 2 cosh si

2 2 2

a a x a x a x

a x a x

a x a a x a a x a x

x a x x

+ + + + + + =

⇔⎡⎣ + + ⎤ ⎡⎦ ⎣+ + + + ⎤⎦=

+ − +

⎛ ⎞

+ − + + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠=

⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3

nh 0

2

2 3 3

2 sinh cosh cosh 0

2 2 2

a x

a x x x

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠×⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎥⎦=

Pour tout x réel, on a : 3

cosh 1

2

⎛ x⎞ ≥

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et cosh 1

2

⎛ ⎞ ≥x

⎜ ⎟⎝ ⎠ .

(2)

PanaMaths Septembre 2011

On en déduit : 3

cosh cosh 2

2 2

x x

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞≥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et, enfin, en tenant compte de sinhx= ⇔ =0 x 0 :

( ) ( ) ( )

sinh sinh sinh 2 sinh 3 0

2 3 3

2 sinh cosh cosh 0

2 2 2

2 3

sinh 0

2

2 3

2 0

2 3 0

2 3

a a x a x a x

a x x x

a x

x a

+ + + + + + =

+ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠×⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎥⎦=

⎛ + ⎞

⇔ ⎜⎝ ⎟⎠=

⇔ + =

⇔ = −

Résultat final

L’équation ^sinh^a⁺^sinh

(

^a⁺^x

)

⁺^sinh

(

^a⁺²^x

)

⁺^sinh

(

^a⁺³^x

)

⁼⁰

admet pour unique solution : 2 x= −3a.