Chapitre 8 : Limites de fonctions et continuité en un point.

Chapitre 8 : Limites de fonctions et continuité en un point.

15 juillet 2021

1 Exemple introductif.

On considère la fonction f définie sur R par f(x) =

(x−1)²+ 1 si x>1

−(x−1)² si x <1 et la fonction g définie surR par g(x) =x². Les courbes représentatives de ces deux fonctions sont les suivantes :

0 1 2 3

−1 0

−1

−2

−3 1 2 3

b

y=f(x)

x

0 5

−5

−10

20 40 60 80 100 120

y=x²

x

On s’intéresse dans un premier temps au comportement local des fonctions pourx dans un voisi- nage de1.

• g(x) peut être choisi aussi proche que l’on veut de 1 quitte à prendre x assez proche de 1.

On dit que la limite de g en en 1 est 1 et on note

xlim→1g(x) = 1.

• Pour la fonctionf,

• On remarque qu’on ne peut pas parler de limite en1. Il faut distinguer deux cas : lorsque x s’approche par la gauche ou par la droite de1.

• Lorsque x se rapproche de 1 en étant plus grand que 1, f(x) peut être choisi aussi proche de1 que l’on veut en prenant x assez proche de1. On dit que la limite à droite def en 1 est 1 et on note

xlim→1⁺f(x) = 1.

• Lorsquexse rapproche de1en étant plus petit que 1,f(x)peut être choisi aussi proche de0 que l’on veut en prenant x assez proche de 1. On dit que la limite à gauche de f en 1 est 0 et on note

xlim→1⁻f(x) = 0.

• Les deux limites ne coïncident pas. f n’est pas continue en ce point.

On s’intéresse maintenant au comportement des fonctions f et g "à l’infinie".

• f(x) peut être choisi aussi grand que l’on veut en prenant x assez grand. On considère A un réel alors il existe µ un réel tel que si x vérifie x > µ alors f(x) > A. On dit que la fonction f diverge vers +∞ en +∞. On note

x→lim+∞f(x) = +∞.

• f(x)peut être choisi aussi petit que l’on veut quitte à prendrexassez petit. Soit B un réel alors il existe µun réel tel que si x vérifie x6µ alors f(x)6B. On dit que la fonction f diverge vers −∞ en −∞. On note

x→−∞lim f(x) = −∞.

• g diverge vers +∞en +∞.

• g(x) peut être choisi aussi grand que l’on veut quitte à prendre x assez petit. Soit A un réel alors il existe µun réel tel que si xvérifie x6µalors f(x)A. On dit que la fonction f diverge vers +∞ en −∞. On note

x→−∞lim g(x) = +∞. Dans toute la suite,

• I désignera un intervalle non vide et non réduit à un point de R.

• L’ensemble R∪ {−∞,+∞} sera noté R.

• f est une fonction à valeurs réelles.

2 Limite en un point a et continuité en un point.

2.1 Limite finie ou infinie en un réel a .

Définition 1

Soit f une fonction définie surI et a un point ou une borne deI.

• Soit l un réel. On dit que f(x) tend vers l en a si

∀ε >0,∃η >0,∀x∈I∩[a−η, a+η],|f(x)−l|6ε.

Autrement dit, f(x) est aussi proche que l’on veut du réel l quitte à prendre x assez proche de a.

• On dit que f(x) tend vers +∞ en a si

∀A∈R,∃η >0,∀x∈I∩[a−η, a+η], f(x)> A.

Autrement dit,f(x)est aussi grand que l’on veut quitte à prendre xassez proche de a.

• On dit que f(x) tend vers −∞ en a si

∀B ∈R,∃η >0,∀x∈I∩[a−η, a+η], f(x)< B.

Autrement dit, f(x) est aussi petit que l’on veut quitte à prendre xassez proche de a.

On peut illustrer graphiquement la première partie de la définition.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5

b b b

1.5 2.5

y =l+ε y =l−ε y =l 3.5

4.5

Icia = 2,l = 4,ε=0.5 et η=0.5.

Pour la deuxième partie de la définition :

0 1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−¹3 1 3

y=A

Ici a= 0, A= 3 et η= ¹₃.

Propriété 1

Si il existe l∈R tel quef(x)tend vers l lorsque x tend versa alors l est unique. On dit que l est la limite (finie ou infinie)de f.

Remarque 1

Lorsque la limite existe, on note selon les cas

xlim→af(x) =l,lim

x→af(x) = +∞ ou lim

x→af(x) =−∞.

Remarque 2

Lorsque f tend vers ±∞en a alors on dit que la droite d’équation x=a est une asymptote verticaleà la courbe représentative C^f.

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3x+ 2. Montrer que lim

x→2f(x) = 8.

Exemple type : Démontrer une limite.

Soit ε un réel strictement positif. On cherche η un réel strictement positif tel que

∀x∈[2−η,2 +η],|f(x)−8|6ε.

On a

|f(x)−8|=|3x+ 2−8|=|3x−6|= 3|x−2|. Donc

|f(x)−8|63η.

Prenonsη = ^ε₃, on a donc

∀x∈[2−ε

3,2 + ε

3],|f(x)−8|6ε.

Toutes les définitions précédentes sont valables pourf définie sur I\ {a}. Dans ce cas, on prendre

2.2 Continuité en un point.

Dans l’exemple introductif, on a remarqué que la limite de f en 1 n’existait pas. La courbe représentative de la fonction "sautait " en ce point.f n’était pas continue en ce point. Nous allons préciser de manière rigoureuse la notion de continuité.

• Cas où a∈I : Définition 2

Soit f une fonction définie sur I et a un point de I. On dit que f est continue en a si la limite de f en a existe et coïncide avecf(a).

• Cas où a /∈I. Par exemple, I =]a, b[ ouI =]b, a[∪]a, c[.

Définition 3

Soit f une fonction définie sur I \ {a}. Si la limite de f en a existe et est finie alors on peut construire une nouvelle fonction f˜définie sur I :

f˜:







I → R

x 7→

( f(x) si x6=a

xlim→af(x)si x=a

Par construction f˜est continue ena. On dit quef˜est le prolongement par continuité de f.

Exemple 1

On considère la fonction f définie sur R^∗ par f(x) = ^ex_x⁻¹. Soit x un réel non nul on a e^x−1

x = e^x−e⁰ x−0 . En passant à la limite on a donc

xlim→0

e^x−e⁰

x−0 = (e^x)^′_|x=0 =e⁰ = 1.

On peut donc prolongerf en une fonction continue sur R en posant

f˜:







R → R

x 7→

_e^x₋₁

x six6= 0 1 six= 0

On doit montrer que lim

x→af(x) = f(a).

Méthode :Montrer qu’une fonction est continue en un point a.

2.3 Limite à gauche et limite à droite.

On a vu dans l’exemple introductif que la fonction f n’admettait pas de limite en 1. Cependant on pouvait obtenir deux limites en distinguant deux cas :

• Lorsque xtendait vers 1 à gauche donc avec x <1.

• Lorsquex tendait vers 1 à droite donc avec x >1.

Nous allons donc introduire les notions de limite à gauche et de limite à droite.

Définition 4

On considère a ∈R etf une fonction définie sur I.

• La limite à gauche de f en aest la limite en a de la restriction def à I∩]− ∞, a[.

Autrement dit on ne considère des valeurs de f(x) que pour x < a. Cette limite est donc unique et on note

xlim→a⁻f(x) =l ou lim

x→a

x<a

f(x) =l.

• La limite à droite de f en a est la limite en a de la restriction de f à I∩]a,+∞[.

Autrement dit on ne considère des valeurs de f(x) que pour x > a. Cette limite est donc unique et on note

xlim→a⁺f(x) =l ou lim

x→a

x>a

f(x) =l.

Exemple 2

• Dans l’exemple introductif, on avait vu que la limite à gauche de f en 1 était 0 et la limite à droite était 1.

• On considère la fonction f définie sur R^∗ par f(x) = _x¹. Alors on a

xlim→0⁺f(x) =+∞ et lim

x→0⁻f(x) = −∞.

Pour chaque fonction déterminer la limite à gauche et et la limite à droite au point a.

1)f(x) = ^|_x^x|, a= 0 2)f(x) =

2x+ 1si x>0

x+ 1 six <0 , a= 0 3)f(x) =

x+ 1six>1

x−1 si x <1 , a= 1

Exemple type : Déterminer la limite à gauche et à droite d’une fonction.

1. Pour la limite à droite, on considèrex>0on a donc f(x) = ^x_x = 1 d’où lim

x→0⁺f(x) = 1. Pour la limite à gauche, on considère x <0on a donc f(x) = ⁻_x^x =−1 d’où lim

x→0⁻f(x) =−1.

2. Pour la limite à droite, on considèrex>0on a doncf(x) = 2x+ 1d’où lim

x→0⁺f(x) = 1. Pour la limite à gauche, on considère x <0on a doncf(x) =x+ 1 d’où lim

x→0⁻f(x) = 1.

3. Pour la limite à droite, on considèrex>1on a donc f(x) =x+ 1d’où lim

x→1⁺f(x) = 2. Pour la limite à gauche, on considère x <1on a donc f(x) =x−1d’où lim

x→1⁻f(x) = 0.

Pour considérer la limite à gauche de f en a il faut pouvoir approchera en étant plus petit.

Par exemple, parler de la limite à gauche en 0 de la fonction racine carrée n’a pas de sens.

Même remarque à droite.

Attention

2.3.1 Cas où a /∈I.

Proposition 1

Soit aun réel et f une fonction définie sur I. On suppose que a /∈I. La limite def en a existe si et seulement si les limites à gauche et à droite def en a existent et coïncident.

On considère la fonction f définie sur R^∗ par f(x) = ^|_x^x|. La fonction admet-elle une limite en 0 ?

Exemple type :Limite en un point .

On a vu dans l’exemple type précédent que les limites à gauche et à droite en0ne coïncident pas.

La fonction n’admet donc pas de limite en 0.

On calcule les limites à gauche et à droite d’une fonction en un point a lorsque :

• f n’est pas définie en a.

• Les expressions de f(x)à gauche et à droite de a sont différentes.

En particulier, lorsquef n’est pas définie ena et qu’on essaye de prolongerf en une fonction f˜continue en a, on calcule les limites à gauche et à droite de f en a et on montre qu’elles existent et qu’elles coïncident.

Méthode :Utilisation des limites à gauche et à droites.

2.3.2 Cas où a ∈I.

Définition 5

• Si la limite à droite de f en a existe et coïncide avec f(a) on dit que f est continue à droite en a.

• Si la limite à gauche de f en aexiste et coïncide avec f(a)on dit que f est continue à gauche en a.

Propriété 2

Soit a∈I et f une fonction définie sur I.

• Si an’est pas une extrémité de I, la limite def en aexiste si et seulement si la limite à gauche et à droite de f existent et coïncident avec f(a). Autrement dit,f est continue en a si et seulement si f est continue à gauche et à droite de a.

• Si a est l’extrémité gauche de I (respectivement droite deI), la limite de f en a existe si et seulement si la limite à droite (respectivement à gauche) de f en a existent et coïncident avecf(a). Autrement dit,f est continue enasi et seulement sif est continue à droite (respectivement à gauche) de a.

Pour chaque fonction déterminer, si elle existe, la limite de la fonction au point a.

1)f(x) =

2x+ 1 si x>0

x+ 1 six <0 , a= 0 2)f(x) =

x+ 1 six>1

x−1 si x <1 , a= 1

Exemple type : Déterminer la limite d’une fonction en un point.

1. On a f(0) = 1 et la limite à gauche et à droite de f en 0 coïncident avec cette valeur. La fonction f admet donc une limite en0 qui vaut 1.

2. Les limites à gauche et à droite de la fonction en 1 ne coïncident pas, la fonction n’admet pas de limite en1.

Les courbes représentatives des fonctions de l’exemple type sont les suivantes :

0 1 2

−1

−2

0

−1 1 2 3 4 5

b

1)f est continue en 0.

0 1 2

−1 0

−1

−2 1 2 3

b

2)f n’est pas continue en 1.

3 Limite d’une fonction à l’infini.

On souhaite étudier le comportement de f lorsque x devient très grand ou très petit.

3.1 Limite finie à l’infini.

Définition 6

Soitl un réel etf une fonction définie sur un intervalleI deRdont l’extrémité droite est+∞. On dit que la fonction f converge vers l en +∞ si

∀ε >0,∃M >0,∀x∈I∩[M,+∞[,|f(x)−l|6ε.

Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche que l’on veut de l quitte à prendre x assez grand.

Graphiquement, on peut illustrer cette définition de la manière suivante :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4

y=l y=l+ε y=l−ε

Ici l= 2,ε= 0.5 etM =2.

Exemple 3

On a tracé au dessus la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0,+∞[ par f(x) =

1

x + 2. Montrons que f(x) tend vers 2 en +∞. Soit ε > 0, on cherche M un réel strictement positif tel que

∀x>M,|f(x)−2|6ε.

Soit x un réel strictement positif, on a |f(x)−2| = _x¹

= _x¹. Donc f(x) 6 _M¹ . En prenant M = ¹_ε, on obtient le résultat.

On a une définition similaire en−∞. Définition 7

Soit l un réel et f une fonction définie sur un intervalle I de R dont l’extrémité gauche est

−∞. On dit que la fonction f converge vers l en −∞ si

∀ε >0,∃m >0,∀x∈I∩]− ∞, m],|f(x)−l|6ε.

Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche que l’on veut de l quitte à prendre x assez petit.

Proposition 2

Soit l ∈R. Si f(x) tend vers l en +∞(respectivement en −∞) alors l est unique. On dit que l est la limite de f en +∞ (respectivement en −∞). On note dans ce cas

x→lim+∞f(x) =lou lim

x→−∞f(x) =l.

Remarque 3

(Hors programme) Lorsque la fonction f admet une limite finie l en +∞ (respectivement en

−∞) on dit que la droite d d’équation y =l est une asymptote horizontale à la courbe C^f en +∞ (respectivement en −∞).

3.2 Limite infinie à l’infini

Définition 8

Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet +∞ comme borne droite.

• On dit que f(x) tend vers +∞ en +∞ si

∀A∈R,∃M ∈R,∀x∈I ∩[M,+∞[, f(x)>A.

Autrement dit f(x) est aussi grand que l’on veut quitte à prendre x assez grand.

• On dit que f(x) tend vers −∞ en +∞ si

∀B ∈R,∃M ∈R,∀x∈I ∩[M,+∞[, f(x)6B.

Autrement dit on peut rendref(x)aussi petit que l’on souhaite quitte à prendrexassez grand.

Graphiquement , on peut illustrer ces deux définitions de la manière suivante :

0 2 4 6 8 10

0 20 40 60

80 y=A

4√ 5 Ici A= 80 et M =4√

5.

y

x

0 2 4 6 8 10

0

−20

−40

−60

−80 y

x

y=A 4√

5

Ici B =−80et M =4√ 5.

Définition 9

Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet −∞ comme borne gauche.

• On dit que f(x) tend vers +∞ en −∞ si

∀A∈R,∃m∈R,∀x∈I∩]− ∞, m], f(x)>A.

Autrement dit f(x) est aussi grand que l’on veut quitte à prendre x assez petit..

• On dit que f(x) tend vers −∞ en −∞ si

∀B ∈R,∃m∈R,∀x∈I∩]− ∞, m], f(x)6B.

Autrement dit on peut rendref(x)aussi petit que l’on souhaite quitte à prendrexassez petit.

−2

−4

−6

−8

−10

20 40 60

80 y=A

−4√ 5

Ici A= 80 et m=−4√ 5.

y

x

−2

−4

−6

−8

−10

0

−20

−40

−60

−80 y

x

y=A

−4√ 5

Ici B =−80et m=−4√ 5.

Proposition 3

Soit l ∈ {+∞,−∞}. Si f(x) tend vers l en +∞ (respectivement en −∞) alors l est unique.

On dit que l est la limite de f en +∞ (respectivement en −∞). On note respectivement :

x→lim+∞f(x) = +∞, lim

x→+∞f(x) =−∞, , lim

x→−∞f(x) = +∞ou lim

x→−∞f(x) =−∞.

4 Limites des fonctions usuelles.

On a les limites usuelles suivantes : Propriété 3

• Pour la fonction exponentielle :

x→−∞lim e^x= 0 et lim

x→+∞e^x = +∞.

• Pour la fonction logarithme népérien :

xlim→0⁺ln(x) =−∞ et lim

x→+∞ln(x) = +∞.

• Pour les fonctions puissances :

• Pour α∈R^∗

+ : lim

x→0⁺x^α= 0 et lim

x→+∞x^α= +∞.

• Pour k∈N^∗ on a en plus lim

x→−∞x^2k = +∞et lim

x→−∞x^2k−1 =−∞.

• Pour α∈R^∗

− : lim

x→0⁺x^α= +∞ et lim

x→+∞x^α = 0.

• De plus, pour k∈N^∗ on a lim

x→−∞

1

x^k = 0 , lim

x→0⁻ 1

x^2k = +∞ et lim

x→0⁻ 1

x^2k−1 =−∞. Exemple 4

On a lim

x→−∞

1

x² =0 lim

x→0⁻ 1

x =−∞

xlim→0⁻ 1

x² =+∞ lim

x→−∞x³ =−∞

5 Limites et opérations.

5.1 Opération algébrique.

Soit f :I →Retg :I →R deux fonctions eta un point ou une borne de I. l etl^′ désignent deux réels.

Théorème 1

Limite d’une somme

xlim→af(x) l l l +∞ −∞ +∞

xlim→ag(x) l’ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

xlim→a(f(x) +g(x)) l+l^′ +∞ −∞ +∞ −∞ FI Produit de deux limites

xlim→af(x) l l >0 l <0 l > 0 l <0 0 ou +∞ ou−∞ ou +∞ ou−∞

xlim→ag(x) l^′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ ou−∞

xlim→a(f(x)×g(x)) l×l^′ +∞ −∞ −∞ +∞ FI Limite d’un quotient :

xlim→af(x) l l 0 l >0 l >0

+∞ +∞

ou+∞ ou+∞

xlim→ag(x) l^′ 6= 0 +∞ 0 0 0

l^′ 6= 0 +∞ avec g(x)>0 avec g(x)<0 ou −∞

xlim→a f(x)

g(x) l

l^′ 0 FI +∞ −∞ −∞ si l^′ <0

−∞ si l^′ <0 FI

Pour chaque fonction déterminer la limite en a.

1)f(x) = 5 +_x¹, a=−∞ 2)f(x) =x+e^x, a=−∞ 3)f(x) = ^e_x^x, a=−∞

4)f(x) = _x−¹₂, a= 2 5)f(x) = ^x2−_x−^2x+1₁ , a= 1 .

Exemple type : Déterminer la limite d’une fonction en un point.

1) On a

x→lim+∞5 = 5 et lim

x→+∞

1 x = 0.

Donc par somme de limites on obtient

x→lim+∞f(x) = 5.

2) On a

x→−∞lim x=−∞ et lim

x→−∞e^x = 0.

Donc par somme de limites on a

x→−∞lim f(x) =−∞.

3) Pour la dernière fonction, on utilise les limites précédentes et par quotient de limites on obtient

x→−∞lim e^x

x = 0.

4) f n’est pas définie en 2. On doit donc distinguer la limite à gauche et la limite à droite. A droite on a

xlim→2⁺x−2 = 0⁺ d’où lim

x→2⁺

1

x−2 = +∞. A gauche on a

xlim→2⁻x−2 = 0⁻ d’où lim

x→2⁻

1

x−2 =−∞. La fonctionf n’admet donc pas de limite en 2.

5) Au numérateur on obtient

limx→1x²−2x+ 1 = 0.

La fonctionf n’est pas définie en1. On doit donc distinguer les limites à gauches et à droites.

On a :

xlim→1⁺x−1 = 0⁺ et lim

x→1⁻x−1 = 0⁻.

On obtient donc à droite et à gauche des formes indéterminées. Cependant on remarque que x²−2x+ 1 = (x−1)². On a donc

xlim→1⁺

x² −2x+ 1

x−1 = lim

x→1⁺x−1 = 0.

De même

lim

x→1⁻

x² −2x+ 1

x−1 = lim

x→1⁻x−1 = 0.

La limite de f en 1 est donc 0.

5.2 Limite d’une composée .

Dans le cas d’une composée de deux fonctions nous avons le résultat suivant : Propriété 4

Soit a ,b et ctrois éléments de R. Si lim

x→af(x) =b etlim

y→bg(y) =c alors lim

x→ag(f(x)) =c.

Pour chaque fonction déterminer la limite en a.

1)f(x) =e^1x, a= +∞ 2)f(x) = ln(2 + _x¹), a= +∞ 3)f(x) = ¹

ln(¹⁺¹x), a = +∞

Exemple type : Déterminer la limite d’une composée de fonctions.

1) On a

x→lim+∞

1

x = 0 et lim

y→0e^y = 1.

Donc

x→lim+∞e^1x = 1.

2) On a

x→lim+∞

1

x = 0 donc par somme de limites lim

x→−∞2 + 1 x = 2.

Or

ylim→2ln(y) = ln(2).

D’où

x→lim+∞ln

2 + 1 x

= ln(2).

3) Pour la troisième fonction, par somme de limites on obtient

x→lim+∞1 + 1 x = 1.

Or lim

y→1ln(y) = 0 d’où

x→lim+∞

1

ln 1 + _x¹ = 0.

Le résultat suivant permet de considérer la composée d’une suite et d’une fonction.

Proposition 4

Soit f une fonction définie sur un intervalle réel I . Soient l un réel etx0 un élément deI. Soit (un)n∈N une suite d’élément de I . On suppose que

xlim→x0

f(x) =l et lim

n→+∞un=x0. Alors on a

n→lim+∞f(un) =l.

6 Lever des indéterminations.

Dans le chapitre sur les limites de suites nous avons été confrontés à des formes indéterminées . Pour les lever nous avons vus plusieurs méthodes qui seront similaires pour l’étude des limites de fonctions.

6.1 Utilisation direct des croissances comparées.

On considère la fonction définie sur ]0,+∞[par f(x) = ^e_x^x. On voudrait déterminer sa limite en +∞. On a

x→lim+∞x=+∞ et lim

x→+∞e^x =+∞.

On obtient donc une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, on a besoin de savoir quel est le terme qui tend le plus vite vers +∞. Le résultat suivant nous permet de connaître le comportement asymptotiques des fonctions usuelles les unes par rapport aux autres.

Théorème 2 (Croissances comparées)

Pour tous réels α et β strictement positifs on a

x→lim+∞ ln(x)^β

x^α = 0⁺ lim

x→0⁺x^α|ln(x)|^β = 0⁺

x→lim+∞ e^βx

x^α = +∞ lim

x→−∞|x^α|e^βx= 0⁺

On peut maintenant lever notre forme indéterminée et obtenir que

x→lim+∞f(x) =+∞.

Déterminer les limites suivantes : a) lim

x→+∞ x²

ln(x) b) lim

x→+∞ x

e^2x c) lim

x→+∞ e^x ln(x) .

Exemple type : Croissances comparées

a) D’après le théorème des croissances comparées on a

x→lim+∞

ln(x) x² = 0⁺. Donc par quotient on obtient

x→lim+∞

x²

ln(x) = +∞. b) D’après le théorème des croissances comparées on a

x→lim+∞

e^2x

x = +∞. Donc par quotient on obtient

x→lim+∞

x e^2x = 0.

c) On a

x→lim+∞e^x et lim

x→+∞ln(x) = +∞.

On obtient une forme indéterminée. Pour conclure, nous allons avoir besoin d’utiliser le théo- rème de croissances comparées. Pour s’y ramener on modifie l’écriture du terme. Pour x > 0 on a :

e^x

ln(x) = e^x

x × x ln(x).

Or d’après le théorème de croissances comparées et par quotient on a :

x→lim+∞

e^x

x = +∞ et x

ln(x) = +∞. On a donc par produit de limites

x→lim+∞

e^x

ln(x) = +∞.

6.2 Factorisation par le terme le plus rapide.

Le théorème de croissances comparées nous permet de conclure dans le cas d’un produit ou d’un quotient de limite. Lorsque nous avons des sommes de limites dans nos calculs, il faut factoriser par le terme le plus rapide.

Lorsque l’on veut comparer deux puissances strictement positives et différentes de x : 1. Le terme avec la plus grande puissance est le plus rapide en ±∞

2. Le terme avec la plus petite puissance est le plus rapide en0.

Méthode :Terme le plus rapide.

Déterminer les limites suivantes : a) lim

x→0⁺ 1

x−√x b) lim

x→+∞ 1

x−√x c) lim

n→+∞ e^2x−e^x

−e^3x+e^x

Exemple type : Factorisation par le terme le plus rapide

a) On a

xlim→0⁺x= 0⁺ et lim

x→0⁺−√

x= 0⁻.

Par somme de limites, on obtient que la limite du dénominateur est 0 mais on ne peut pas déterminer à priori si le terme s’approche de0 en étant positif ou négatif. On va factoriser par le terme le plus rapide :

x−√ x=√

x √

x−1).

On a donc par somme et produit de limites

xlim→0⁺

√x−1 =−1 et lim

x→0⁺

√x √

x−1) = 0⁻. Par quotient de limites on obtient

xlim→0⁺

1 x−√

x =−∞.

b) On a

x→lim+∞x= +∞ et lim

x→+∞−√

x=−∞.

Par somme, on obtient une forme indéterminée pour la limite du dénominateur. On va factoriser par le terme le plus rapide :

x−√ x=x

1− 1

√x

. On a donc par somme, quotient puis produit de limites

x→lim+∞1− 1

√x = 1 d’où lim

x→+∞x

1− 1

√x

= +∞. Par quotient de limites on obtient

x→lim+∞

1 x−√

x = 0.

c) On voit facilement qu’on obtient une forme indéterminée au numérateur et au dénominateur.

On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme prépondérant :

e^2x−e^x

−e^3x+e^x = e^2x(1−e^−x)

e^3x(−1 +e^−2x) = 1−e^−x e^x(−1 +e^−2x). Or par quotient de limites on a

x→lim+∞e^−x = lim

x→+∞

1 e^x = 0.

Donc par somme de limites on obtient lim

x→+∞(1−e^−x) = 1.

De la même manière on obtient lim

x→+∞(−1 +e^−2x) =−1

Par produit de limites on obtient lim

x→+∞e^x(−1 +e^−2x) = −∞. On conclut par quotient de limites :

x→lim+∞

e^2x−e^x

−e^3x+e^x = lim

x→+∞

1−e^−x

e^x(−1 +e^−2x) = 0.

Cette technique permet de conclure lorsque les termes sont tous de type exponentielle ou puissance.

Si ce n’est pas le cas, il est parfois utile d’ utiliser en plus le théorème des croissances comparées.

Déterminer les limites suivantes : a) lim

x→+∞ e^2x−x

x²+ln(x) b) lim

x→0⁺(x³−x) ln(x)

Exemple type : Factorisation et croissances comparées.

a) On obtient une forme indéterminée. Le terme exponentielle est le plus rapide au numérateur et le terme puissance est le plus rapide au dénominateur :

e^2x−x

x+ ln(x) = e^2x 1− e^x2x

x²

1 + ^ln(x)_x2

.

D’après le théorème des croissances comparées on a

x→lim+∞

e^2x

x² = +∞. Donc par quotient de limites on obtient

x→lim+∞

x e^2x = 0.

D’où par somme de limites

x→lim+∞

1− x

e^2x

= 1

. De manière similaire on obtient

x→lim+∞

1 + ln

(x)x

= 1 . Par produit de limites on obtient donc

x→lim+∞

e^2x−x

x+ ln(x) = +∞.

b) On obtient une forme indéterminée. On factorise le terme x³−x parx qui est le terme le plus rapide :

(x³−x) ln(x) =x x²−1 ln(x).

D’après le théorème des croissances comparées on a

xlim→0⁺xln(x) = 0.

De plus lim

x→0⁺(x²−1) = −1. Donc par produit de limites on obtient lim

x→0⁺(x³−x) ln(x) = 0.

1. On calcule la limite de chaque terme. On conclue si on n’obtient pas une forme indéterminée.

2. Si on a obtenu une forme indéterminée on essaye d’appliquer le théorème des croissances comparées directement.

3. Si ce n’est pas possible, on factorise par le terme le plus rapide. On conclut directement ou en appliquant le théorème des croissances comparées.

4. Parfois ce n’est pas suffisant et il faut faire appel à d’autres techniques. Par exemple multiplier par la quantité conjuguée quand il y a des racines.

Méthode :Calculer une limite.

7 Limites et relation d’ordre.

Dans toute la suite du chapitre on suppose que :

• a∈R.

• D est un sous-ensemble de R tel que :

• si a ∈R alors D=I ouD=I\ {a}.

• si a = +∞ alors ∃M ∈R tel que D= [M,+∞[.

• si b =−∞alors ∃m∈R tel que D=]− ∞, m[.

Proposition 5

On considère f :D→R etg :D→R deux fonctions telles que

∀x∈D, f(x)6g(x).

On suppose que les limites de f et g en a∈R existent. Alors on a

xlim→af(x)6 lim

x→ag(x).

Une inégalité stricte devient large lorsque l’on passe à la limite.

Si pour tout x∈D on a f(x)< g(x)alors on obtient

xlim→af(x)6 lim

x→ag(x).

Attention

Remarque 4

On en déduit en particulier qu’une fonction positive sur D à une limite positive.

Si on ne sait pas que les deux fonctions convergent en a, nous avons les résultats suivant.

Théorème 3 (Théorème de minoration) Soient f etg deux fonctions définies sur D.

1 ) ∀x∈D, f(x)>g(x).

2 )lim

x→ag(x) = +∞

alors

xlim→af(x) = +∞.

Théorème 4 (Théorème de majoration) Soient f etg deux fonctions définies sur D.

1 ) ∀x∈D, f(x)>g(x).

2 )lim

x→af(x) =−∞

alors

xlim→ag(x) = −∞.

On considère la fonction f définie surR par f(x) = ⌊x⌋. Déterminer la limite de f en +∞ et en −∞.

Exemple type : Théorème de minoration et majoration.

On a pour toutx >0, f(x)> x−1. Or

x→lim+∞x−1 = +∞.

Par le théorème de minoration on obtient

x→−∞lim f(x) = +∞.

On a pour toutx <0, f(x)6x. Or

x→−∞lim x=−∞. Par le théorème de majoration on obtient

x→−∞lim f(x) =−∞.

Théorème 5 (Théorème de la limite par encadrement)

Soient l un réel et f,g et htrois fonctions définies sur I. On suppose que 1 ) ∀x∈D, g(x)6 f(x)6h(x).

2 ) lim

x→ag(x) = lim

x→ah(x) =l.

Alors

xlim→af(x) = l.

On considère la fonction f définie par f(x) = _x+1^⌊x⌋. Déterminer la limite de f en +∞.

Exemple type : Application du théorème de la limite par encadrement .

Soit x >0 , on commence par encadrer f(x): x−1

x+ 1 6f(x)6 x x+ 1.

On va calculer la limite du terme de gauche, on obtient un forme indéterminée. On factorise donc par le terme prépondérant au dénominateur et au numérateur :

x−1

x+ 1 = x 1− ¹x

x 1 + ¹_x = 1− ¹x

1 + ¹_x. On a donc par somme de limites :

x→lim+∞

1 + 1

x

= 1 et lim

x→+∞

1− 1

x

= 1.

Par quotient de limites on a donc

x→lim+∞

x−1 x+ 1 = 1.

Pour le terme de droite, on factorise parx : x

x+ 1 = 1 1 + _x¹. On a donc par quotient de limites :

x→lim+∞

x

x+ 1 = 1.

Par le théorème d’encadrement on obtient

x→lim+∞f(x) = 1.

8 Théorème de la limite monotone.

Le théorème suivant est l’analogue du théorème de la limite monotone dans le cas des suites.

Théorème 6

Soient a etb deux éléments de R. On considère une fonction f monotone sur l’intervalle]a, b[.

Alors :

• Si f est croissante sur ]a, b[

• f admet une limite à droite en a. Si f est minorée alors la limite est finie sinon la limite est infinie.

• f admet une limite (finie ou infinie) à gauche en b. Si f est majorée alors la limite est finie sinon la limite est infinie.

• Si f est décroissante sur ]a, b[

• f admet une limite à droite en a. Si f est majorée alors la limite est finie sinon la limite est infinie.

• f admet une limite (finie ou infinie) à gauche en b. Si f est minorée alors la limite est finie sinon la limite est infinie.

On en déduit le corollaire suivant : Corollaire 1

Avec les mêmes hypothèses que le théorème précédent, pour tout x0 ∈]a, b[ alors f admet une limite à gauche et une limite à droite en x0.