16 Limites et continuité des fonctions
Dans l’ensemble de ce chapitre, les lettresD et Edésigneront des parties quelconques de R.
À l’instar des suites, la notion de limite pour les fonctions repose sur celle de voisinage, qui a été introduite à la définition 21 du chapitre 10. Cette notion de voisinage permet par ailleurs de préciser ce que l’on entend par des propriétéslocales en analyse,i.e.vérifiée au voisinage d’un point.
Soitf :DÝÑRune fonction etaPD. On dit quef vérifie une certaine propriétéP au voisinage de alorsque f vérifie la propriétéP surDXV, pourV un certain voisinage dea.
Définition 1 – Propriété vraie au voisinage d’un point
Exemple 2 La fonction sinus est croissante au voisinage de 0.
En effet, la fonction sinus est croissante sur l’intervalles´π{2, π{2r, qui est un voisinage de0.
Remarque 3 Dans le contexte des fonctions, l’expression « au voisinage de » remplacera dans les énoncés correspon- dants l’expression utilisée pour les suites « à partir d’un certain rang ».
1 Limite d’une fonction
1.1 Limite d’une fonction en un point
Soitf :DÝÑRune fonction,aPD et`PR. On dit quef admet` pour limite enalorsque :
pour tout voisinageV` de`, il existe un voisinageVa deatel que : @xPDXVa, fpxq PV`. Définition 4 – Limite d’une fonction en un point
Ainsi f admet ` pour limite en a lorsque fpxq reste aussi proche de ` que souhaité, à condition que x soit suffisamment proche de a, ce que nous illustrons par les dessins ci-dessous pour diverses situations.
x y
`
@V`
a DVa
lim
a f “`, avec`PRetaPR
1 @V`8
DV`8
lim
`8f “ `8
2 y
`
@V`
DV`8
lim
`8f “`avec`PR 3
x
@V`8
a DVa
lima f “ `8avecaPR 4
x y
`
@V`
a DVa
lima f “` avec`PRetaPR 5
x
@V`8
a DVa
lima f “ `8avecaPR 6
Remarque 5 Les dessins°et ± correspondent au cas oùD est une réunion d’intervalles et oùa est à la jonction de deux de ces intervalles sans appartenir au domaine de définition. La limite en un tela, lorsqu’elle existe, peut être finie ou infinie.
Soitf :DÝÑRune fonction etaPD.
(i) Sif possède une limite ena, elle est unique et notéelim
a f ou lim
xÑafpxq.
Pour tout`PR, la relation lim
a f “` est aussi notée f ÝÑ
a ` ou fpxq ÝÑ
xÑa`.
(ii) SiaPD et si f possède une limite ena, alors lim
a f “fpaq (dessin¬).
Théorème 6 – Unicité de la limite
Démonstration.Cf. annexeA.
La traduction du point (ii)est la suivante.
f est définie ena et lim
a f “fpaq.
fpaq
a
fpaq
a
f est définie en a mais lima f n’existe pas.
Nous verrons toutefois quelim
a´
f “lim
a`
f.
La définition précédente de la limite d’une fonction en un point se décline sous forme d’assertions quantifiées, selon le caractère fini ou infini de aet de`.
Soitf :DÝÑRune fonction,aPD et`PR.
• Cas où `PRetaPR:
lima f “` ðñ @εą0, Dηą0, @xPD, |x´a|ăη ùñ |fpxq ´`|ăε.
• Cas où `“ `8eta“ `8: lim
`8f “ `8 ðñ @Aą0, DBą0, @xPD, xąB ùñ fpxq ąA.
• Cas où `“ ´8eta“ `8: lim
`8f “ ´8 ðñ @Aă0, DBą0, @xPD, xąB ùñ fpxq ăA.
• Cas où `“ `8eta“ ´8: lim
´8f “ `8 ðñ @Aą0, DBă0, @xPD, xăB ùñ fpxq ąA.
• Cas où `“ ´8eta“ ´8: lim
´8f “ ´8 ðñ @Aă0, DBă0, @xPD, xăB ùñ fpxq ăA.
• Cas où `PReta“ `8: lim
`8f “` ðñ @εą0, DB ą0, @xPD, xąB ùñ |fpxq ´`|ăε.
• Cas où `PReta“ ´8: lim
´8f “` ðñ @εą0, DB ă0, @xPD, xăB ùñ |fpxq ´`|ăε.
• Cas où `“ `8etaPR, aRD :
lima f “ `8 ðñ @Aą0, Dηą0, @xPD, |x´a|ăη ùñ fpxq ąA.
• Cas où `“ ´8etaPR, aRD :
lima f “ ´8 ðñ @Aă0, Dηą0, @xPD, |x´a|ăη ùñ fpxq ăA.
Définition 7 – Les 9 limites
Remarque 8 À l’instar des définitions données pour les suites, on peut remplacer dans les définitions précédentes les inégalités strictes des implications par des inégalités larges.
Exemple 9 lim
xÑ`8
?1 x “0.
En effet,nous devons établir que : @εą0, DAą0, @xPR˚`, xąA ùñ
?1 x´0
ăε.
Soitεą0. Pour toutxPR˚`,
?1 x´0
“ 1
?x et 1
?x ăε ðñ ? xą 1
ε ðñ xą 1
ε2. Posons alorsA“ 1 ε2. D’après ce qui précède : @xPR˚`, xąA ùñ
?1 x´0
ăε.
Le résultat qui suit est l’analogue de celui concernant les suites convergentes.
Soitf :DÝÑRune fonction etaPD. Sif possède une limitefinieena, alorsf est bornée au voisinage dea.
Théorème 10 – Limite finie et caractère localement bornée
Démonstration.Par hypothèse, il existe un voisinageVadeasur lequel|fpxq ´`|ă1. En particulier,
@xPDXVa, |fpxq|“|fpxq ´```|ď|fpxq ´`|`|`|ď|`|`1,
ce qui établit quef est bornée surDXVa.
1.2 Limite d’une fonction à gauche/à droite en un point
Soitf :DÝÑRune fonction,aPDXRet`PR. On suppose f définie au voisinage deaà gauche/à droite.
• On dit quef admet` pour limite à gauche enalorsquef|DXs´8,ar admet`pour limite en a. En tant que limite, la limite def enaà gauche, si elle existe, est unique et notéelim
a´
f, lim
xÑa´
fpxqou lim
xÑa xăa
fpxq.
Plus concrètement, lim
a´ f “` lorsque
5 Cas où `PR. @εą0, Dηą0, @xPD, a´ηăxăa ùñ |fpxq ´`|ăε.
5 Cas où `“ `8. @Aą0, Dηą0, @xPD, a´ηăxăa ùñ fpxq ąA.
5 Cas où `“ ´8. @Aă0, Dηą0, @xPD, a´ηăxăa ùñ fpxq ăA.
• On définit de même la notion delimite à droite enaen considérant la restrictionf|DXsa,`8r. Si elle existe, cette limite est notéelim
a` f, lim
xÑa`fpxqou lim
xÑaxąa
fpxq.
Définition-théorème 11 – Limite d’une fonction à gauche/à droite en un point
Exemple 12 Cette notion s’illustre aisément avec la très classique fonction inverse f :R˚ÝÑR˚, xpÝÑ 1
x, pour laquelle lim
0´ f “ ´8 et lim
0` f “ `8.
Notamment la fonction inverse n’admet pas de limite en 0, dans la mesure où ses limites à gauche et à droite en 0 ne coïncident pas.
x y
O
y“ 1 x
Soitf :DÝÑRune fonction,aPDXRet`PR. On suppose f définie au voisinage deaà gauche et à droite.
(i) SiaPD: lim
a f “` ðñ lim
a´
f “lim
a`
f “` et `“fpaq.
(ii) SiaRD: lim
a f “` ðñ lim
a´
f “lim
a`
f “`.
Théorème 13 – Caractérisation de la limite via les limites à gauche/à droite
Démonstration.Cf. annexeA.
Pour saisir la nécessité de la condition «et`“fpaq» du cas(i), il suffit d’observer les deux figures qui suivent le théorème6.
Exemple 14 Soitf la fonction définie surRparfpxq “
"
ex sixě0,
1´x sixă0. Alorslim
0 f “1.
En effet, lim
xÑ0´
p1´xq “1, lim
xÑ0`
ex“1 etfp0q “e0“1.
2 Manipulation des limites
La base du calcul des limites repose sur la connaissance des limites des fonctions usuelles (rappelées au chapitre 5), leurs combinaisons par opérations et les résultats de croissances comparées entre les fonctions logarithmes, puissances et exponentielles (également rappelés au chapitre 5).
2.1 Opérations sur les limites
Soit f et g deux fonctions et a P R tels que lim
a f et lim
a g existent. `, `1 désignent deux réels. Les tableaux ci-dessous énoncent les résultats concernant les éventuelleslimites en a de la sommef `g, du produit f g et du quotient f
g. Précisément, les cas d’indétermination, i.e. ceux pour lesquels il n’est pas possible de conclure a priori, sont indiqués par ? ? ?. On observera que ces résultats sont totalement similaires à ceux énoncés pour les suites ! On pourra également s’inspirer des démonstrations données pour les suites pour établir les règles ci-après.
Somme
lima f ` `
ou`8
`
ou´8 `8
lima g `1 `8 ´8 ´8
lima pf`gq ```1 `8 ´8 ? ? ?
Produit lim
a f ` `‰0 ou8 8
lima g `1 8 0
lima pf gq ``1 8
`règle des signes ? ? ? Quotient
lima f ` 8 ` 8 `‰0
ou8 `ou8
lima g `1 ‰0 `1 ‰0 8 8 0` ou0´ 0
lima
f g
`
`1
8
`règle des signes
0 ? ? ?
8
`règle des signes
? ? ?
Terminons les opérations sur les limites avec leur composition.
Soitf :DÝÑE etg:EÝÑRdeux fonctions,aPD,bPE etcPR. Si lim
a f “b et lim
b g“c, alors lim
a g˝f “c.
Théorème 15 – Composition de limites
Démonstration. SoitVc un voisinage dec. Par hypothèse surg, il existe un voisinageVbdebtel que, pour toutxPVbXE, gpxq PVc. Par hypothèse surf, il existe alors un voisinageVadeatel que, pour toutxPVaXD,fpxq PVb. Par conséquent,
pour toutxPVaXD,fpxq PVbXEet doncgpfpxqq PVc, d’où la conclusion.
Exemple 16 lim
xÑ`8ln
˜
e´2x`1 pe´x`1q2
¸
“0.
2.2 Limites et relation d’ordre
Soitf :DÝÑRune fonction,aPD etm, M PR. (i) Silim
a f ăM, alorsf ăM au voisinage dea. (ii) Silim
a f ąm, alorsf ąmau voisinage dea.
Théorème 17 – Limites et inégalités strictes
Démonstration.Cf. annexeA.
Soitf, g:DÝÑRdeux fonctions etaPD. On suppose quef et gont des limitesfinies ena.
Si f ďgau voisinage dea, alorslim
a f ďlim
a g.
Ce résultat est le plus souvent utilisé lorsque l’une des deux fonctions est constante.
Théorème 18 – Limites et inégalités larges
Démonstration.Raisonnons par l’absurde en supposant quelim
a pg´fq ă0. Le théorème précédent affirme alors queg´fă0
au voisinage dea, contradiction !
Attention ! Le résultat précédent est faux avec des inégalitésstrictes! Par exemple,exą0, pour toutxPR, mais lim
xÑ´8ex“0.
On retiendra que Seules les inégalités larges sont conservées lors d’un passage à la limite.
2.3 Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction
Le résultat suivant généralise le théorème de composition par une fonction pour les limites de suites (théorème 22 du chapitre 15).
Soitf :DÝÑRune fonction,aPD et`PR. Les assertions suivantes sont équivalentes (i) lim
a f “`.
(ii) Pour toute suitepunqnPNde limite aà valeurs dansD, la suitepfpunqqnPNa pour limite`.
Théorème 19 – Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction
Démonstration.Cf. annexeA.
. En pratique . Ce résultat est souvent utilisé pour montrer qu’une fonction f n’admet pas de limite ena. Il suffit pour cela d’exhiber une suite convergeant versadont l’image parf ne converge pas, ou deux suites convergeant versadont les images parf ont des limites distinctes.
Exemple 20 La fonction sinus n’a pas de limite en`8.
En effet, lim
nÑ`8nπ“ lim
nÑ`8
´
2nπ`π 2
¯
“ `8, mais lim
nÑ`8
“0
hkkkikkkj
sinpnπq “0‰1“ lim
nÑ`8
“1
hkkkkkkkkikkkkkkkkj sin
´
2nπ`π 2
¯ .
3 Théorèmes d’existence de limite
Les résultats précédents permettent seulement de manipuler des limites dont on connait a priori l’existence. Les théorèmes qui suivent énoncent justement des conditions suffisantes pour établir l’existenced’une limite.
3.1 Théorème d’encadrement/minoration/majoration
Soitf :DÝÑR,m:DÝÑRet M :DÝÑRtrois fonctions,aPD et`PR.
• Théorème d’encadrement. Silim
a m“lim
a M “`et simďf ďM au voisinage de a, alorslim
a f existe et vaut`.
• Théorème de minoration. Silim
a m“ `8et si f ěmau voisinage dea, alorslim
a f existeet vaut`8.
• Théorème de majoration. Silim
a M “ ´8et sif ďM au voisinage dea, alorslim
a f existeet vaut´8.
Théorème 21
Démonstration.Cf. annexeA.
Le théorème d’encadrement est souvent utilisé sous l’une des formes suivantes, comme nous l’avions déjà souligné pour les suites.
Soitf :DÝÑRetε:DÝÑRdeux fonctions,aPD et`PR. S’il existe un voisinageV deatel que, pour tout xPV XD,|fpxq ´`|ďεpxqet silim
a ε“0, alorslim
a f “`.
Corollaire 22 – Théorème d’encadrement bis
Démonstration.Exercice.
Soitf, ε:DÝÑRdeux fonctions et aPD. Sif est bornée au voisinage deaet si lim
a ε“0, alorslim
a εf “0.
Corollaire 23 – Produit d’une fonction bornée et d’une fonction de limite nulle
Démonstration.Exercice.
3.2 Théorème de la limite monotone
SoitaPRet bPRY t`8u, avecaăb, etf :ra , br ÝÑRune fonction croissante.
(i) La limitelim
a`
f existeet estfinie. Précisément,fpaq ďlim
a`
f. (ii) Pour toutcP sa , br, les limiteslim
c´
f et lim
c`
f existentet sont finies. Précisément,lim
c´
f ďfpcq ďlim
c`
f.
(iii) La limitelim
b f existeet est soit finie (si f est majorée au voisinage deb), soit égale à`8(sinon).
On dispose de résultats analogues pour les formes d’intervalles autres que ra , br ainsi que pour les fonctions décroissantes.
Théorème 24 – Théorème de la limite monotone
En résumé :
Sif est monotone, elle possède des limitesà gauche età droiteen tout point où cela peut avoir un sens.
Démonstration.
• (i) PosonsA“fpsa , brq. Puisquesa , br ‰ H, il en va de même deA, et, puisquef est croissante,Aest minorée parfpaq. Ainsi,Apossède une borne inférieure, notée`, d’après la propriété de la borne inférieure.
Montrons alorslim
a`
f “`. Soitεą0,``εą`, ainsi``εn’est pas un minorant deAet il existe doncx0P sa , br tel que fpx0q ă ``ε. Posons alors η “ x0´aą 0. Pour tout xP sa , a`ηr, par croissance def et puisque
`“infA,
`´εă`ďfpxq ďfpx0q ă``ε ùñ `´εăfpxq ă``ε, d’où la conclusion.
• (iii) Supposonsf majorée au voisinage deb, il existe donccP sa , brtel quefest majorée sursc , br. Posons alors B“fpsc , brqqui est donc une partie non vide et majorée deR. On montre similairement quelim
b f “supB.
Si f est non majorée au voisinage de b, alors, pour toutM ą0, il existe x0P sa , brtel quefpx0q ąM. Alors, par croissance def, en posantη “b´x0ą0,
@xP sb´η , br, fpxq ěfpx0q ąM, soitlim
b f “ `8.
• (ii)se déduit de(i)et(iii), en considérant f|ra,cr et f|rc,br.
4 Continuité d’une fonction
4.1 Définition
D’un point de vue qualitatif, une fonction estcontinue sur un intervalle lorsque l’on peut tracer sa courbe repré- sentative sans lever le crayon, autrement dit lorsque sa courbe représentative est d’un seul morceau. Ce point de vue graphique traduit l’idée que, pour tout pointade l’intervalle de définition, lorsque l’abscissexse rapproche dea, par la droite ou par la gauche, fpxqse rapproche defpaq.
Dans l’ensemble de cette section,I désigne un intervalle deRcontenant au moins deux points.
Soitf :IÝÑRune fonction etaPI.
• La fonctionf est ditecontinue enalorsquelim
a f existe. Le cas échéant, lim
a f “fpaq,f étant définie ena.
La continuité def enas’exprime donc par :
@εą0, Dη ą0, @xPI, |x´a|ăη ùñ |fpxq ´fpaq|ăε.
x y
fpaq
a f est continue ena
x y
fpaq
a f n’est pas continue ena
x y
fpaq
a f n’est pas continue ena
• La fonctionf est ditecontinue surIlorsqu’elle est continue en tout point deI. On noteCpI,Rq(ouC0pI,Rq) l’ensemble des fonctions continues surIà valeurs réelles.
Définition 25 – Continuité
Exemple 26 La fonction valeur absolue|¨|est continue surR.
En effet, pour toutaPR, montrons que|¨|est continue ena. Soit εą0. Pour toutxPR,||x|´|a||ď|x´a|, d’après l’inégalité triangulaire, ainsi, pour η“ε,
@xPR, |x´a|ăη ùñ ||x|´|a||ăε.
Remarque 27 Pour évoquer la continuité d’une fonctionf ena, il est nécessaire quef soit définie ena.
Soitf :IÝÑRune fonction etaPI. On supposef définie au voisinage deaà gauche et à droite.
• La fonctionf est ditecontinue à gauche enalorsquef|IXs´8,as est continue ena,i.e.lorsquelim
a´ f “fpaq.
• La fonctionf est ditecontinue à droite en alorsquef|IXra,`8r est continue ena,i.e.lorsquelim
a`
f “fpaq.
f est continue ena à gauche, mais pas à droite.
x y
fpaq
a x
y
fpaq
a
f est continue ena à droite,
mais pas à gauche.
Définition 28 – Continuité à gauche/à droite en un point
Le résultat suivant est la version continue du résultat analogue sur les limites d’une fonction (cf. théorème13).
Soitf :IÝÑRune fonction etaPI. On supposef définie au voisinage deaà gauche et à droite. La fonction f est continue enasi et seulement si elle est continue à gauche et à droite en a.
Théorème 29 – Caractérisation de la continuité à l’aide des continuités à gauche/à droite
Exemple 30 La fonction partie entière t¨u est continue en tout point non entier, mais seulement continue à droite en tout point entier.
En effet, examinons la continuité en un point entier n P Z. Pour tout x P rn , n`1r, txu “n, ainsi lim
xÑn`
txu “n“tnu et t¨uest donc continue à droite en n. Au contraire, pour tout xP rn´1, nr,txu“n´1, ainsi lim
xÑn´
txu“n´1‰n“tnu ett¨un’est donc pas continue à gauche en n.
x y
y“txu
4.2 Prolongement par continuité en un point
SoitaPIXRetf :Iz tau ÝÑRune fonction (nondéfinie en adonc).
La fonctionf est diteprolongeable par continuité enalorsque lima f existeet est finie. Le prolongementf def obtenu en posantfpaq “lim
a f est alors continue en aet appelé prolon-
gement par continuité enade la fonctionf. a
y“fpxq
fpaq
a y“fpxq Définition-théorème 31 – Prolongement par continuité en un point
Démonstration. Il s’agit de montrer quef est continue en a,i.e.lim
a f“fpaq. Puisque, par définition,f etf coïncident sur Iz tau, l’égalitélim
a f“fpaqs’écrit :
@εą0, Dηą0, @xPIz tau, |x´a|ăη ùñ
fpxq ´fpaq ăε.
Orf est aussi définie enaet on peut évidemment remplacerIz tauparI dans l’assertion précédente.
Remarque 32 On écrit souvent « Prolongeons f par continuité en posant fpaq “ `» et l’on note encore f le prolongementf def (par souci de simplicité), bien qu’en toute rigueur, les fonctionsf etf sont distinctes, puisqu’elles n’ont pas le même ensemble de définition.
Exemple 33
• La fonctionxpÝÑxlnxn’est pas définie en0, mais on peut la prolonger par continuité en ce point en lui donnant la valeur0en0, puisque, par croissance comparée, lim
xÑ0xlnx“0.
• La fonctionxpÝÑ sinx
x n’est pas définie en0, mais on peut la prolonger par continuité en ce point en lui donnant la valeur1en0, puisque lim
xÑ0
sinx x “1.
• Pourαą0,xα“eαlnxÝÑ
xÑ00, ainsi en posant0α“0, on prolonge la fonctionxpÝÑxα, a priori définie surR˚`, en une fonction continue surR`.
4.3 Opérations sur les fonctions continues
Que ce soit en un point ou sur un intervalle, une combinaison linéaire et un produit de fonctions continues sont continus. Il en va de même pour l’inverse d’une fonction qui ne s’annule pas ainsi que pour la composée de deux fonctions composables. Ces résultats découlent immédiatement des résultats analogues concernant les limites de fonctions.
CpI,Rqest un sous-anneau deRI, dont les éléments inversibles sont les fonctions qui ne s’annulent pas surI.
Corollaire 34
Exemple 35 Par opérations, les fonctions polynomiales sont continues surRet les fractions rationnelles sont continues sur leurs ensembles de définition respectifs.
Exemple 36 La fonctionxpÝÑ` ln`
x2`e1{x˘˘2
est définie et continue surR˚ par opérations.
Exemple 37 Pour toutes fonctionsf, gPCpI,Rq, les fonctions maxtf, guetmintf, gusont continues surI.
En effet,les fonctionsmaxtf, gu “ f`g`|f´g|
2 etmintf, gu “ f`g´|f´g|
2 sont continues par opérations surI.
4.4 Caractérisation séquentielle de la continuité
Le théorème suivant découle directement de son analogue pour les limites (cf. théorème19).
Soitf :IÝÑRune fonction etaPI. Les assertions suivantes sont équivalentes (i) f est continue ena.
(ii) Pour toutepunqnPN de limiteaà valeurs dansI, la suitepfpunqqnPNconverge versfpaq.
Théorème 38 – Caractérisation séquentielle de la continuité en un point
On reconnaîtra bien sûr le résultat mis en œuvre pour l’étude des suites récurrentesun`1 “ fpunq : si la suite punqnPN converge vers`et sif est continue en`, alors` est un point fixe def.
. En pratique. Ce résultat permet d’établir la discontinuité d’une fonctionf ena. Il suffit pour cela d’exhiber une suite convergeant vers adont l’image parf ne converge pas versfpaq.
Exemple 39 La fonctionf :xpÝÑcosp1{xqne saurait être prolongée par continuité en0.
En effet, la suite définie parxn“ 1
nπ converge vers0, tandis que celle définie parfpxnq “ p´1qn ne converge pas.
La caractérisation séquentielle de la continuité combinée à celle de la densité de Q dans R permet d’établir la caractérisation suivante des fonctions linéaires.
Exemple 40 – Équation fonctionnelle des fonctions linéaires Les fonctions f PCpR,Rqtelles que
@x, yPR, fpx`yq “fpxq `fpyq sont les fonctions linéairesxpÝÑax, avecaPR.
5 Théorèmes fondamentaux
Lacontinuité globale désigne la continuité sur un intervalle – par opposition à lacontinuité ponctuelle en un point.
5.1 Le théorème des valeurs intermédiaires
Soita, b P Ravec a ďb. Si f PCpra , bs,Rq, alors tout réel compris entre fpaq et fpbq possèdeau moins un antécédent parf dansra , bs.
Théorème 41 – Théorème des valeurs intermédiaires, version « existence d’un antécédent »
Démonstration. Quitte à considérer ´f, on peut supposer que fpaq ďfpbq. Procédons par dichotomie. On pose a0 “a et b0“bet l’on va construire par récurrence, à partir de l’intervallera0, b0s “ ra , bs, de nouveaux intervalles plus petits localisant un antécédent dey. Précisément, soitnPNet supposons que l’on ait déjà construit des réelsa0, . . . , an, b0, . . . , bntels que
(i) a“a0ď. . .ďan, bnď. . .ďb0“b et, pour toutkPJ0, nK,bk´ak“b´a 2k ; (ii) pour toutkPJ0, nK,fpakq ďyďfpbkq.
On définit alors au rangn`1les réelsan`1 etbn`1de la façon suivante :
$
’’
&
’’
%
an`1“an et bn`1 “an`bn
2 sif
ˆan`bn
2
˙ ěy, an`1“ an`bn
2 et bn`1“bn sif
ˆan`bn
2
˙ ăy.
Dans la mesure où an`bn
2 est le milieu du segmentran, bns, les réelsan`1 etbn`1 satisfont les assertions(i)et(ii)au rang n`1.
Les suites panqnPN et pbnqnPN ainsi construites sont adjacentes d’après (i) et possèdent donc une limite finie commune xP ra , bs. Il suffit alors de passer à la limite dans(ii), ce qui est loisible par continuité def, pour obtenirfpxq ďyďfpxqet
doncy“fpxq.
Remarque 42 Le théorème des valeurs intermédiaires assure que siyest entrefpaqetfpbq, alors l’équationfpxq “y possède au moins une solution. La dichotomie fournit même un procédé effectif de résolution approchée permettant d’obtenir un encadrement d’une solution aussi précis que l’on veut.
Exemple 43 Toute fonction polynomiale de degré impair s’annule surR.
En effet, une fonction polynomiale de degré impaire possède en´8et`8des limites infinies de signes opposés ; elle prend donc des valeurs positives et négatives. Comme elle est continue sur R, elle s’annule.
Le TVI s’énonce de façon équivalente sous la forme suivante.
L’image d’unintervalle par une fonction continue est unintervalle.
Théorème 44 – Théorème des valeurs intermédiaires, version « image d’un intervalle »
Démonstration. Soit I un intervalle et f P CpI,Rq. Considérons u, v P fpIq, avec u ď v, et montrons que ru , vs Ă fpIq (théorème 21 du chapitre 10). Soit y P ru , vs. Par hypothèse, il existe a, b P I tels que u “ fpaq et v “ fpbq. La version précédente du TVI assure alors l’existence dexentreaetbtel quey“fpxq. En particulier, puisqueI est un intervalle,xPI
et doncy“fpxq PfpIq.
Remarque 45 Le théorème 44 implique clairement le théorème 41. En effet, avec les notations du théorème 41, pour tout réel y entrefpaqet fpbq, on ayP rmintfpaq, fpbqu,maxtfpaq, fpbqus Ăfpra , bsq, puisquefpra , bsqest un intervalle (théorème 21 du chapitre 10).
Attention !
• Il suffit d’un point de discontinuité pour que le TVI tombe en défaut.
• Le TVI affirme que l’image continue fpIq d’un intervalle I est également un intervalle, toutefois I et fpIq ne sont pas a priori de même nature.
Un intervalle Pas un
intervalle
I fpIq
Iouvert etfpIqfermé.
I fpIq
Isemi-ouvert etfpIqouvert.
5.2 Le théorème des bornes atteintes
Les assertions suivantes sont équivalentes.
(i) Une fonction continue sur unsegment y est bornée et atteint ses bornes, i.e.admet un minimum et un maximum.
(ii) L’image d’unsegmentpar une fonction continue est unsegment. Précisément, sif est continue surra , bs, alorsfpra , bsq “ rm , Ms, oùm“min
ra,bsf et M “max
ra,bsf. Théorème 46 – Théorème des bornes atteintes
Démonstration.L’équivalence entre(i)et(ii) est claire, via le TVI. Cf. annexeApour une preuve de(i).
Nous avons observé que la continuité ne préserve pas la forme d’un intervalle en gé- néral. Toutefois, le théorème précédent affirme qu’un segment est toujours transformé en un segment par une fonction continue.
Attention ! Sur un intervalle borné qui n’est pas un segment, une fonction continue n’a aucune raison d’être bornée,e.g.la fonction inverse surs0,1s.
a b
fpra , bsq min
ra,bsf max
ra,bs
f
Exemple 47 La fonctionf :xpÝÑxlnxpossède un minimum surs0,1s.
5.3 Théorème de la bijection, continuité d’une réciproque
Le TVI est un théorème d’« existence » : il garantit l’existence d’un antécédent deyparf ou, de façon équivalente, d’une solution à l’équation y “ fpxq. Pour obtenir en plus l’unicité, une condition suffisante réside dans la stricte monotonie def.
• Si I est unintervalle et f une fonctioncontinue et strictement monotone sur I, alorsf réalise une bijection deIsur l’intervallefpIq.
• Dans ces conditions, la réciproquef´1 est continue et strictement monotone, de même sens de variation que f, surfpIq.
Théorème 48 – Théorème de la bijection
Démonstration.Cf. annexeA.
Les graphes def etf´1 sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice. Si le graphe de f peut être tracé sans que l’on ait à lever le crayon, comment le graphe de f´1 ne le serait-il pas ?
y“fpxq y“f´1pxq
y“x
Remarque 49 Selon la nature deI et la monotonie def, l’obtention defpIqvarie, e.g.pour deux réelsaăb,
a b
fpaq fpbq
I“ ra , bsetfpIq “ rfpaq, fpbqs.
a b
lim
b f fpaq
I“ ra , bretfpIq “slim
b f;fpaqs.
a b
lima f limb f
I“ sa , bret fpIq “slim
a f; lim
b fr.
Il existe bien sûr d’autres versions selon que f est strictement croissante ou décroissante et définie ou non enaet b, avec éventuellementa“ ´8oub“ `8.
Exemple 50
• La fonction exponentielle est définie comme la réciproque de la logarithme népérien. Elle est donc, à l’instar de la fonction logarithme népérien, à valeurs dansR˚`, continue et strictement croissante surR.
• La fonction arctangente est définie comme la réciproque de la fonction tangente restreinte à ı
´π 2,π
2
”
. Elle est donc, à l’instar de la fonction tangente, à valeurs dans
ı
´π 2,π
2
”
, continue et strictement croissante surR.
Exercice 51 – Fonctions puissances
• SoitnPN˚. La fonction racineneest définie comme la réciproque de la fonction puissancef :xpÝÑxn restreinte à R`. Elle est donc, à l’instar de la fonctionf|R`, à valeurs dansR`, continue et strictement croissante surR`. On notex1{n ou ?n
xl’image dexparf´1. Le casn“2 correspond à la fonction racine carrée.
• Si nest un entier naturel impair, la fonction xpÝÑxn réalise une bijection deRsurR, ce qui permet de définir la racinenesurR. Le casn“3correspond à la racine cubique ?3
¨.
• Soit α P R. Plus généralement, la fonction puissance x pÝÑ xα “ eαlnx réalise une bijection de R˚` sur R˚` – elle est continue et strictement croissante (resp. décroissante) siαą0 (resp.αă0). Sa bijection réciproque est xpÝÑx1{α.
Terminons ce paragraphe avec une réciproque partielle du théorème 60 du chapitre 3.
Soitf PCpI,Rq. Sif est injective sur l’intervalleI, alorsf est strictement monotone surI.
Théorème 52 – Injectivité et stricte monotonie (bis)
Démonstration.Admis.
6 Extension aux fonctions à valeurs complexes
Cette ultime section vise à étendre brièvement les définitions et théorèmes précédents aux fonctions de la variable réelle à valeurs complexes.
6.1 Limites des fonctions
Soitf :D ÝÑCune fonction, aPD et `PC. On dit que f admet ` pour limite en alorsque la fonction réelle
|f´`| tend vers 0 en a. Dans ce contexte, le théorème d’unicité de la limite reste valable, ce qui autorise les notationslim
a f “` et lim
xÑafpxq “`.
Définition 53 – Limite d’une fonction en un point
Attention ! Comme pour les suites complexes, la notion de limite infinie n’a aucun sens pour les fonctions à valeurs complexes.
On dispose naturellement de résultats similaires à ceux obtenus pour les suites complexes.
Soitf :DÝÑCune fonction,aPD et`PC. Silim
a f “`, alors
(i) la fonction|f| tend vers|`|enaet, en particulier, la fonctionf est bornée au voisinage dea; (ii) la fonctionf tend vers`ena.
Théorème 54
Soitf :DÝÑCune fonction,aPD et`PC. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) lim
a f “`. (ii) lim
a Repfq “Rep`q et lim
a Impfq “Imp`q.
Théorème 55 – Caractérisation de la limite par les parties réelle et imaginaire
Exemple 56
• La fonction f :xpÝÑ 1
1`ix, définie surR, admet0pour limite en`8, car lim
xÑ`8|fpxq|“ lim
xÑ`8
? 1
1`x2 “0.
• La fonction f :xpÝÑ eix
x , définie surR˚, n’a pas de limite en0, puisque sa partie réellexpÝÑ cosx
x n’en a pas.
Les notions de limites à gauche et à droite, ainsi que la caractérisation de la limite en termes de limite à gauche et à droite, sont maintenues pour les fonctions complexes. La caractérisation séquentielle de la limite l’est également. Par ailleurs, les théorèmes opératoires sur les limites (addition, produit, quotient) restent valables, modulo la suppression des colonnes liées aux cas˘8des tables de la section2.1.
En revanche, les théorèmes cruciaux d’existence de limite de la section3(théorèmes d’encadrement / majoration / minoration et théorème de la limite monotone) n’ont aucun sens dans le cas complexe, dans la mesure où ces théorèmes s’appuient de façon essentielle sur la relation d’ordre deR.
6.2 Fonctions continues
Dans l’ensemble de ce paragraphe,I désigne un intervalle deRcontenant au moins deux points.
Soitf :IÝÑCune fonction etaPI.
• La fonctionf est ditecontinue enalorsquelim
a f existe. Le cas échéant, lim
a f “fpaq,f étant définie ena.
• La fonctionf est ditecontinue surIlorsqu’elle est continue en tout point deI. On noteCpI,Cq(ouC0pI,Cq) l’ensemble des fonctions continues surIà valeurs complexes.
Définition 57 – Continuité
Soitf :IÝÑCune fonction. La fonctionf est continue surI si et seulement siRepfqetImpfqle sont.
Théorème 58 – Caractérisation de la continuité
Les notions de continuité à gauche et à droite, ainsi que la caractérisation de la continuité en termes de continuité à gauche et à droite, sont aussi maintenues pour les fonctions complexes. La caractérisation séquentielle de la continuté l’est également. Par ailleurs, les théorèmes opératoires sur la continuité (combinaison linéaire, produit, quotient) restent valables. En revanche, les théorèmes fondamentaux de la section5 sont réservés aux fonctions à valeurs réelles.
Exemple 59
• Les fonctions polynomiale et les fractions rationnelles à coefficients complexes sont continues sur leurs ensembles de définition respectifs.
• Sif une fonction complexe est continue surI, il en va de même def,|f|et ef. En effet, on procède par opérations sur les fonctions réelles à partir des égalités
f “Repfq ´iImpfq, |f|“a
Repfq2`Impfq2 et ef “eRepfqcospImfq `ieRepfqsinpImfq.
A Annexe
Démonstration du théorème 6.
(i) Par l’absurde, supposons quef admet deux limites`et`1 distinctes. Il existe alorsV`etV`1 des voisinages respectifs de
`et`1 disjoints (point(ii)du théorème 23 du chapitre 10) et, par hypothèse, il existeVaetVa1deux voisinages deatels que
@xPVaXD, fpxq PV` et @xPVa1XD, fpxq PV`1. OrDXVaXVa1‰ Het, pour toutxPDXVaXVa1,fpxq PV`XV`1“ H. Contradiction ! (ii) Supposons queaPD,i.e.f est définie ena, et quef possède une limite ena, notée`.
• Par l’absurde supposons`“ `8. Il existe alors, par hypothèse, un voisinageVa deatel que, pour toutxPVaXD, fpxq P sfpaq,`8r. Pourx“aPVaXD, on auraitfpaq P sfpaq,`8r, ce qui est contradictoire !
On établit de même que`“ ´8est exclu. Ainsi`“R.
• Montrons que `“fpaq. Soitεą0, il existe, par hypothèse, un voisinageVa deatel que, pour toutxPVaXD, fpxq P s`´ε , ``εr. En particulier, pourx“a,|fpaq ´`|ăε. Nécessairement`“fpaq.
Démonstration du théorème 13. Traitons le point(i).
• Supposons quelim
a f“`. D’après le point(ii)du théorème6,fpaq “`. En outre, soitV`un voisinage de`.
Par hypothèse, il existe un voisinage Va de a tel que, pour tout x P VaXD, fpxq P V`. A fortiori, pour tout x P VaXDX s´8, ar,fpxq PV`, soitlim
a´
f“`, et de mêmelim
a`
f“`.
• Réciproquement, supposons quelim
a´
f“lim
a`
f“fpaq “`. Nécessairement`PR. Soitεą0, par hypothèses
5 il existeη´ą0tel que, pour toutxPD, a´η´ăxăa ùñ |fpxq ´`|ăε;
5 il existeη`ą0tel que, pour toutxPD, aăxăa`η` ùñ |fpxq ´`|ăε; or|fpaq ´`|“0ăε, ainsi, en posantη“min η´, η`(
on aηą0et, pour toutxPD,
|x´a|ăη ùñ |fpxq ´`|ăε,
soitlim
a f“`.
Démonstration du théorème 17. Contentons-nous de prouver(ii). Posons`“lim
a f.
• Si`“ `8, il existe un voisinageVa deatel que, pour toutxPDXVa,fpxq P sm ,`8r.
• Si`PR, sachant que`´mą0par hypothèse, il existe un voisinageVa deatel que
@xPVaXD, fpxq P s`´ p`´mq, `` p`´mqr Ă sm ,`8r. Dans les deux cas,fąmau voisinage dea.
Démonstration du théorème 19.
(i)ùñ(ii). Supposons quelim
a f “`. SoitpunqnPN une suite de limiteaà valeurs dans D. SoitV` un voisinage de`. Par hypothèse, il existe un voisinageVadeatel que, pour toutxPVaXD,fpxq PV`. Par ailleurs, il existe un rangN tel que, pour toutněN,unPVa, d’oùunPVaet finalementfpunq PV`.
(ii)ùñ(i). Traitons le cas particulier,a, `PR. Les autres cas étant similaires. Contraposons en supposant quef n’admet pas`pour limite ena. Il existe doncε0ą0tel que
@ηą0, DxPD, |x´a|ăη et |fpxq ´`|ěε0.
Pour toutnPN˚, l’assertion précédente fournit pourη“ 1
n un réelunPDtel que|un´a|ă 1
n et|fpunq ´`|ěε0. La suite punqně1 ainsi construite est à valeurs dansDet converge versa, tandis que la suitepfpunqqně1 n’admet pas`pour limite.
Démonstration du théorème 21.
1. Supposons quelim
a m“lim
a M “`et quemďfďM au voisinage dea. Soitεą0,
• il existe un voisinageVa deatel que, pour toutxPVaXD,mpxq ďfpxq ďMpxq;
• il existe un voisinageVa1deatel que, pour toutxPVa1XD,`´εămpxq;
• il existe un voisinageVa2deatel que, pour toutxPVa2XD,Mpxq ă``ε; alorsVaXVa1XVa2est un voisinage deaet, pour toutxPVaXVa1XVa2XD
`´εămpxq ďfpxq ďMpxq ă``ε ùñ |fpxq ´`|ăε, soitlim
a f“`.
2. Supposons quelim
a m“ `8et quefěmau voisinage dea. SoitAą0,
• il existe un voisinageVa deatel que, pour toutxPVaXD,fpxq ěmpxq;
• il existe un voisinageVa1deatel que, pour toutxPVa1XD,mpxq ąA;
alorsVaXVa1est un voisinage deaet, pour toutxPVaXVa1XD,fpxq ěmpxq ąA, soitlim
a f“ `8.
Démonstration 1 du point (i) du théorème46.
Montrons quef admet une borne supérieureM surra , bset qu’il existexP ra , bstel queM “fpxq.
• Par l’absurde, supposonsf non majorée surra , bs,i.e.
@APR, DxP ra , bs, fpxq ąA.
On peut alors construire une suitepxnqnPNd’éléments dera , bstelle que :
@nPN, fpxnq ěn. p‹q
Cette suite étant bornée par construction, on peut en extraire une sous-suite convergente` xϕpnq˘
nPNdont la limiteαest dansra , bs(théorème de Bolzano-Weierstrass). Commefest continue enα, on en déduit que`
f` xϕpnq
˘˘
nPN est une suite convergente donc bornée, ce qui est en contradiction avec la relationp‹q. Par conséquent,f est majorée surra , bs.
• Raisonnons à nouveau par l’absurde, en supposant queM “sup
ra,bs
f ne soit pas atteint,i.e.
@xP ra , bs, fpxq ‰M.
La fonctiong:xpÝÑ M´f1pxq est alors définie et continue surra , bs, comme inverse d’une fonction continue qui ne s’annule pas. Or, on a vu dans la première partie de la démonstration que toute application continue surra , bsest majorée. Soit doncAun majorant (strictement positif) deg. On a
@xP ra , bs, gpxq ďA ùñ @xP ra , bs, fpxq ďM´ 1
A. Le réel M´ 1
A est alors un majorant de f strictement plus petit queM, ce qui contredit le fait que M est la borne supérieure def surra , bs. Il existe doncxP ra , bstel queM “fpxq.
En appliquant ce qui précède à´f, on en déduit quef possède aussi une borne inférieure et que celle-ci est atteinte.
Démonstration 2 du point (i) du théorème46. Nous nous contentons là aussi de montrer quefpossède un maximum (il suffit de considérer´f pour le minimum). Nous donnons une seconde démonstration par dichotomie et introduisons pour cela la notion suivante
Soitf:ra , bs ÝÑRune fonction. Un intervallerc , ds Ă ra , bsest dit dominantpourf lorsqu’il vérifie
@xP ra , bs, DyP rc , ds, fpyq ěfpxq.
Définition 60 – Intervalle dominant pour une fonction
On dispose alors du lemme suivant
Soitf:ra , bs ÝÑRune fonction. Si l’intervallerc , ds Ă ra , bsest dominant pourfet sieP rc , ds, alors l’un des intervalles rc , esoure , dsest dominant pourf.
Lemme 61
Démonstration.Sirc , esest dominant pourf, c’est gagné. Sinon, il existex0P ra , bstel que, pour toutyP rc , es,fpx0q ąfpyq.
Or, puisque rc , dsest dominant pourf, il existey0P rc , dstel quefpy0q ěfpx0qet doncy0P re , ds. On en déduit le caractère dominant de re , ds. En effet, soitxP ra , bs. Il existe yP rc , dstel quefpyq ěfpxq. Soity P re , ds, c’est réglé, soit yP rc , es,
auquel casfpyq ăfpx0q ďfpy0q.
On supposef continue sur le segmentra , bs. On part dea0“aetb0“b. SoitnPN, supposons que l’on ait déjà construit des réelsa0, . . . , an, b0, . . . , bntels que
(i) a“a0ď. . .ďan, bnď. . .ďb0“b et, pour toutkPJ0, nK,bk´ak“b´a 2k ; (ii) pour toutkPJ0, nK,rak, bksest dominant pourf.
On définit alors au rangn`1les réelsan`1 etbn`1de la façon suivante :
$
’&
’%
an`1 “an et bn`1“an`bn
2 si
„
an,an`bn
2
est dominant pourf , an`1 “an`bn
2 et bn`1“bn sinon.
Dans la mesure où an`bn
2 est le milieu du segmentran, bnset en vertu du lemme précédent, les réelsan`1 etbn`1 satisfont les assertions(i)et(ii)au rangn`1.
Les suites panqnP
N et pbnqnP
N ainsi construites sont adjacentes d’après (i) et possèdent donc une limite finie commune cP ra , bs. Montrons quefpcq est le maximum def surra , bs. SoitxP ra , bs. Pour toutnPN, puisqueran, bnsest dominant pour f, il existe xn P ran, bnstel que fpxnq ě fpxq. Or, par encadrement, pxnqnPN converge versc et, par continuité de f, pfpxnqqnPNconverge versfpcq, qui vérifie, par passage à la limite,fpcq ěfpxq.
Démonstration du théorème 48(HP).
• D’après le TVI,fpIqest un intervalle. En outre, par stricte monotonie,fest injective surIet donc bijective deIsurfpIq.
• Stricte monotonie. Supposons f strictement croissante sur I et montrons qu’il en va de même de f´1 sur fpIq. Soit y1, y2 PfpIqavec y1 ăy2. Par injectivité def´1,f´1py1q ‰ f´1py2q et, par l’absurde, si f´1py1q ąf´1py2q, alors, par stricte monotonie def,y1“f`
f´1py1q˘ ąf`
f´1py2q˘
“y2 – absurde ! Ainsif´1py1q ăf´1py2q, comme souhaité.
• Continuité. Montrons quef´1 est continue surJ, en supposant par exemplef strictement croissante surI.
Soity0PJ. Il existex0PItel quey“fpx0q. Supposons quex0n’est pas une borne deI. Soitεą0tel querx0´ε , x0`εs Ă I. Posonsy1“fpx0´εqety2“fpx0´εq. On a doncy1, y2PJety1ăy0ăy2, par stricte croissance def, ce qui permet de définirη“minty0´y1, y2´y0u ą0. On a alors
@yPJ, |y´y0|ăη ùñ y1ăyăy2 ùñ x0´εăf´1pyq ăx0`ε ðñ
f´1pyq ´f´1py0q ăε, par stricte croissance def´1 surJ, ce qui exprime la continuité def´1 eny0.
Six0est une borne de l’intervalleI, on modifie légèrement la démonstration, en considérantrx0, x0`εsourx0´ε , x0sau lieu derx0´ε , x0`εs.
