1) Continuité sous le signe

Intégrales dépendant d’un paramètres : démonstrations

Dans tout ce qui suit,KdésigneR ou CetA etI sont deux intervalles deR.

1) Continuité sous le signe

Soit f :A×I →K telle que :

•pour touttdeI,x→f(x, t) est continue sur A ;

•pour toutx deA,t→f(x, t) est continue par morceaux surI ;

•il existeϕ, continue par morceaux et intégrable sur I, vérifiant :

∀(x, t)∈A×I |f(x, t)| ≤ϕ(t) (hypothèse de domination).

Alors pour toutx deA, la fonction t→f(x, t)est intégrable sur I et g:x→

I

f(x, t) dtest définie et continue surA.

Dém. Déjà grâce à l’hypothèse de domination g est définie sur A. Pour la continuité de g en a (fixé dans A), j’utilise la caractérisation séquentielle. Soit (x_n) une suite d’éléments de A convergeant vers aet(fn) la suite de fonctions deI dans Kdéfinie par

∀n∈R ∀t∈I f_n(t) =f(xn, t).

Par continuité dex→f(x, t),(f_n)CVS surIvers la fonctiont→f(a, t), qui est continue par morceaux sur I.

Alors l’hypothèse de domination de l’énoncé permet d’appliquer le théorème de convergence dominée, qui donne notamment

I

fn(t) dt −→

n→∞

I

f(a, t) dt autrement dit g(xn) −→

n→∞g(a).

Cela pour toute suite (x_n) d’éléments de A convergeant vers a. Donc g est continue en a, cela pour tout ade A,cqfd.

2) Dérivation sous le signe — Formule de Leibniz

Soit f :A×I →K telle que :

•pour touttdeI,x→f(x, t) est de classeC¹ sur A ;

•pour toutx deA, la fonction t→f(x, t)est continue par morceaux et intégrable surI ;

•pour toutx deA,t→∂f

∂x(x, t) est continue par morceaux sur I ;

•il existeψ, continue par morceaux et intégrable surI, vérifiant :

∀(x, t)∈A×I ∂f

∂x(x, t) ≤ψ(t) (hypothèse de domination).

Alors g:x→

I

f(x, t) dtest définie et de classe C¹ sur Aavec :

∀x∈A g^′(x) =

I

∂f

∂x(x, t) dt (formule de Leibniz). Dém.D’après les hypothèses,g est définie surA. Je fixea∈A et je pose :

∀(x, t)∈A×I h(x, t) = f(x, t)−f(a, t)

x−a si x=a et h(a, t) = ∂f

∂x(a, t) de sorte que

∀x∈A x=a⇒ g(x)−g(a) x−a =

I

h(x, t) dt.

Intégrales dépendant d’un paramètres : démonstrations Page 2 Il s’agit donc de montrer que la fonction x →

I

h(x, t) dt est continue en a, or les hypothèses du théorème de continuité sous le signe sont satisfaites (utiliser l’inégalité des accroissements finis pour montrer que|h(x, t)|est dominé par ψ(t)). Il en résulte que

g(x)−g(a) x−a −→

x→a I

∂f

∂x(a, t) dt autrement dit gest dérivable en aetg^′(a) =

I

∂f

∂x(a, t) dt, cela pour toutade A.

Reste à montrer que g^′ est continue mais là encore les hypothèses du théorème de continuité sous le signe sont vérifiées,cqfd.

3) Extension au cas

Dans le cas où les dérivées successives ne se dominent pas facilement, on dispose du théorème suivant où il suffit de dominer la dernière dérivée.

Soient k∈N^∗ etf :A×I →Ktelle que :

•pour touttdeI,x→f(x, t) est de classeC^k sur A;

•pour tout x de A et tout j de [[0, k−1]] la fonction t → ∂^jf

∂x^j (x, t) est continue par morceaux et intégrable surI ;

•pour toutx deA,t→∂^kf

∂x^k (x, t) est continue par morceaux surI ;

•il existeψ_k, continue par morceaux et intégrable sur I, vérifiant :

∀(x, t)∈A×I ∂^kf

∂x^k(x, t) ≤ψ_k(t) (hypothèse de domination).

Alors g:x→

I

f(x, t) dtest définie et de classe C^k surA avec :

∀j∈[[1, k]] ∀x∈A g^(j)(x) =

I

∂^jf

∂x^j (x, t) dt (formule de Leibniz).

Dém.Par récurrence surk. On peut supposer que A est un segment[a, b], oùa < b (ce qui permettra de démontrer que gest C^k sur tout segment inclus dans A. . . ).

Au rangk= 1, il s’agit du théorème du §2.

Hypothèse de récurrence : soitk≥1 tel que le théorème soit vrai au rang k.

Je considère alors une fonctionf vérifiant les hypothèses du théorème au rangk+ 1.

Je montre que ∂^kf

∂x^k est dominée grâce à l’inégalité des accroissements finis :

∀x∈[a, b] ∀t∈I ∂^kf

∂x^k (x, t) ≤ψ_k(t) = ∂^kf

∂x^k(a, t) + (b−a)ψ_k+1(t) et la fonctionψ_k est intégrable sur I comme somme de deux fonctions intégrables.

Je peux alors appliquer le théorème au rangk (hypothèse de récurrence) à la fonction f : j’en déduis queg est de classeC^k sur[a, b]et que ses dérivées jusqu’à l’ordre k sont données par dérivation sous le signe .

Il n’y a plus qu’à appliquer le théorème à l’ordre 1 à la fonction g^(k) ! Il en résulte que le théorème est vrai au rang k+ 1,cqfd.