II - Etude de la dérivabilité de R en 0

(1)

SESSION 2019

Concours commun Mines-Ponts

DEUXIÈME ÉPREUVE. FILIÈRE PC

I - Préliminaires

1)Pourn∈N^∗ et x∈R, on poseu_n(x) = sin n²x

n² de sorte que R=

+∞

X

n=1

u_n.

Soitx ∈ R. Pour tout n∈ N^∗,

sin n²x n²

6 1

n². Puisque la série de terme général 1

n², n ∈N^∗, converge, la série de terme généralun(x),n∈N^∗, converge absolument et donc converge. On en déduit queR(x)existe dansR. Ceci montre que la fonctionRest définie surR.

Soitn∈N^∗. Pour tout réel x,

sin n²x n²

6 1

n² et doncku_nk^∞ 6 1

n². La série de terme général 1

n²,n∈N^∗, converge et donc la série de terme généralkunk^∞, n ∈ N^∗, converge. Ainsi, la série de fonctions de terme général un, n ∈ N^∗, converge normalement et donc uniformément surR. De plus, chaque fonctionun est continue surRet donc la fonctionR est continue surR.

2)La fonctionf : x7→ sin x²

x² est continue sur]0,+∞[. Ensuite, sin x²

x² ∼

x→0⁺

x²

x² =1. La fonctionf se prolonge par continuité en0à droite et donc la fonctionfest intégrable sur un voisinage de0à droite. D’autre part,|f(x)| =

x→+∞O 1

x²

et doncfest intégrable sur un voisinage de+∞.

Finalement,f est intégrable sur]0,+∞[et en particulier, Z+∞

0

sin x²

x² dxest une intégrale convergente.

3)Soitx∈R. La fonctiont7→f(t)e^−ixt est continue par morceaux surRet pour tout réelt,f(t)e^−ixt=|f(t)|. Puisque fest intégrable surR, il en est de même de la fonctiont7→f(t)e^−ixt. Ainsi, la fonctionfbest définie surR.

Soit Φ : R² → C

(x, t) 7→ f(t)e^−ixt

de sorte que pour tout réel x,f(x) =b Z+∞

−∞

Φ(x, t)dt.

• pour tout réelx, la fonctiont7→Φ(x, t)est continue par morceaux surR,

• pour tout réelt, la fonctiont7→Φ(x, t)est continue sur R,

• pour tout(x, t)∈R², la fonction|Φ(x, t)|=|f(t)|où|f|est continue par morceaux, positive et intégrable surR, D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionbfest continue surR.

II - Etude de la dérivabilité de R en 0

4)Soith > 0. Pour toutn∈N^∗,|f(nh)|6 C

n²h²+1 6 C

n²h². Puisque la série de terme général C

n²h²,n∈N^∗, converge, la série de terme généralf(nh)est absolument convergente et donc convergente. Donc,S(h)existe dansC.

5)La fonctionφh est continue par morceaux sur[0,+∞[. De plus, pourt>0,

|φh(t)|=

f

t h

h6 C

t h

h 2

+1 Puisque t

h −1 6 t

h

6 t h, on a

t h

t→∼+∞

t

h puis C

t h

h 2

+1

t→∼+∞

C

t²+1. Ceci montre que la fonction t 7→

C t h

h 2

+1

est intégrable sur[0,+∞[et il en est de même de la fonction φh.

(2)

Soit n ∈ N. Pour t ∈ [nh,(n+1)h[, on a n 6 t

h < n+1 et donc φh(t) = f(nh). Par suite,

Z(n+1)h

nh

φh(t) dt = Z(n+1)h

nh

f(nh)dt=hf(nh). Mais alors, Z+∞

0

φh(t)dt=

+∞

X

n=0

Z(n+1)h

nh

φh(t)dt=h

+∞

X

n=0

f(nh) =S(h).

6)Soienth∈]0, 1] ett>1. Alors, t

h

> t

h −1 puish t

h

>t−h>t−1>0puis

h t

h 2

>(t−1)²et donc

|φ_h(t)|=

f

t h

h

6 C t

h

h 2

+1

6 C

1+ (t−1)².

7)D’autre part, Sit∈[0, 1[eth∈]0, 1], alors 06 t

h

h6 t

h×h=t61 et donc f

t h

h

6C. En résumé,

∀t∈[0,+∞[, ∀h∈]0, 1], |φ_h(t)|6







Csit∈[0, 1[

C

1+ (t−1)² sit∈[1,+∞[ =ϕ(t).

La fonctionϕ est continue par morceaux sur[0,+∞[, positive et intégrable sur[0,+∞[ car dominée par 1

t² en+∞.

•Montrons alors que pour toute suite(h_n)_n∈_Nde réels éléments de]0, 1]et tendant vers0quandntend vers+∞, la suite (S(h_n))_n∈Nconverge vers

Z+∞

0

f(t)dt. Soit donc(h_n)_n∈Nune suite de réels éléments de]0, 1]et tendant vers0quandn tend vers+∞.

Soitt>0. Pour touth > 0,t−h=h t

h −1

6h t

h

6ht

h =t. Le théorème des gendarmes permet d’affirmer que

hlim→0⁺h t

h

=t. Pat continuité defent, on en déduit que lim

h→0⁺φh(t) =f(t). Puisque la suite (hn)_n∈N tend vers0, on en déduit que lim

n→+∞φhn(t) =f(t).

Ainsi, la suite de fonctions (φ_n)converge simplement vers la fonction f sur [0,+∞[. De plus, la fonction fest continue par morceaux sur[0,+∞[.

En résumé,

- pour chaquen∈N, la fonction φ_n est continue par morceaux sur[0,+∞[,

- la suite de fonctions(φn)converge simplement versfsur[0,+∞[et la fonctionfest continue par morceaux sur[0,+∞[,

- il existe une fonctionϕ, continue par morceaux, positive et intégrable sur[0,+∞[telle que pour toutn∈Net tout t∈[0,+∞[,|φn(t)|6ϕ(t).

D’après le théorème de convergence dominée lim

n→+∞

Z+∞

0

φhⁿ(t)dt= Z+∞

0

f(t)dtou encore lim

n→+∞S(h_n) = Z+∞

0

f(t)dt.

Ceci étant vrai pour toute suite(h_n)_n∈_Nd’éléments de]0, 1]convergeant vers0, on a montré que

hlim→0S(h) = Z+∞

0

f(t)dt.

8)Pourt∈R, posonsf(t) =







sin t²

t² sit6=0 1sit=0

. La fonctionfest continue surRet de plus, pour t6=0

t²+1

|f(t)|=

1+ 1

t² sin t²62

ce qui reste vrai quandt=0. Donc, la fonctionf vérifie les conditions de l’énoncé. On en déduit que rπ

2 = Z+∞

0

f(t)dt= lim

h→0⁺h

+∞

X

n=0

f(nh)

!

= lim

h→0h 1+

+∞

X

n=1

sin n²h² h²

!

= lim

h→0 h+R h² h

! ,

puis que lim

h→0

R h²

h =

rπ

2. Par suite, R(x)

√x ∼

x→0⁺

rπ

2 et finalement

(3)

R(x) ∼

x→0⁺

rπx 2 . En particulier, la fonctionRn’est pas dérivable en0car R(x) −R(0)

x−0 ∼

x→0⁺

rπ 2x →

x→0⁺+∞.

III - Formule sommatoire de Poisson

9)Pourx∈R, posonsF₁(x) =

+∞

X

n=0

f(x+2nπ)et F₂(x) =

+∞

X

n=1

f(x−2nπ)de sorte queF(x) =F₁(x) +F₂(x). Vérifions que les fonctionsF1 etF2 sont définies et continues surR.

Soitx∈R. Pour toutn∈N,(x+2nπ)²+1 > 0puis|f(x+2nπ)|6 C1

(x+2nπ)²+1. La série numérique de terme général C1

(x+2nπ)²+1, n∈N, converge et donc la série numérique de terme généralf(x+2nπ), n∈N, converge. Donc, F1(x) existe. La fonctionF1est définie surR.

De même, la série numérique de terme général C2

(x−2nπ)²+1, n ∈ N^∗, converge et donc la série numérique de terme général f(x−2nπ), n ∈ N^∗, converge. Donc, F2(x) existe. La fonction F2 est définie sur R et finalement, la fonction F=F1+F2est définie surR.

Pour n ∈N et x∈ R, posons un(x) = f(x+2nπ) de sorte que F1 =

+∞

X

n=0

un. SoitA ∈R. Pour tout n >−A

2 et tout x∈[A,+∞[,

|un(x)|6 C1

(x+2nπ)²+1 6 C1

(A+2nπ)²+1. puiskunk^∞,[A,+∞[6 C1

(A+2nπ)²+1. On en déduit que la série de fonctions de terme généralun converge normalement et donc uniformément sur[A,+∞[. Puisque chaque fonctionun est continue sur[A,+∞[, la fonctionF1est continue sur [A,+∞[. Ceci étant vrai pour tout réel A, on a montré que la fonctionF1est continue sur R.

Pour n ∈ N^∗ et x ∈ R, posons vn(x) = f(x−2nπ) de sorte que F2 =

+∞

X

n=1

vn. Soit A ∈ R. Pour tout n > A

2 et tout x∈[A,+∞[, on ax−2nπ>A−2nπ>0puis

|v_n(x)|6 C1

(x−2nπ)²+1 6 C1

(A−2nπ)²+1. puiskvnk∞,[A,+∞[6 C1

(A−2nπ)²+1. On en déduit que la série de fonctions de terme généralvn converge normalement et donc uniformément sur[A,+∞[. Puisque chaque fonctionv_n est continue sur[A,+∞[, la fonctionF₂ est continue sur [A,+∞[. Ceci étant vrai pour tout réel A, on a montré que la fonctionF₂est continue sur R.

Finalement, la fonctionF=F1+F2est continue surR.

Soitx∈R. Puisque la fonctionn7→n+1 est une bijection deZsur lui-même, F(x+2π) =X

n∈Z

f(x+2π+2nπ) =X

n∈Z

f(x+2(n+1)π) = X

m∈Z

f(x+2mπ) =F(x).

La fonctionF est2π-périodique.

10)Pourx∈R, posonsG1(x) =

+∞

X

n=0

b

f(n)e^inxetG2(x) =

+∞

X

n=1 +∞

X

n=1

b

f(n)e^−inx de sorte queG(x) =G1(x) +F2(x). Vérifions que les fonctionsG1 etG2 sont définies et continues surR.

Pourn∈Netx∈R, posonsu_n(x) =f(n)eb ^inxde sorte queG₁=

+∞

X

n=0

u_n. Pour toutn∈Net toutxréel,|u_n(x)|=bf(n)6 C2

n²+1 puiskunk∞6 C2

n²+1. Ceci montre que la série de fonctions de terme généralun,n∈N, converge normalement et en particulier uniformément et simplement surR. Puisque chaque fonctionunest définie et continue surR, la fonction

(4)

G₁ est définie et continue sur R. En conjuguant, on obtient le fait que la fonction G₂ est définie et continue sur R et finalement, la fonctionGest définie et continue surR.

Soitx∈R.

G(x+2π) =X

n∈Z

b

f(n)e^inxe^2inπ=X

n∈Z

b

f(n)e^inx=G(x).

Donc,Gest 2π-périodique.

11)Les fonctionsFet Gsont donc des éléments de C2π. Vérifions que pour toutp∈Z,c_p(G) =c_p(2πF).

Soit p ∈ Z. c_p(G) = 1 2π

Z2π

0

X

n∈Z

b

f(n)eî(n−p)t dt. Comme à la question précédente, les séries de fonctions de termes généraux respectifst7→bf(n)eî(n−p)t,n∈N, ett7→bf(n)eî(−n−p)t,n∈N^∗, converge normalement et donc uniformément sur le segment[0, 2π]. Chacune de ces fonctions étant continue sur [0, 2π], on peut intégrer chacune des deux séries de fonctions terme à terme et on obtient

cp(G) = X

n∈Z

1 2π

Z2π

0

b

f(n)e^i(n−p)tdt= 1 2π

Z2π

0

b

f(p)dt+ X

n6=p

1 2πbf(n)

e^i(n−p)t i(n−p)

^2π

0

=bf(p)

Ensuite,c_p(2πF) = Z2π

0

X

n∈Z

f(t+2nπ)e^ipt

! dt=

Z2π

0 +∞

X

n=0

f(t+2nπ)e^ipt

! dt+

Z2π

0 +∞

X

n=1

f(t−2nπ)e^ipt

! dt.

Pourn∈Nett∈[0, 2π], posonsfn(t) =f(t+2nπ)e^ipt. Pour toutn∈Net toutt∈[0, 2π], f(t+2nπ)e^ipt=|f(t+2nπ)|6 C1

(t+2nπ)²+1 6 C1

4n²π²+1, puiskfnk∞6 C1

4n²π²+1. La série de fonctions de terme généralfn,n∈N, converge normalement et donc uniformément sur le segment[0, 2π]. On peut donc intégrer terme à terme. De même, on peut intégrer terme à terme la somme

+∞

X

n=1

f(t−2nπ)e^ipt et on obtient finalement

cp(2πF) =X

n∈Z

Z2π

0

f(t+2nπ)e^iptdt=X

n∈Z

Z2(n+1)π

2nπ

f(u)e^ip(u−2nπ)du=X

n∈Z

Z2(n+1)π

2nπ

f(u)e^ipudu

= Z+∞

−∞

f(u)e^ipudu=bf(p).

Finalement, pour toutp∈Z,c_p(G) =c_p(2πF) =bf(p). PuisqueGet2πFsont dansC2π, on en déduit queG=2πFd’après le résultat admis par l’énoncé.

12)Soita > 0. Pourt∈R, posonsf1(t) =f at

2π

. La fonctionf1est continue surR. Ensuite, pourt∈R,

|f1(t)|= f

at 2π

6 C1

a²t² 4π² +1

= C1

t²+1× t²+1 a²t²

4π² +1 .

La fonctiont7→ t²+1 a²t²

4π² +1

et continue surRet a une limite réelle en+∞et −∞. Donc, cette fonction est bornée surR.

Si on noteMun majorant de cette fonction surR, alors pour tout réelt,|f₁(t)|6 C₁^′

t²+1 oùC₁^′ =C₁M.

Ensuite, pourx ∈ R, fb1(x) = Z+∞

−∞

f at

2π

e^−ixt dt = Z+∞

−∞

f(u)e^−ix^2πu^a 2π

adu = 2π a bf

2πx a

puis, comme précédem- ment, il existe une constanteC₂^′ telle que pour tout réelx, bf1(x)6 C₂^′

x²+1. On en déduit que Xf(na) =X

f1(2nπ) = 1 2π

Xfb1(n) = 1 a

Xfb 2nπ

a

.

(5)

IV - Etude de la dérivabilité de R en π

13)Soitt∈R^∗. e^it² =

+∞

X

n=0

iⁿt²ⁿ n! puis f(t) = 1

t²

+∞

X

n=0

iⁿt²ⁿ n! −1

!

=

+∞

X

n=1

iⁿt²⁽ⁿ⁻¹⁾

n! =

+∞

X

n=0

iⁿ⁺¹t²ⁿ (n+1)! =i+

+∞

X

n=1

iⁿ⁺¹t²ⁿ (n+1)!, ce qui reste vrai quandt=0. Ainsi,

∀t∈R, f(t) =i+

+∞

X

n=1

iⁿ⁺¹t²ⁿ (n+1)!.

Puisquefest développable en série entière surR,fest en particulier de classeC^∞ surR. 14)Pourt∈R^∗,

f^′(t) = 1 t²

2ite^it²

− 2 t³

e^it²−1

=2 1

t³+ie^it² t −e^it²

t³

! .

Ensuite, pour t ∈ R^∗, |f^′(t)| 6 2



 1

|t|³+

|i|e^it²

|t| +

e^it²

t²



 = 2 1

|t|³+ 1

|t|+ 1

t²

. Ceci montre que lim

t→±∞f^′(t) = 0.

Ensuite, pourt∈R,

f^′′(t) =2 −3

t⁴−2e^it²−ie^it²

t² −2ie^it²

t² +3e^it² t⁴

!

= −4e^it²−6ie^it²

t² +6e^it² t⁴ − 6

t⁴. Puisquee^it²=1, −6ie^it²

t² +6e^it² t⁴ − 6

t⁴ =

t→+∞O 1

t²

+O 1

t⁴

t→=+∞O 1

t²

et finalement, f^′′(t) =

t→+∞

−4e^it²+O 1

t²

.

15)La fonctionx7→e^ix² est continue surR. Montrons la convergence de Z+∞

1

e^ix² dx. SoitA > 1. En posantt=x²puis en effectuant ne intégration par parties, on obtient

ZA

1

e^ix

2

dx= 1 2

ZA²

1

e^it

√t dt= 1 2



 e^it i√

t ^A²

1

+ 1 2i

ZA²

1

e^it t^3/2 dt





= e^iA² 2iA −eⁱ

2i+ 1 4i

ZA²

1

e^it t^3/2 dt.

La fonctiont 7→ e^it

t^3/2 est continue sur [1,+∞[ et dominée par 1

t^3/2 en +∞. Puisque 3

2 > 1, la fonctiont 7→ e^it t^3/2 est intégrable sur[1,+∞[. En particulier, l’intégrale

Z+∞

1

e^it

t^3/2 dtconverge en+∞. D’autre part, puisque

e^iA² 2iA = 1

2A, e^iA² 2iA tend vers0 quand Atend vers +∞ et en particulier converge en+∞. Finalement, l’intégrale

Z+∞

1

e^ix² dxconverge en +∞. Par parité, l’intégrale

Z1

−∞

e^ix²dxest aussi une intégrale convergente et finalement

l’intégrale Z+∞

−∞

e^ix

2

dxest convergente.

16)Soitx∈R^∗. SoientAetBdeux réels tels queA < B. Une intégration par parties fournit ZB

A

f(t)e^−itxdt=

−1

ixf(t)e^−itx B

A

+ 1 ix

ZB

A

f^′(t)e^−itx dt.

(6)

Puisque −1

ixf(t)e^−itx

= |f(t)|

x et que |f(t)| →

t→±∞

0, on en déduit −1

ixf(t)e^−itx →

t→±∞

0. QuandAtend vers+∞et B tend vers−∞, on obtient

f(x) =b Z+∞

−∞

f(t)e^−ixtdt= 1 ix

Z+∞

−∞

f^′(t)e^−ixt dt= −i xfb^′(x).

En appliquant ce résultat à la fonctionf^′ et en tenant compte def^′(t)_t_→→

±∞0, on obtient b

f(x) =

−i x −i

x

fc^′′(x) = − 1

x²cf^′′(x) = −1 x²

Z+∞

−∞

f^′′(t)e^−ixtdt.

D’après la question 14,f^′′(t) = −4e^it² +g(t) où g(t) →

t→±∞

O 1

t²

de sorte que gest une fonction intégrable sur R. Ensuite, en posantu=t− x

2, Z+∞

−∞

e^it²e^−itxdt= Z+∞

−∞

eⁱ(^t−^x2)²⁻ⁱ^x4² dt=e⁻^x

2 4

Z+∞

−∞

e^−iu²du=Ie⁻ⁱ^x

2 4 .

Finalement,

x²bf(x)=

Z+∞

−∞

−4e^it²+g(t)

e^−itxdt =

Ie⁻ⁱ^x

2 4 +

Z+∞

−∞

g(t)e^−itxdt 6|I|+

Z+∞

−∞

|g(t)|dt.

Ceci montre quef(x)b =

x→±∞O 1

x²

. 17)Soitx > 0.

X

n∈Z

f n√ x

=i+2

+∞

X

n=1

eⁱⁿ²^x−1

n²x =i+2F(x) −F(0)

x .

Maintenant,f étant paire, le changement de variablesu= −tmontre que bfest paire. D’après la formule sommatoire de Poisson,

i+2F(x) −F(0)

x =X

n∈Z

f n√ x

= 1

√x X

n∈Z

bf 2nπ

√x

= bf(0)

√x + 2

√x

+∞

X

n=1

fb 2nπ

√x

.

et finalement

F(x) =F(0) +bf(0) 2

√x− i 2x+√

x

+∞

X

n=1

bf 2nπ

√x

.

Ensuite, une intégration par parties fournit b

f(0) = Z+∞

−∞

e^it²−1 t² dt=

"

−e^it²−1 t

#+∞

−∞

− Z+∞

−∞

−2ite^it²

t dt=2i Z+∞

−∞

e^it² dt=2iI.

Ensuite, puisquef(t)b =

t→+∞O 1

t²

, il existeA > 0et M > 0tels que, pourt>A, |f(t)|6M

t². Soit alorsx∈

0,4π² A²

. On a donc 2π

√x >Apuis, pour tout n∈N^∗, 2nπ

√x >A. Pour toutx∈

0,4π² A²

, on a donc

+∞

X

n=1

bf 2nπ

√x 6

+∞

X

n=1

fb

2nπ

√x 6

+∞

X

n=1

M √

x 2nπ

²

= Mx π²

+∞

X

n=1

1 n². Ceci montre que

+∞

X

n=1

fb 2nπ

√x

=

x→0⁺O(x)puis que F(x) =

x 0⁺ F(0) +iI√ x− i

2x+O x^3/2

.

(7)

18)Soitx∈R. Pourn∈N^∗,n²est pair si et seulement sin est pair et donc, pour toutn∈N^∗,eⁱⁿ²^π=e^inπ = (−1)ⁿ puis

F(x+π) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿeⁱⁿ²^x n² = −

+∞

X

p=0

e^i(2p+1)²^x (2p+1)² +

+∞

X

p=1

e^i(2p)²^x (2p)² = −

+∞

X

n=1

eⁱⁿ²^x n² +

+∞

X

p=1

e^i(2p)²^x (2p)² +

+∞

X

p=1

e^i(2p)²^x (2p)²

= −F(x) +2 4

+∞

X

p=1

e^i4p²^x

p² = −F(x) + 1 2F(4x).

19)On note queR=Im(F). D’après les questions précédentes,

F(π+x) = −F(x) + 1 2F(4x)

x→=0⁺ −

F(0) +iI√ x− i

2x+O x^3/2

+ 1 2

F(0) +2iI√

x−2ix+O x^3/2

x→=0⁺ −F(0) 2 − i

2x+o(x) (∗)

PuisqueF(0)est réel et queR(π) =0, en passant à la partie imaginaire dans(∗), on obtient

R(π+x) =Im(F(π+x))

=

x→0⁺Im

−F(0) 2 − i

2x+o(x)

=

x→0⁺−x 2 +o(x)

x→=0⁺R(π) − x

2 +o(x).

Ainsi, la fonctionx7→R(π+x)admet un développement limité d’ordre 1 en0à droite et donc la fonctionRest dérivable enπà droite et de plusR^′(π) = −1

2.