cx + d avec c 6= 0 donc c’est une fonction homographique.

Seconde Correction Devoir surveillé 6 _2010-2011

EXERCICE 1 :

On considère la fonction h définie par h(x) = 2x − 1 x + 2 1. h est de la forme x 7−→ ax + b

cx + d avec c 6= 0 donc c’est une fonction homographique.

Son ensemble de définition est ] − ∞; −2[∪] − 2; +∞[ car x + 2 = 0 ⇔ x = −2.

2. Prouver que les deux affirmations suivantes sont vraies

∗ 2x − 1 = 0 ⇔ x = 0.5 donc h(0.5) = 0 et il existe bien un nombre réel x tel que h(x) = 0.

∗ Pour x 6= −2, h(x) = 0.5 ⇔ 2x − 1

x + 2 ⇔ 2x − 1 = 0.5(x + 2) ⇔ 1.5x = 2 ⇔ x = 4

3 . Il existe bien un nombre x tel que h(x) = 0.5 c’est 4

3 .

3. Prouver que les deux affirmations suivantes sont fausses

∗ Par exemple h(1) = 1

3 > 0. L’affirmation est fausse pusque l’on a un contre-exemple.

∗ h(0.1) < 0 : c’est un contre-exemple donc l’affirmation est fausse.

4. Pour tout x 6= −2, 2 − 5

x + 2 = 2(x + 2) x + 2 − 5

x + 2 = 2x + 4 − 5

x + 2 = h(x).

5. h est croissante sur ] − 2; +∞[ :

On choisit a et b dans ] − 2; +∞[ tels que :

∗ − 2 < a < b puis on ajoute 2

∗ 0 < a + 2 < b + 2 puis on range les "inverses positifs"

∗ 1

a + 2 > 1

b + 2 puis on multiplie par −5

∗ − 5

a + 2 < − 5

b + 2 puis on ajoute 2

∗ 2 − 5

a + 2 < 2 − 5

b + 2 ⇔ h(a) < h(b)

Les images sont "rangées" dans le même sens que les antécédents donc la fonction h est croissante sur ] − 2; +∞[

6. Courbe C

et ses asymptotes :

∗ − 2 est une valeur interdite donc x = −2 est l’équation de l’asymptote verticale.

∗ y = a

c = 2 est l’équation de l’asymptote horizontale.

∗ h(0) = −0.5 donne les "quartiers" où se situent les 2 branches de l’hyperbole.

O ~i

~j

asymptote : y = 2 asymptote : x = −2

EXERCICE 2 :

Variations de la résistance R (en Ω) de la sonde de "température d’eau" en fonction de la température T (en ˚ C) du liquide de refroidissement sont données par :

R = 0.58T

− 116T + 6000 (avec 0 6 T 6 150)

1. 0.58(T − 100)

+ 200 = 0.58(T

− 200T + 10000) + 200 = 0.58T

− 116T + 5800 + 200 = R

2. Pour tout T , 0.58(T − 100)

> 0 ⇔ 0.58(T − 100)

+ 200 > 200 ⇔ R > 200. De plus, pour T = 100 , R = 200 donc 200 constitue bien un minimum pour R et il est atteint pour T = 100.

EXERCICE 3 :

Ligne de saisie du logiciel Geogebra, l’expression suivante définir une fonction f : f (x) = Si[x 6 1, −2

x − 2 , − 1

2 x

+ 3x − 1 2 ] 1. −2 6 1 donc on choisit l’expression −2

x − 2 et cela donne f (−2) = 0.5 et etc ... f (0) = 1 f (1) = 2 En revanche, comme 3 > 1, on utilise l’expression − 1

2 x

+ 3x − 1

2 et f (3) = 4.

My Maths Space NOM : 1 sur 2

Seconde Correction Devoir surveillé 6 _2010-2011

2. α et β sont les coordonnées du sommet S de la parabole représentant f sur l’intervalle ]1; +∞[ donc : α = − b

2a = − 3

2 × (−0.5) = 3 et β = f (3) = 4 donc − 1

2 x

+ 3x − 1 2 = − 1

2 (x − 3)

+ 4 ? 3. Dans un repère (O; − →

i ; − →

j ), construire la courbe de la fonction f . (prendre 1 carreau pour une unité sur les deux axes)

O ~i

~j

” f ronti è re ”

” partie ” de parabole

” partie ” d

hyperbole

My Maths Space NOM : 2 sur 2