→ \ dérivable à droite en 0 et telle que f ( ) 0 = 0 .

PanaMaths Décembre 2017

Soit : 0 ;1 f

^⎡_⎣ ^⎤_⎦

→ \ dérivable à droite en 0 et telle que ^f ( ) ^{0 = 0 .}

Etudier la suite ( ) u

n

où :

*

1 2

,

n n

k

n u f k

=

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∀ ∈ ^` = ∑

Analyse

Dans cet exercice, il est essentiel de revenir aux fondamentaux, à savoir traduire la dérivabilité de f à droite en 0…

Résolution

Notons f ^'d

( )

⁰ le nombre dérivé de f à droite en 0.

On a, pour tout réel x de l’intervalle

[ ]

0 ; 1 , en tenant compte de ^f

( )

^{0 =0 :}

( ) ( )

^{0 '}d

( )

⁰

( )

^'d

( )

⁰

( )

f x = f + f x+xε x = f x+xε x

où

( )

0 0

lim 0

x x

ε x

→>

= .

On a alors, pour tout entier naturel n non nul :

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1

2 2 2

1

2 2 2

1 1

2 2 2

1

2 2

1

' 0

' 0 1

' 0 1 1

2

1 1

' 0 2

n n

k n

d k

n n

d

k k

n d

k n d

k

u f k n

k k k

f n n n

f k

k k

n n n

f n n k

n n k n

n k

f k

n n n

ε ε

ε ε

=

=

= =

=

=

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝ × + × ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞

= + ⎜⎝ × ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

+ ⎛ ⎛ ⎞⎞

= × + ⎜⎝ × ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

+ ⎛ ⎛ ⎞⎞

= × + ⎜⎝ × ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

On a immédiatement :

( )

1 ^'

( )

⁰ 1 ^'

( )

^{0 '}

( )

⁰

lim ' 0 lim 1

2 2 2 2

d d d

n d n

f f f

n n

f n n

→+∞ →+∞

+ +

× = × = × = .

PanaMaths Décembre 2017

On s’intéresse donc à _{2 2}

1

1 ⁿ

k

k k

n ε n

=

⎛ ⎛ ⎞⎞

× ⎜ ⎟

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

∑

et à la limite éventuelle de cette quantité quand n tend vers l’infini.

Notons d’abord que l’on a :

a b

2 2

1 1

1 ; , k

k n

n n n

∀ ∈ ≤ ≤ .

Soit alors ε >0 fixé.

Comme

( )

0 0

lim 0

x x

ε x

→>

= , il existe un réel x₀ dans l’intervalle

[ ]

0 ; 1 tel que :

[

0 ; 0

] ( )

x∈ x ⇒ ε x <ε On en déduit l’existence d’un entier naturel N tel que :

a b

1 ; , k2

n N k n

ε^⎛n ^⎞ ε

> ⇒ ∀ ∈ ⎜⎝ ⎟⎠ <

Soit alors un entier naturel n quelconque tel que n>N. On a :

( )

( )

2 2 2 2

1 1

2 2

1

2 2

1

2 1

2 1

2

1 1

1

1

1

1 2 1 2

n n

k k

n

k n

k n

k n

k

k k

k k

n n n n

k k

n n

k k

n n

n k

n k n n n

n n

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

= =

=

=

=

=

⎛ × ⎛⎜ ⎞⎟⎞ = ⎛ × ⎛⎜ ⎞⎟⎞

⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

≤ × ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

≤

=

= × +

= +

≤

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

Ainsi, on a : _{2 2}

1

0, / 1

n

k

N n N k k

n n

ε ε ε

=

⎛ ⎛ ⎞⎞

> ∃ ∈^` > ⇒

∑

⎜⎝ × ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠ ≤ ^.

Soit : _{2 2}

1

lim 1 0

n

n k

k k

n ε n

→+∞ =

⎛ × ⎛⎜ ⎞⎟⎞=

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

∑

^.

Finalement, la suite

( )

un converge et sa limite est égale à ^'

( )

⁰

2 f d

.