Fonctions d'une variable géométrique : continuité

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MPSI-Éléments de cours Fonctions d'une variable géométrique : continuité 28 février 2020

Fonctions d'une variable géométrique : continuité

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Topologie . . . . 1

1. Normes. . . . 1

2. Parties ouvertes. . . . 1

3. Suites . . . . 1

II. Fonctions à valeurs numériques . . . . 1

1. Exemples - Opérations . . . . 1

2. Limite - continuité. . . . 1

1. Dénitions . . . . 1

2. Opérations . . . . 1

3. Restrictions . . . . 2

4. Encadrement . . . . 2

5. Exemples-Pratique . . . . 2

Index

boules, 1

fonction homogène, 2 norme, 1

norme euclidienne, 1 normes équivalentes, 1

partie ouverte, 1

théorème d'équivalence des normes en dimension nie, 1

théorème de Bolzano-Weirstrass, 1

I. Topologie

1. Normes

Dénition. Exemples N 1 , N 2 , N _∞ . Distance associée à une norme. Normes équivalentes. On admet que toutes les normes sont équivalentes. Disques (boules).

ici des dessins de boules carrés manquent

Traduction avec des boules de l'équivalence des normes.

2. Parties ouvertes

Dénition. Un disque ouvert est une partie ouverte.

3. Suites

Convergence d'une suite. Unicité de la limite. Indépendance vis à vis de la norme. Théorème de Bolzano- Weirstrass

Exercice : une partie est dite fermée si et seulement si son complémentaire est une partie ouverte. Une partie F est fermée si et seulement si, pour toute suite convergente d'éléments de F , la limite est dans F .

II. Fonctions à valeurs numériques

1. Exemples - Opérations

Les fonctions coordonnées x et y . Les fonctions qui s'expriment algébriquement à partir des fonctions coordon- nées. Si f est une fonction dont les valeurs réelles sont dans un intervalle I et si ϕ est une fonction dénie dans I et à valeurs réelles alors ϕ ◦ f est une fonction à valeurs numériques d'une variable géométrique.

Le graphe d'une fonction est une surface. Les lignes de niveau : représentation "IGN".

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai C2267

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MPSI-Éléments de cours Fonctions d'une variable géométrique : continuité 28 février 2020

2. Limite - continuité

1. Dénitions

Soit Ω une partie de E dénition de Ω . Limite et continuité en un point a .

La convergence est indépendante de la norme choisie.

Les normes sont continues, les fonctions coordonnées sont continues.

2. Opérations

Proposition. Soit f et g deux fonctions dénies dans Ω , soit λ ∈ R, a ∈ Ω , l ∈ R :

f − → ^a l f

g − → ^a l g

)

⇒



 

 

 

 

f + g − → â l _f + l _g λf − → â λl _f f g − → â l f l g

sup(f, g) − → ^a max(l f l g ) inf(f g) − → ^a min(l f , l g )

Soit ϕ une fonction dénie dans un intervalle I de R et à valeurs dans R tel que f (Ω) ⊂ I . f − → ^a l f

ϕ −→ ^l

^f

λ ϕ







⇒ ϕ ◦ f − → ^a λ ϕ

Preuve. à rédiger ... ou pas !

Remarques. On peut étendre facilement certaines implications pour des limites dans R.

Ces implications sont valables pour les fonctions continues avec a ∈ Ω et l _f = f (a) . En particulier, C ⁰ (Ω, R ) est une sous-algèbre de F (Ω, R ) .

3. Restrictions

Proposition. Soit f une fonction dénie dans Ω et à valeur dans R. Soit a ∈ Ω . Soit γ une courbe paramétrée dénie dans un intervalle I et à valeurs dans Ω , soit t 0 ∈ I .

f − → ^a l f

γ −→ ^t

⁰

a )

⇒ f ◦ γ −→ ^t

⁰

l f

Preuve. à rédiger ... ou pas !

Proposition. Soit f une fonction dénie dans Ω et à valeur dans R, soit a ∈ Ω . Soit (a _n ) _n∈

N une suite de points de Ω .

f − → ^a l _f (a n ) _n∈

N → a )

⇒ (f (a n )) _n∈

N → l f

Preuve. à rédiger ... ou pas !

ici deux petits dessins manquent : un chemin continu et un en pointillé

Remarque. Le terme application partielle qui apparait dans le programme est largement généralisé par les notions de restrictions présentées ici. Une application partielle ou sens du programme est simplement la restriction de la fonction à une droite parallèle à l'un des axes. Une telle droite est le support d'une courbe paramétrée évidente.

4. Encadrement

Proposition. Soit f , g , h des fonctions dénies dans Ω et à valeurs réelles, soit a ∈ Ω et l ∈ R.

f ≤ g ≤ h f − → ^a l h − → ^a l



 

 

⇒ g − → ^a l

Preuve. à rédiger ... ou pas !

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Rémy Nicolai C2267

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5. Exemples-Pratique

On dénit une fonction f dans R ² privé des deux axes par :

∀(x, y) ∈ R ² tels que x 6= 0 et y 6= 0 : f ((x, y)) = ch(xy) − cos(xy) x ² y ² On peut dénir ϕ dans R ^∗ par :

∀t ∈ R ^∗ : ϕ(t) = ch(t) − cos(t) t ²

On change alors la signication des lettres x et y . Elles désignent maintenant les FONCTIONS coordonnées et on peut exprimer f à l'aide des opérations introduites plus haut :

f = ϕ ◦ xy

On vérie à l'aide d'un développement limité usuel que ϕ − → ⁰ 1 et on en déduit avec les résultats relatifs aux opérations que f − ^O → 1 où O désigne l'origine du repère. La convergence est la même f − → ^a 1 pour tout point a situé sur les axes.

Fonctions homogènes de degré 0 . Une fonction homogène de degré 0 est continue en O si et seulement si elle est constante.

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Fonctions d'une variable géométrique : continuité

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Topologie . . . . 1

1. Normes. . . . 1

2. Parties ouvertes. . . . 1

3. Suites . . . . 1

II. Fonctions à valeurs numériques . . . . 1

1. Exemples - Opérations . . . . 1

2. Limite - continuité. . . . 1

1. Dénitions . . . . 1

2. Opérations . . . . 1

3. Restrictions . . . . 2

4. Encadrement . . . . 2

5. Exemples-Pratique . . . . 2

Index

boules, 1

fonction homogène, 2 norme, 1

norme euclidienne, 1 normes équivalentes, 1

partie ouverte, 1

théorème d'équivalence des normes en dimension nie, 1

théorème de Bolzano-Weirstrass, 1

I. Topologie

1. Normes

Dénition. Exemples N 1 , N 2 , N ∞ . Distance associée à une norme. Normes équivalentes. On admet que toutes les normes sont équivalentes. Disques (boules).

ici des dessins de boules carrés manquent

Traduction avec des boules de l'équivalence des normes.

2. Parties ouvertes

Dénition. Un disque ouvert est une partie ouverte.

3. Suites

Convergence d'une suite. Unicité de la limite. Indépendance vis à vis de la norme. Théorème de Bolzano- Weirstrass

Exercice : une partie est dite fermée si et seulement si son complémentaire est une partie ouverte. Une partie F est fermée si et seulement si, pour toute suite convergente d'éléments de F , la limite est dans F .

II. Fonctions à valeurs numériques

1. Exemples - Opérations

Le graphe d'une fonction est une surface. Les lignes de niveau : représentation "IGN".

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2. Limite - continuité

1. Dénitions

Soit Ω une partie de E dénition de Ω . Limite et continuité en un point a .

La convergence est indépendante de la norme choisie.

Les normes sont continues, les fonctions coordonnées sont continues.

2. Opérations

Proposition. Soit f et g deux fonctions dénies dans Ω , soit λ ∈ R, a ∈ Ω , l ∈ R :

f − → a l f

g − → a l g

)

⇒



 

 

 

 

 

 

 

 

f + g − → a l f + l g λf − → a λl f f g − → a l f l g

sup(f, g) − → a max(l f l g ) inf(f g) − → a min(l f , l g )

Soit ϕ une fonction dénie dans un intervalle I de R et à valeurs dans R tel que f (Ω) ⊂ I . f − → a l f

ϕ −→ l

λ ϕ







⇒ ϕ ◦ f − → a λ ϕ

Preuve. à rédiger ... ou pas !

Remarques. On peut étendre facilement certaines implications pour des limites dans R.

Ces implications sont valables pour les fonctions continues avec a ∈ Ω et l f = f (a) . En particulier, C 0 (Ω, R ) est une sous-algèbre de F (Ω, R ) .

3. Restrictions

Proposition. Soit f une fonction dénie dans Ω et à valeur dans R. Soit a ∈ Ω . Soit γ une courbe paramétrée dénie dans un intervalle I et à valeurs dans Ω , soit t 0 ∈ I .

f − → a l f

γ −→ t

a )

⇒ f ◦ γ −→ t

l f

Preuve. à rédiger ... ou pas !

Proposition. Soit f une fonction dénie dans Ω et à valeur dans R, soit a ∈ Ω . Soit (a n ) n∈

N une suite de points de Ω .

Dénition. Exemples N 1 , N 2 , N _∞ . Distance associée à une norme. Normes équivalentes. On admet que toutes les normes sont équivalentes. Disques (boules).

f − → ^a l f

g − → ^a l g

f + g − → â l _f + l _g λf − → â λl _f f g − → â l f l g

sup(f, g) − → ^a max(l f l g ) inf(f g) − → ^a min(l f , l g )

Soit ϕ une fonction dénie dans un intervalle I de R et à valeurs dans R tel que f (Ω) ⊂ I . f − → ^a l f

ϕ −→ ^l

⇒ ϕ ◦ f − → ^a λ ϕ

Ces implications sont valables pour les fonctions continues avec a ∈ Ω et l _f = f (a) . En particulier, C ⁰ (Ω, R ) est une sous-algèbre de F (Ω, R ) .

f − → ^a l f

γ −→ ^t

⇒ f ◦ γ −→ ^t

Proposition. Soit f une fonction dénie dans Ω et à valeur dans R, soit a ∈ Ω . Soit (a _n ) _n∈

f − → ^a l _f (a n ) _n∈

⇒ (f (a n )) _n∈

f ≤ g ≤ h f − → ^a l h − → ^a l

⇒ g − → ^a l

On dénit une fonction f dans R ² privé des deux axes par :

∀(x, y) ∈ R ² tels que x 6= 0 et y 6= 0 : f ((x, y)) = ch(xy) − cos(xy) x ² y ² On peut dénir ϕ dans R ^∗ par :

∀t ∈ R ^∗ : ϕ(t) = ch(t) − cos(t) t ²

On vérie à l'aide d'un développement limité usuel que ϕ − → ⁰ 1 et on en déduit avec les résultats relatifs aux opérations que f − ^O → 1 où O désigne l'origine du repère. La convergence est la même f − → ^a 1 pour tout point a situé sur les axes.