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Submitted on 1 Jan 1953
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Remarques sur les valeurs numériques de la fonction de
Fermi
Tosiko Yuasa, Jeanne Laberrigue-Frolow
To cite this version:
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REMARQUES
SUR LES VALEURSNUMÉRIQUES
DE LA FONCTION DE FERMIPar Mlle TOSIKO YUASA et Mme JEANNE LABERRIGUE-FROLOW,
Laboratoire de Chimie nucléaire. Collège de France.
Sommaire. - Étude et
comparaison des valeurs numériques de la fonction de Fermi F (Z, W)
obtenues à l’aide du développement de Stirling et des produits infinis qui sont les plus précises jusqu’à
présent.
Comparaison de ces valeurs avec celles obtenues avec les formules approchées (Bethe et Bacher, Nordheim et Yost).
Les conclusions montrent que la formule approchée de Nordheim et Yost n’est pas suffisante
au-dessous de W = 2 m0 c2, avec Z > 20, tandis que la formule de Bethe et Bacher est suffisante pour un
domaine plus étendu.
Les valeurs obtenues à l’aide du développement de Stirling et des produits infinis sont concordantes dans les domaines considérés (I,002 ~ W ~ I5 m0c2; 5 ~ Z ~ 90).
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME
14,
FÉVRIER1953,
D’après
la théorie de Fermi[1],
la forme duspectre 3,
dans le cas d’une transitionpermise,
estexprimée par la formule suivante :
où :
W,
énergie
totale de l’électronpositif
ounégatif
en unitémac2;
Wo, énergie
totale maximum des électrons émisen unité
m OC2 ;
039B, constante pour la
désintégration
considérée,
G2 Mi _,
égale
àG 2 M2
, où G2 est une constante2 03C0.
universelie
et ; M2
le carré du module de l’élément de matrice nucléaire pour la transition enquestion;
Z,
numéroatomique
du noyaufinal,
avec lessignes plus
ou moins pour lesdésintégra-tions
fi-
ou,3+;
F
(Z, W),
fonctionreprésentant
l’influence duchamp
électrique
sur la forme duspectre g
etdésignée
sous le nomde « Fonction de
Fermi » ;
P
(W)
dW,
probabilité
d’émission d’un électrond’é-nergie
comprise
entre W et W + dW.Si l’on connaît
Wo
et si l’onpeut
calculer lavaleur
numérique
deF’ (Z, W),
la formule(1)
permet
de connaître la forme duspectre
théorique
pour la transitionpermise,
ou encored’analyser
un
spectre complexe d’après
la méthode dite «dia-gramme de Fermi ou de Kurie ». Par
conséquent,
une connaissance de la valeur
numérique
96
ment
précise
de F(Z,
W)
a unegrande
impor-tance dans les études
expérimentales
despectres p
et
particulièrement
pour lesénergies
faibles. Fermi aproposé l’expression
suivante pourF(Z, W)
Ze2 dans le cas d’un
champ
coulombien7, R e
*’-où
p,
quantité
de mouvement de l’électron en unité moc;donc
p2 = W2 - 1;
R,
rayon du noyau en unitéh (c’est-à-dire
en m0cunité
3,85. 10-11
1cm);
h,
fonction T.Toutes les unités sont donc relativistes.
Dans
l’expression
(2)
de F(Z, W),
tous les facteurssont calculables
directement,
sauf r (s + i . z W)
p dont le tableau des valeurs
numériques n’existe pas.
Pour
déterminer,
avec uneprécision
suffisante des valeurs der s
+ a Z
WP
dans
la formule(2),
il yP
a deux
méthodes,
soit utiliser uneexpression
approchée
pour
r (a
+ib)
!2,
soit calculerpréala-blement
r (a + ib) 2
par undéveloppement
ensérie.
Pour la
première
méthode,
certaines formulesapprochées
ont étéproposées jusqu’ici,
maistoujours
avec des conditions
qui
limitent les domaines de validité. En dehors de cesdomaines,
des erreurs assezconsidérables
peuvent
s’introduirequelque-fois
[2].
C’est
pourquoi
l’un de nous, sur lasuggestion
de M. F.
Joliot,
avaitentrepris
d’appliquer
ladeuxième méthode
[3],
et avait calculé les valeursnumériques
de
r (a + ib) 2
endéveloppant
ensérie par les deux expressions suivantes :
(1) Voir EMDE et JENKE, Table o f Functions, 1938, p. o.
En posant
on obtient
et
La série
(3)
estconvergente,
mais assezlentement,
lorsque b
n’est pasnégligeable
parrapport
à a.Par
contre,
l’expression
(4)
est undéveloppement
asymptotique,
mais elle n’est pasconvergente;
pourtant
elle a unecaractéristique
intéressante :en
interrompant
la série à un certainterme,
onpeut
obtenir une
approximation
meilleurequ’en
l’in-terrompant plus
loin. Pour les casqui
nousinter-ressaient,
c’est-à-direles valeurs de a et b se trouvaient dans les inter-valles suivants :
Le calcul montre que, dans ce cas, le
quatrième
terme entre les
parenthèses
dansl’expressiôn
de.R{03A6(Z)}
s
donnée en note(2)
esttoujours
inférieurDonc
et
(2) Voir WHITTAKER et WATSON, A course of modern
à o, o0001 I
et,
parconséquent,
en lenégligeant
on ne commet pas une erreurimportante.
Nous avons donc calculé les valeurs de
r (a + ib) ,2
avec
cinq
chiffressignificatifs, d’après
la formule(4)
ennégligeant
les termes àpartir
duquatrième
de
R { 03A6 (Z)},
et enposant
Fig. a. - Valeurs de la fonction de Fermi, F(+ Z, W), donc pour le cas de 03B2-, d’après le calcul utilisant le déve-loppement de Stirling.
et
Fig. b. - Valeurs de la fonction de
Fermi, F(- Z, W)
donc pour le cas de 3+, d’après le calcul utilisant le déve, loppement de Stirling.
et en utilisant
on a obtenu les valeurs
numériques
de F(Z, W)
pour lesspectres 3-
et03B2+.
Les résultats sontrepro-duits dans le tableau I et la
figure i.
Pour se rendre
compte
de la validité des formulesapprochées
que l’on utilisefréquemment,
le mêmeauteur
[3]
a fait lacomparaison
des formulesapprochées
suivantes,
avec celle calculéeplus
hautavec le
développement
deStirling :
Formule de Bethe et Bacher
[4],
98
Formule de
Nordheim
et Yost[5],
Fig. 2.
-- Rapports des valeurs de FN ei Y (+ Z, W) à celles de F (+ Z, W)’ calculées d’après la formule de Stirling; ---
Rapports des valeurs de FB et B (+ Z, W) à celles
de F (+ Z, W) calculées d’après la formule de Stirling.
Pour les
comparaisons,
on a utilisé lefac-teur
correct 2 ( ( 2
[ S ! + )2 s)
au lieu du facteurappro-(2s ! )2
ché
(2 $4! )2’
° La valeur de2 (I + s),
eneffet,
passe(2s!. )2
de
3,999946
à3,5078
lorsque Z
croît de i à go.Les résultats de cette
comparaison
sontreportés
dans la
figure
2.Très
récemment,
B. S.Djelepov
et C. N.Ziria-nova
[6]
ontpublié
les tableauxcomplets
des valeursnumériques
de F(Z, W).
Eux aussi utilisaient ledéveloppement
deStirling,
mais pour o !Z à
95
et pour lesénergies
cinétiques
des p
comprises
entre i keV et 10 MeV. Leurs calculs ont été faitsavec
cinq
chiffressignificatifs
eninterrompant
autroisième terme de la série de
Stirling,
avecNous avons donc
comparé
nos résultats avec ceuxobtenus par eux et nous avons eu un bon accord :
les écarts sont inférieurs à
o,5
pour 100 dans lesdomaines de
Ces écarts
peuvent
être dus auxinterpolations
entredeux valeurs de F
(Z, W)
dans les tableaux deDjelepov,
que nous avons faites pour comparer avec nos résultats.L’emploi
de la série deStirling de W (Z) exige
lacondition suivante :
Cette condition n’est pas
toujours
satisfaitedans les domaines
intéressés,
mais onpeut
lasatis-faire
toujours
en utilisant 03A6(Z
+1),
4D(Z
+2),
...et la formule de récurrence.
D’autre
part,
Feister[2]
a donné le tableau desvaleurs
numériques
de lapartie dépendante
de p dans F(Z, p),
c’est-à-direoù
Les fonctions F
(Z, p)
et T(Z, W)
que nous avons traitéesplus
haut,
sont reliées parl’expression
suivante :
Feister a utilisé les valeurs-clé obtenues par
interpolation
des valeurs deloglo,
r
(Z)
du
tableaude Meissner
(3),
qui
donne10glO r (z)
pour le« réseau
triangulaire
»et
avec
En dehors de ces
limites,
il a utilisé la série(3),
en utilisant la formule suivante :
Les valeurs
r (a),
d2 log F (a + i ),
... ° ont étéobtenues par
interpolation
dans les Tablesof
thehigher
malhematicalfunctions
77,
de H. T. Davis. Feisterindique
que ses valeurs sont exactesjusqu’à
la deuxièmedécimale,
sauf auvoisinage
de p == o. En
effet,
ledéveloppement
(9)
est limité par certainesconditions.
Parexemple :
Nous avons
également
effectué lacomparaison
des valeurs
numériques
données par Feister aveccelles données par
Djelepov
et Zirianova et nous avons constaté un accordparfait
dans les domaines dedans la limite des erreurs du calcul de
comparaison
qui
sont de 6 pour 1o0o auplus.
En
conclusion,
nouspourrions
dire que lestableaux donnés
respectivement
parDjelepov
etZirianova et par Feister sont
également
précis
etutilisables dans les domaines donnés. L’utilisation
du
développement
deStirling, pourtant,
semble moins limitée.Il faudrait éviter
l’emploi
de la formuleapprochée
de Nordheim et Yost au-dessous deW = 2 moc2
(Ep
==500keV);
Z>
2o et de celle de Bethe etde Bacher au-dessous de
W = 2 mo c2
etZ > 60.
Entre W = 1,002 et W = 1,1
moc2
(E5
===50 keV),
l’emploi
du tableau deDjelepov
et Zirianova estjustifié.
Nous sommes reconnaissantes à M. Joliot pour
l’intérêt
qu’il
apris
à ce travail. Nous remercionsM. Nataf pour les discussions au cours
desquelles
il nous a donné des conseils et Mile Yamazaki
(Université
del’Éducation
deTokyo),
qui
nous aaidés à faire certains calculs.
Manuscrit reçu le 29 octobre 1952.
BIBLIOGRAPHIE.
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