Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

BLAISE PASCAL

Salah Eddine Allaoui

Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

Volume 16, n^o2 (2009), p. 399-429.

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Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

Salah Eddine Allaoui

Résumé

Dans ce travail on s’intéresse aux opérateurs de compositionTf(g) :=f◦gsur certains espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel à valeurs dans R^m. Dans le but de caractériser les fonctions qui opèrent, on établit que la condition de Lipschitz, locale ou globale suivant que l’espace Bp,q^s (Rⁿ,R^m)ouFp,q^s (Rⁿ,R^m) se plonge ou non dans L∞(Rⁿ,R^m), est nécessaire pour s > 0, et que l’appartenance locale au même espace l’est aussi pour m ≤ n. Nous étudions enfin la régularité de l’opérateurTf.

Remarks on the symbolic calculus in vector valued Besov spaces

Abstract

We are interested in the superposition operatorsTf(g) :=f◦gon vector valued Besov and Lizorkin-Triebel spaces of positive smoothness exponents. As a first step towards the characterization of functions which operate, we establish that the local Lipschitz continuity of f is necessary if the space B_p,q^s (Rⁿ,R^m) or F_p,q^s (Rⁿ,R^m) is imbedded into L∞(Rⁿ,R^m), and that the uniform Lipschitz continuity of f is necessary if the space is not imbedded into L∞(Rⁿ,R^m). We prove also that the local membership to the same space is necessary form≤n. We finally study the regularity of the superposition operatorTf.

1. Introduction

Nous considérons le calcul symbolique pour les espaces de Besov et de Lizorkin -Triebel à valeurs vectorielles B_p,q^s (Rⁿ,R^m) et F_p,q^s (Rⁿ,R^m), avec p, q ∈ [1,+∞] dans le cas de l’espace de Besov, q ∈ [1,+∞] et p ∈ [1,+∞[ dans le cas de l’espace de Lizorkin-Triebel. Nous posons

Mots-clés : Lizorkin-Triebel spaces, Besov spaces, Continuity and differentiability of superposition operators.

Classification math. :46E35, 47H30.

E_p,q^s (Rⁿ,R^m) := B_p,q^s (Rⁿ,R^m) ou F_p,q^s (Rⁿ,R^m), quand il n’y a pas be- soin de distinguer les espaces B et F.

On cherche à caractériser les fonctions qui opèrent, par composition à gauche, sur l’espaceE_p,q^s (Rⁿ,R^m). On montrera que les conditions de Lip- schitz sont nécessaires pour s >0, résultat déjà obtenu par Bourdaud [3]

dans le cas m= 1.

On sait que le calcul fonctionnel est trivial dans la zone 1 +1

p ≤s <

n

p, voir [1], [2] et le théorème 3.3. Le phénomène de trivialité étant dû à l’existence de fonctions non bornées dans les espaces concernés, il est naturel de considérer les espaces

E_p,q^s (Rⁿ,R^m) :=E_p,q^s (Rⁿ,R^m)∩L∞(Rⁿ,R^m).

Le second objectif est ici de donner des conditions nécessaires et suffi- santes pour la régularité du calcul symbolique sur l’espace E_p,q^s (Rⁿ,R^m) pour s >0, qui généralisent les résultats obtenus pour m = 1 par Bour- daud et Lanza de Cristoforis [4].

Remerciements. Ce travail n’aurait pu être mené à bien sans l’aide et les encouragements de Gérard Bourdaud. C’est un plaisir pour moi de le re- mercier. Je remercie également l’équipe d’analyse fonctionnelle de Institut de Mathématiques de Jussieu qui m’a accueilli pendant la préparation de cet article.

Notation 1.1. Nous notons (e1, . . . , e_n) la base canonique de Rⁿ, x.y = x1y1+· · ·+xnyn le produit scalaire dansRⁿ,|x|désigne la norme eucli- dienne dans Rⁿ, Q le cube unité [−1/2,1/2]ⁿ et Q⁺ le cube [0,1/2]ⁿ. Si R est un cube de Rⁿ, on désigne par ¹₂R le cube ayant le même centre que R et de rayon moitié. On noteϕ une fonction de classeC^∞ telle que 0 ≤ ϕ ≤ 1, ϕ(x) = 1 sur Q, et ϕ(x) = 0 hors de 2Q. Nous introdui- sons l’opérateur de composition T_f, sa version locale S_f, l’opérateur de translationτ_h et l’opérateur de différence finie∆_h, définis sur les fonctions (ou les distributions) via les formules T_f(g) := f ◦g, S_f(g) := ϕ(f ◦g), (τ_hf)(x) :=f(x−h)et∆_hf :=τ−hf−f. Sig∈ S(Rⁿ), nous notonsg(D) l’opérateur pseudodifférentiel de symbole g, défini sur les distributions tempérées par

g(D)f\ :=gf^b ,∀f ∈ S⁰(Rⁿ),

oùfbla transformation de Fourier def. Nous notonsp⁰l’exposant conjugué de p, i.e.p⁰:= p

p−1. Nous notonsB(a, r)la boule de centreaet de rayon r. Dans un espace topologique E, on notecl_E(A) la fermeture d’un sous- ensemble A. Comme d’habitudec, c1, . . .désignera une constante positive pouvant dépendre de m, n, s, p, q et de la fonction ϕ; sa valeur pourra changer d’une occurrence à l’autre.

Plan.La deuxième section est consacrée à des rappels sur les espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel. Dans la troisième, nous énonçons et prouvons des conditions nécessaires surf :R^m →Rpour queT_f envoieE_p,q^s (Rⁿ,R^m) dans E_p,q^s (Rⁿ). Dans la section 4, nous donnons des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour la régularité de l’opérateur Tf sur l’es- pace E_p,q^s (Rⁿ,R^m). La dernière section est consacrée aux problèmes ou- verts.

2. Définitions et propriétés des espaces de Besov et Lizorkin- Triebel

2.1. La décomposition Littlewood-Paley classique

Rappelons les définitions des espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel suivant le formalisme de Littlewood-Paley. On pose

γ(x) :=ϕ(x)−ϕ(2x), ∀x∈Rⁿ. Alors γ appartient àD(Rⁿ\ {0})et de plus :

ϕ(x) +^X

j≥1

γ(2^−jx) = 1, ∀x∈Rⁿ.

Les fonctionsγ etϕdépendent clairement den. Dans le cas oùnprend plusieurs valeurs, nous utiliserons une notations indicielle, i.e. ϕ_n etγ_n.

Nous définissons les opérateur Qj surS⁰(Rⁿ), par Qj :=γ(2^−jD) (j≥1), Q0 :=ϕ(D).

Définition 2.1. Soient s ∈ R, p, q ∈ [1,+∞]. Les espaces B_p,q^s (Rⁿ) et F_p,q^s (Rⁿ), sont déterminés respectivement par

kfk_Bs

p,q(Rⁿ):=



 X

j≥0

2^sjkQ_jfk_p^q





1/q

<+∞,

kfk_Fs

p,q(Rⁿ):=



 X

j≥0

2^sj|Q_jf|^q





1/q _p

<+∞,

avec la modification usuelle dans le cas q = ∞. Dans le cas Lizorkin- Triebel, on suppose toujours p <∞.

Définition 2.2. Pour s ∈ R, p, q ∈ [1,+∞], on définit E_p,q^s (Rⁿ,R^m) comme l’ensemble des distributions tempérées à valeurs dans R^m, f = (f1, . . . , f_m) qui vérifient

kfk_Es

p,q(Rⁿ,R^m):=

m

X

j=1

kf_jk_Es

p,q(Rⁿ)<+∞.

Pour s ∈ R, p, q ∈ [1,+∞], on définit l’espace E_p,q^s (Rⁿ,R^m) comme l’ensemble des distributions tempérées à valeurs dans R^m,f telles que

kfk_Es

p,q(Rⁿ,R^m):=kfk_L∞(Rn,R^m)+kfk_Es

p,q(Rⁿ,R^m)<+∞. On pose E_p,q^s (Rⁿ) :=E_p,q^s (Rⁿ,R).

Définition 2.3. Soitϕ∈C^∞(Rⁿ). On dit queϕopère par multiplication sur E⊂ D⁰(Rⁿ)si ϕf ∈E pour toutf ∈E.

Définition 2.4. Soit E un espace de Banach de distributions dans Rⁿ; on dit que E est un D(Rⁿ)−module si tout élément de D(Rⁿ) opère par multiplication sur E.

Il est bien connu que les espaces E_p,q^s (Rⁿ) sont desD(Rⁿ)−modules.

2.2. Une variante de la décomposition de Littlewood-Paley Dans certains cas, il est utile de remplacer les fonctions standard γ et ϕ par des fonctions produits tensoriels. Nous donnons ici la construction relative à la décomposition Rⁿ=R^m×R^n−m. Pour toutes fonctions f, g définies sur R^m et R^n−m, respectivement, on pose

(f⊗g)(t, x) :=f(t)g(x), ∀(t, x)∈R^m×R^n−m.

Définissons

u0 :=ϕ_m⊗ϕn−m, u1 :=ϕ_m(2(.))⊗γn−m, u2:=γ_m⊗ϕn−m. Alors nous avons

u0(t, x)−u0(2t,2x) =u1(t, x) +u2(t, x), ∀(t, x)∈R^m×R^n−m. Nous définissons les opérateurs U0 et Uα,j (j ≥ 1, α = 1,2) sur S⁰(Rⁿ), par

Uα,j :=uα(2^−jD), U0:=u0(D).

Proposition 2.5. Soient 1 ≤ m < n et s ∈ R. Alors une distribution tempérée f appartient à B_p,q^s (Rⁿ) et F_p,q^s (Rⁿ) si et seulement si

kU₀fk_p+ ^X

α=1,2



 X

j≥1

2^sjkU_α,jfk_p^q





1/q

<+∞,

kU0fk_p+ ^X

α=1,2



 X

j≥1

2^sj|U_α,jf|^q





1/q _p

<+∞,

et les expressions ci-dessus sont des normes équivalentes sur B^s_p,q(Rⁿ) et F_p,q^s (Rⁿ), respectivement.

Démonstration. Voir par exemple Triebel [10, Prop. 2.3.2/1, p. 46], [11,

chap. 2] ou Peetre [8, chap. 8].

Proposition 2.6. Soient 1≤m < net s >0.

– Si f ∈E_p,q^s (R^m) et g∈E_p,q^s (R^n−m), alors f⊗g∈E_p,q^s (Rⁿ) et kf⊗gk_Es

p,q(Rⁿ)≤ckfk_Es

p,q(R^m)kgk_Es

p,q(R^n−m). (2.1) – Supposons que f⊗g∈E_p,q^s (Rⁿ) et queg est une fonction non nulle

– appartenant à Lp(R^n−m), dans le cas Besov,

– bornée uniformément continue, dans le cas Lizorkin-Triebel.

Alors il existe une constante c(g)>0 telle que kfk_Es

p,q(R^m)≤c(g)kf ⊗gk_Es

p,q(Rⁿ). (2.2) Démonstration. On munit l’espaceE_p,q^s (Rⁿ)des normes équivalentes don- nées dans la proposition 2.5. Dans toute la preuve, on supposera, sans perte de généralité, que f 6= 0.

Étape 1 : le cas Besov. Nous avons

kf⊗gk_Bs

p,q(Rⁿ) =kϕ_m(D)fk_pkϕn−m(D)gk_p+



 X

j≥1

2^sjku1(2^−jD)f ⊗gk_p^q





1/q

+



 X

j≥1

2^sjku2(2^−jD)f⊗gk_p^q





1/q

.

=kQ0fk_pkQ0gk_p+



 X

j≥1

2^sjkϕ_m(2^1−jD)fk_pkQ_jgk_p^q





1/q

+



 X

j≥1

2^sjkϕn−m(2^−jD)gk_pkQ_jfk_p^q





1/q

.

En utilisant le plongement

E_p,q^s (Rⁿ),→Lp(Rⁿ), ∀s >0, (2.3) et le fait que les opérateursϕ(2^−jD)sont bornés sur Lp, uniformément par rapport à j, nous obtenons l’inégalité (2.1) dans le cas Besov.

Soit g une fonction non nulle dans Lp(R^n−m). On a

j→∞lim ϕn−m(2^−jD)g=g dans L_p(R^n−m), donc il existe j0 tel que

kϕ_n−m(2^−jD)gk_p ≥ 1

2kgk_p, ∀j > j₀. Donc on obtient

1 2kgk_p



 X

j>j0

2^sjkQ_jfk_p^q





1/q

≤ kf ⊗gk_Bs p,q(Rⁿ). Et d’autre part on a

kQ_jfk_p ≤c1kfk_p ≤ c2

kgk_pkf⊗gk_Bs p,q(Rⁿ). Donc





j0

X

j=0

2^sjkQ_jfk_p^q





1/q

≤ c2^sj0

kgk_pkf⊗gk_Bs p,q(Rⁿ). D’où l’inégalité (2.2).

Étape 2 : le cas Lizorkin-Triebel. Nous avons

kf⊗gk_Fs

p,q(Rⁿ) =kQ0fk_pkQ0gk_p+

P

j≥1

2^sjϕ_m(2^1−jD)f ⊗Q_jg

q1/q _p +

P

j≥1

2^sjQjf ⊗ϕn−m(2^−jD)g^q1/q _p . On a

X

0≤α≤j−1

Qαf(t) =ϕm(2^1−jD)f(t).

Par la condition s >0, cela implique

|(ϕ_m(2^1−jD)f)(t)| ≤c



 X

k≥0

2^skQ_kf(t)^q





1/q

, ∀t∈R^m,∀j≥1.

Alors on obtient



 X

j≥1

2^sjϕ_m(2^1−jD)f ⊗Q_jg^q





1/q _p

≤ckfk_Fs

p,q(R^m)kgk_Fs

p,q(R^n−m).

En raisonnant de la même façon pour les autres termes, on termine la preuve de (2.1) dans le cas Lizorkin-Triebel.

Soit g une fonction non nulle et uniformément continue. On a

j→∞lim ϕn−m(2^−jD)g=g uniformément surR^n−m,

donc il existe une boule Bdans R^n−m, un nombre r >0, et un entier j0, tels que

|ϕ_n−m(2^−jD)g(x)| ≥r, ∀x∈B,∀j > j₀. Il vient



 X

j>j0

2^sjQ_jf ⊗ϕn−m(2^−jD)g^q





1/q _L

p(Rⁿ)

≥

r|B|^1/p



 X

j>j0

2^sjQ_jf^q





1/q _L

p(R^m)

.

Par hypothèse on a f ⊗g ∈ E_p,q^s (Rⁿ) donc f ⊗g ∈ Lp(Rⁿ), grâce au plongement (2.3). Cela donne f ∈Lp(R^m) et g∈Lp(R^n−m). En utilisant le plongement`<sup>1</sup> ,→`^q, pour q≥1, il vient



 X

0≤j≤j₀

2^sjQjf(t)^q





1/q

≤c ^X

0≤j≤j₀

2^sjQjf(t) ,∀t∈R^m. En prenant les normes Lp(R^m), il vient



 X

0≤j≤j0

2^sjQ_jf(t)^q





1/q _p

≤c1kfk_p ≤ c2

kgk_pkf⊗gk_Fs p,q(Rⁿ).

D’où le résultat.

2.3. Autres normes équivalentes

Proposition 2.7. Soit0< s < `avec`entier. Une distributionf appar- tient à B^s_p,∞(Rⁿ) si et seulement si f ∈L_p(Rⁿ) et

N_p,`(f) := sup

0<t≤1

t^−sω_p,`(f;t)<+∞,

où ω_p,`(f;t) := sup_|h|≤t^R

Rⁿ|∆<sup>`</sup><sub>h</sub>f(x)|<sup>p</sup>dx<sup>1/p</sup>. De plus kfk<sub>p</sub>+N<sub>p,`</sub>(f) est une norme équivalente dans B^s_p,∞(Rⁿ).

Démonstration. Voir par exemple Triebel [11, Th. 2.6.1, p. 140].

Proposition 2.8. Soits >0. Une distributionf appartient àB_p,q^s (Rⁿ) si et seulement si f ∈Lp(Rⁿ) et ∂jf ∈B^s−1_p,q (Rⁿ) pour tout j= 1, . . . , n. De plus kfk_p+^Pn_j=1k∂_jfk_Bs−1

p,q (Rⁿ) est une norme équivalente dansB_p,q^s (Rⁿ).

Démonstration. Voir par exemple [9, Prop. 2.1.2/2, p. 19].

2.4. Quelques fonctions de test

Lemme 2.9. Soit s > 0. Si u ∈ S(Rⁿ,R^m), il existe une constante c = c(u, s, p, q, n)>0 telle que

X

j≥0

X

k∈Zⁿ

α_jk2^j((n/p)−s)u(2^j(.)−k) _Bs

p,q(Rⁿ,R^m)

≤

c



 X

j≥0

(^X

k∈Zⁿ

|α_jk|^p)^q/p





1/q

,

X

j≥0

X

k∈Zⁿ

αjk2^j((n/p)−s)u(2^j(.)−k) _Fs

p,q(Rⁿ,R^m)

≤

c



 X

j≥0

X

k∈Zⁿ

(|α_jk|2^jn/pχ(2^j(.)−k))^q





1/q _p

,

où χ désigne la fonction caractéristique deQ.

Démonstration. Les estimations résultent des théorèmes (3.1) de [7] et (5.3) de [6], appliqués à chaque fonction coordonnée de u.

Lemme 2.10. Pour toute fonction u∈ S(Rⁿ,R^m), il existe une constante c=c(u, s, p, q, m, n)>0 telle que

X

k∈Zⁿ

α_ku(.−k) _Es

p,q(Rⁿ,R^m)

≤c(^X

k∈Zⁿ

|α_k|^p)^1/p,

Démonstration. En faisant j= 0 dans le lemme 2.9, on a le résultat.

Lemme 2.11. On suppose que E_p,q^s (Rⁿ) * L∞(Rⁿ) (autrement dit : 0< s < n

p ou s= n

p et q > 1 dans le cas Besov, p > 1 dans le cas Lizorkin-Triebel), alors il existe une suite (φν)_ν≥1 de fonctions de classe C^∞, portées parQ, telles que φ_ν(x) = 1 sur le cube 2^−νQ et

ν→+∞lim kφ_νk_Es

p,q(Rⁿ) = 0.

Démonstration. Dans le cas s < n

p, on poseφ_ν(x) :=ϕ(2^νx), l’estimation kφ_νk_Es

p,q(Rⁿ) ≤2^{−ν(np−s)}kϕk_Es p,q(Rⁿ)

permet de conclure.

Supposons maintenants= n

p et posons φ_ν(x) :=ν^{−1 X}

1≤j≤ν

ϕ(2^jx).

On a donc φν(x) = 1 sur 2^−νQ et φν(x) = 0 hors de Q. Le lemme 2.9

donne les inégalités

kφ_νk

Bp,q^n/p(Rⁿ)≤cν^(1/q)−1. De même

kφ_νk

F_p,1^n/p(Rⁿ)≤cν⁻¹

X

1≤j≤ν

2^jn/pχ_{j p}

,

où χ_j désigne la fonction caractéristique du cube 2^−jQ. Pour estimer la norme L^p qui apparaît au second membre, on pose

S_k := 2^−kQ2^−k−1Q, k= 1, . . . , ν−1, et

S_ν := 2^−νQ.

La fonction^P_1≤j≤ν2^jn/pχj valant constamment^P_1≤j≤ν2^jn/p sur Sk, on obtient

kφ_νk

F_p,1^n/p(Rⁿ)≤cν⁻¹



 X

1≤k≤ν

2^kn|S_k|





1/p

≤c1ν^(1/p)−1.

Lemme 2.12. Soient s= 1 +1 p < n

p et q > 1 dans le cas Besov, p >1 dans le cas Lizorkin-Triebel. Alors il existe une suite (ων)ν≥1 de fonctions de classeC^∞, portées parQ, telle queων(x) =x1 pour|x1| ≤2^−ν,|x_j| ≤ ¹₂ (j= 2, . . . , n) et

kω_νk

Bp,q^{1+ 1p}(Rⁿ)

≤cν^(1/q)−1, kω_νk

Fp,q^{1+ 1p}(Rⁿ)

≤cν^(1/p)−1.

Démonstration. Voir par exemple [2] ou [9, Lem. 5.3.1/2, p. 308].

3. Conditions nécessaires pour le calcul symbolique

3.1. Enoncés des théorèmes

Théorème 3.1. Soient s > 0, m et n entiers, et f : R^m → R. Si Tf

envoie E_p,q^s (Rⁿ,R^m) dansB_p,∞^s (Rⁿ), alorsf est localement lipschitzienne.

Théorème 3.2. Soients >0,metnentiers, etf :R^m→R. On suppose que E_p,q^s (Rⁿ)*L∞(Rⁿ) (autrement dit :s < n

p ous= n

p etq >1dans le cas Besov, p >1dans le cas Lizorkin- Triebel). Si T_f envoie E_p,q^s (Rⁿ,R^m) dans B_p,∞^s (Rⁿ), alors f est globalement lipschitzienne.

Théorème 3.3. Soient1 +1

p < s < n

p, (ous= 1 + 1 p < n

p et q >1 dans le cas Besov, p > 1 dans le cas Lizorkin-Triebel) et f : R^m → R. Si Tf

envoie E_p,q^s (Rⁿ,R^m) dans B_p,∞^s (Rⁿ), alors f est linéaire.

Remarque 3.4. L’existence de fonctions non triviales opérant surB_p,1^1+(1/p) (Rⁿ,R^m), dans le cas où n > p+ 1, ou sur F_1,q² (Rⁿ,R^m), dans le cas où n >2, est une question ouverte.

Théorème 3.5. Soients >0, f :R^m→Ret 1≤m≤n,m etnentiers.

Si T_f envoie D(Rⁿ,R^m) dans E_p,q^s (Rⁿ), alors f ∈E_p,q^s (R^m)_loc.

3.2. Résultats préliminaires

Lemme 3.6. Soient s > 0, f : R^m → R, une fonction s’annulant à l’origine telle que T_f envoie E_p,q^s (Rⁿ,R^m) (respectivement E_p,q^s (Rⁿ,R^m)) dans B_p,∞^s (Rⁿ). Alors il existe des nombres M > 0 et δ > 0 tels que l’implication

kgk ≤δ =⇒ kf◦gk_Bs

p,∞(Rⁿ) ≤M,

soit vérifiée par toute fonction g portée par Q, la norme de kgk étant calculée respectivement dans E_p,q^s (Rⁿ,R^m) et E_p,q^s (Rⁿ,R^m).

Démonstration. Supposons, au contraire, que, pour tout cube R et tous nombresM etδ, on puisse trouver une fonction g, portée parR, telle que

kgk_Es

p,q(Rⁿ,R^m)≤δ et kf ◦gk_Bs

p,∞(Rⁿ)> M.

Donnons-nous une suite (Rj)_j∈N de cubes disjoints et des fonctions ϕj ∈ D(Rⁿ) (j≥0)telles que ϕ_j(x) = 1sur ¹₂R_j etϕ_j(x) = 0 hors deR_j. On note Mj la norme de l’opérateur g7→ ϕjg, agissant sur B_p,∞^s (Rⁿ,R^m), et on choisit des fonctions g_j :Rⁿ→R^m,j= 0,1, . . ., telles que

supp g_j ⊂ 1

2R_j, kg_jk_Es

p,q(Rⁿ,R^m)≤2^−j, kf◦g_jk_Bs

p,∞(Rⁿ) > jM_j.

Alors la fonctiong:=^P_j≥0gj appartient àE_p,q^s (Rⁿ,R^m)et on aϕj(f◦g) = f ◦g_j. Donc

jMj ≤ k(f ◦g)ϕjk_Bs

p,∞(Rⁿ) ≤Mjkf ◦gk_Bs

p,∞(Rⁿ), pour toutj,

ce qui est absurde.

Remarque 3.7. Avec la même démonstration on peut établir que l’opérateur S_f a la propriété énoncée dans le lemme 3.6.

Lemme 3.8. Soient s > 0, f : R^m → R. Supposons que T_f envoie E_p,q^s (Rⁿ,R^m) dans B_p,∞^s (Rⁿ), alors quel que soit a ∈ R^m, il existe un opérateur non linéaire U_a : E_p,q^s (Rⁿ,R^m) → B_p,∞^s (Rⁿ), et des nombres δ, M >0 tels que

U_ag(x) =f(a+g(x))−f(a),∀x∈Q, et

kU_agk_Bs

p,∞(Rⁿ) ≤M ,

pour toute fonction g∈ D(Rⁿ,R^m), à support dansQ, satisfaisant kgk_Es

p,q(Rⁿ,R^m)≤δ . Démonstration. Considérons l’opérateur non linéaire

V_ag(x) :=ϕ(x) (f(a+g(x))−f(a)) ,∀x∈Rⁿ. On a alors

V_ag(x) =ϕ(x) (f(ϕ(x/2)(a+g(x)))−f(ϕ(x/2)a)) ,∀x∈Rⁿ. Vaenvoie doncE_p,q^s (Rⁿ,R^m)dansB_p,∞^s (Rⁿ)et, en raisonnant comme dans la preuve du lemme 3.6, on voit qu’il existe un cubeQ⁰ ⊂Qet des nombres δ, M >0 tels que

kgk_Es

p,q(Rⁿ,R^m)≤δ =⇒ kV_agk_Bs

p,∞(Rⁿ)≤M , pour toute fonction g∈ D(Rⁿ,R^m) telle que supp g⊂Q⁰.

Posons Q⁰ =rQ+b, avec r >0 etb∈Rⁿ, et

U_ag(x) :=V_ag(r⁻¹(.−b)(rx+b) ,∀x∈Rⁿ. Alors

U_ag(x) =ϕ(rx+b) (f(a+g(x))−f(a)) ,∀x∈Rⁿ.

Par l’inclusion Q⁰ ⊂Q, nous avonsϕ(rx+b) = 1surQ, ce qui termine la

preuve.

Lemme 3.9. Soient s >0, f :R^m→R et

f_a⁰ :x7→f(a1, . . . , aj−1, x, aj+1, . . . , am)

avec a⁰ := (a1, . . . , aj−1, a_j+1, . . . , a_m)∈R^m−1. Supposons queT_f envoie E^s_p,q(Rⁿ,R^m) dans B_p,∞^s (Rⁿ), alors l’opérateur S_fa0, envoie E_p,q^s (Rⁿ) dans B_p,∞^s (Rⁿ).

Démonstration. Considérons l’opérateur Φ : E_p,q^s (Rⁿ) → E_p,q^s (Rⁿ,R^m), défini par

Φ(u)(x) = (a1ϕ(x

2), . . . , aj−1ϕ(x

2), u(x), aj+1ϕ(x

2), . . . , amϕ(x 2)).

Par définition de ϕ, on a ϕ(^x₂) = 1si ϕ(x)6= 0. Il vient donc ϕ(f_a⁰ ◦u) =ϕ(f ◦Φ(u)), ∀u∈E_p,q^s (Rⁿ).

Cela montre que l’opérateurS_fa0 envoieE_p,q^s (Rⁿ)dans B_p,∞^s (Rⁿ).

Lemme 3.10. Soit 1 +1

p < s < n

p, (ou s= 1 + 1 p < n

p et q > 1 dans le cas Besov, p > 1 dans le cas Lizorkin-Triebel). Si f : R → R est une fonction telle que l’opérateur S_f, envoieE_p,q^s (Rⁿ) dansB_p,∞^s (Rⁿ), alors f est une fonction affine.

Démonstration. Rappelons que S_f vérifie le lemme 3.6, voir la remarque 3.7.

Étape 1 : Le cas 1 +1

p < s < n p.

On posev(x) =x1ϕ(x). Supposonsa >0, suffisamment grand, et0< ε≤ 1. Nous avons

kav(. ε)k_Es

p,q(Rⁿ) ≤caε^(n/p)−skvk_Es p,q(Rⁿ). En choisissant

ε= δ

ackvk_Es p,q(Rⁿ)

!_n¹

p−s

,

ce qui est possible si aest assez grand, et en définissant la fonction u par u(x) :=av(x

ε), ∀x∈Rⁿ, on obtient kuk_Es

p,q(Rⁿ) ≤δ etsupp u⊂2Q. On a donc kS_f(u)k_Bs

p,∞(Rⁿ) ≤ M. Nous obtenons

S_f(u)(x) =f(a

εx1), surεQ.

Fixons` avec ` > s. Pour toutt∈]0,1]on en déduit

∆^{`</sup><sub>εa</sub>−1te1S<sub>f</sub>(u)(x) = ∆<sup>`}_tf(a

εx1), ∀x∈ ε 2Q, pourvu que a≥4`. Par la proposition 2.7, nous obtenons

(εa⁻¹t)^−sp Z

ε 2Q

∆^`_εa−1te1S_f(u)(x)^pdx≤M^p, ∀t∈]0,1], ce qui donne

Z

|x|≤^a

4

∆^`_tf(x)^pdx≤M^pε^sp−na^−sp+1. Compte tenu de la définition de ε, il vient

Z

|x|≤^a

4

∆^`_tf(x)^pdx≤ca^−sp+1+p, t∈]0,1].

En faisant tendreavers+∞et en tenant compte des >1 +1

p, il vient Z +∞

−∞

∆^`_tf(x)^pdx= 0, ∀t∈]0,1], ainsi f est une fonction polynomiale.

En évaluant l’opérateur S_f sur une fonction de type u(x) =|x|^τϕ(x), avec τ <0,

et en supposant que f(x) = ^PN_j=0c_jx^j avec N > 1 et c_N 6= 0, alors pour tout x∈Rⁿ, nous obtenons

S_f(u)(x) =

N−1

X

j=0

c_j|x|^jτϕ(x)^j+1+c_N|x|^{N τ}ϕ(x)^N+1 =A(x) +B(x)

On a A∈E_p,q^s (Rⁿ) sis < n

p + (N −1)τ, et d’autre partB /∈B_p,∞^s (Rⁿ) pour s > n

p +N τ (voir [9, Lem. 2.2.3/1, p. 44]).