Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

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Submitted on 15 Feb 2008

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multiplicatives

Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Gérald Tenenbaum. Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives. L’Enseignement

Mathématique , Zürich International Mathematical Society Publishing House, 2007, (2) 53, pp.155-

178. �hal-00131535v3�

L’Ens. Math. (2) 53 (2007), 153–178.

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives ^{∗ †}

G´ erald Tenenbaum

Abstract. By a self-contained approach, we show that a real valued multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a sufficient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott.

1. Introduction

La valeur moyenne d’une fonction arithm´ etique r´ eelle f : N

→ R est d´ efinie, lorsqu’elle existe, comme la limite

M(f ) := lim

x→∞

1 x

nx

f (n).

Pour I ⊂ R , α > 0, k ∈ N

, d´ esignons par M (I) la classe des fonctions arithm´ etiques multiplicatives ` a valeurs dans I, par L

(I) la sous-classe de M (I) constitu´ ee des fonctions f telles que

f

:= lim sup

x→∞

1 x

nx

| f (n) |

< ∞ ,

et notons R

(I) la sous-classe de M (I) comprenant les fonctions f telles que f

poss` ede une valeur moyenne.

Un cas particulier, repr´ esentatif du cas g´ en´ eral, d’un tr` es ´ el´ egant r´ esultat d’Elliott [5] peut ˆ etre ´ enonc´ e comme suit. Ici et dans toute la suite, la lettre p d´ esigne un nombre premier.

Th´eor`eme A (Elliott). On a R

( R

) ⊂ R

( R

). De plus, si f ∈ R

( R

) et si la s´ erie

(1 · 1)

p

f (p) − 1

p

diverge, alors M(f ) = 0.

∗

2000 AMS Subject Classification : 11N37.

† Nous incluons ici certaines corrections par rapport ` a la version publi´ ee.

Le th´ eor` eme principal d’un r´ ecent travail de Mauclaire [13] ´ enonce que, pour toute fonction f de M ( R

), si (a) toutes les fonctions n → f (dn) (d 1) appartiennent

`

a R

( R

), si l’on a

(b)

p

ν2

f(p

)

p

< ∞ ,

et si (c) la s´ erie (1 · 1) diverge, alors il existe un sous-ensemble E de N

de densit´ e 1 tel que la fonction 1

f

soit de valeur moyenne nulle. En fait, ce r´ esultat d´ ecoule imm´ ediatement du Th´ eor` eme A, mˆ eme en ´ elargissant l’hypoth` ese (a) au seul cas d = 1 et en supprimant la condition (b). En effet, si f 0 et M(f ) = 0, l’ensemble des entiers n tels que f (n) > ε est de densit´ e nulle pour tout ε > 0.

Elliott donne dans [6] (th. 19.1) une nouvelle d´ emonstration du Th´ eor` eme A.

Les approches de [5] et [6] pr´ esentent des diff´ erences significatives mais s’appuient essentiellement toutes deux sur la caract´ erisation donn´ ee par Elliott dans [3] des fonctions de L

( R ) poss´ edant une valeur moyenne sup´ erieure

non nulle — un crit` ere dont la condition n´ ecessaire a ´ et´ e retrouv´ ee par une autre m´ ethode dans un travail subs´ equent de Daboussi et Delange [2]. Un autre ´ el´ ement essentiel des deux preuves r´ eside dans l’obtention d’une propri´ et´ e de r´ egularit´ e locale pour la fonction sommatoire de f , soit

(1 · 2) M(x; f ) :=

1nx

f (n) (x 0).

Dans [5], le r´ esultat est issu d’un lemme de [4] reposant sur un th´ eor` eme de th´ eorie probabiliste des nombres dˆ u ` a Levin, Timofeev et Tuljaganov [12]. Dans [6], Elliott a recours, via un principe de dualit´ e, ` a la r´ esolution d’une ´ equation fonctionnelle approch´ ee — voir notamment les chapitres 6 et 10 de [6]. Enfin, dans tous les cas, la forme duale de l’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius joue un rˆ ole essentiel.

Nous nous proposons ici de donner une version plus g´ en´ erale du Th´ eor` eme A, dans laquelle l’hypoth` ese de positivit´ e pour f est relˆ ach´ ee. Notre ´ enonc´ e pourrait probablement ˆ etre retrouv´ e comme cons´ equence des r´ esultats expos´ es dans [6]. Nous nous sommes principalement attach´ e ici ` a pr´ esenter une d´ emonstration simple et autonome o` u l’existence d’une valeur moyenne pour f

est exploit´ ee directement dans le calcul de la valeur moyenne de f — ce qui a constitu´ e notre motif initial de curiosit´ e.

Comme dans toutes les approches, le point le plus difficile consiste ` a ´ etablir la n´ ecessit´ e de la convergence de la s´ erie (b). ` A cette fin, nous mettons en ´ evidence, par une m´ ethode directe adapt´ ee de [9], une nouvelle propri´ et´ e de r´ egularit´ e locale pour les fonctions x → M (x; f) lorsque f ∈ R

( R

) : l’´ evaluation est moins pr´ ecise que celles de [4] ou [6], mais valable dans un domaine plus vaste. Ce r´ esultat, d’int´ erˆ et propre, fait l’objet du Lemme 2.1 infra .

1. Cette notion est d´ efinie en (2

1) infra. Voir le th´ eor` eme 17.1 de [6].

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

Bien que certains ´ el´ ements de notre d´ emonstration soient, in´ evitablement, ana- logues ` a leurs pendants dans la preuve du crit` ere de [3], nous ne faisons pas directe- ment appel ` a ce r´ esultat. Les simplifications apport´ ees ici sont essentiellement dues au Lemme 2.1 et au r´ esultat taub´ erien ´ enonc´ e au Lemme 2.4, qui dispense, dans le cas d’une fonction positive ou nulle, d’un nouvel appel ` a un r´ esultat de r´ egularit´ e locale, pour lequel le Lemme 2.1 serait d’ailleurs inadapt´ e — voir, par exemple, le chapitre 10 de [6]. Lorsque f prend des valeurs des deux signes, nous exploitons le r´ esultat obtenu pour | f | , mais une seconde estimation relative au comporte- ment local des moyennes demeure n´ ecessaire. Nous pouvons alors nous contenter de faire appel ` a la technique l´ eg` ere de Hildebrand dans [10], qui fournit, dans un cadre moins g´ en´ eral mais avec des d´ etails techniques beaucoup plus simples, une estimation analogue ` a celles d’Elliott dans [6].

Th´eor`eme 1.1. On a R

( R ) ⊂ R

( R ). De plus, si f ∈ R

( R ) et si la s´ erie (1 · 1) diverge, alors M(f ) = 0.

Sous des conditions sensiblement plus fortes, nous obtenons une forme effective du r´ esultat.

Th´eor`eme 1.2. Soit f ∈ R

( R

) telle que M(f

) = 0. On suppose en outre que

p

f (p)

/p

< ∞ et

(1 · 3)

px

f (p) log p x (x 1).

Alors on a

nx

f (n) x exp

−

px

(f (p) − 1)

2p (x 1).

Posons τ

(n) := | τ(n) | /n

o` u τ d´ esigne la fonction de Ramanujan. Nos deux th´ eor` emes s’appliquent au cas f = τ

, qui constituait la motivation initiale d’Elliott dans [5]. Nous retrouvons ainsi l’estimation effective donn´ ee dans [7] pour la fonction sommatoire de τ

. L’existence de M(τ

) = 0 r´ esulte d’un c´ el` ebre th´ eor` eme de Rankin [15] ; la convergence de

p

τ

(p)

/p

et la validit´ e de (1 · 3) d´ ecoulent des in´ egalit´ es de Deligne [1]

(1 · 4) 0 τ

(p) 2 (p 2).

Pour ´ etablir la divergence de la s´ erie (1 · 1) lorsque f = τ

, nous notons, ainsi qu’il est ´ etabli par exemple dans [6] ` a partir du th´ eor` eme de Rankin et d’un r´ esultat de Moreno et Shahidi [14] concernant la valeur moyenne de τ(n)

, que

px

{ τ

(p)

− 1 }

p = log

x + O(1).

Compte tenu de (1 · 4), nous obtenons imm´ ediatement la majoration de [7]

(1 · 5)

nx

τ

(n) x

(log x)

(x 2).

Ainsi qu’il est soulign´ e dans [7], un cas particulier de la conjecture de Sato-Tate implique

px

τ

(p) p ∼ 8

3π log

x (x → ∞ ).

Il est donc coh´ erent de conjecturer que l’exposant

de (1 · 5) peut ˆ etre remplac´ e par 1 − 8/(3π) ≈ 0, 15117 et que cette valeur est optimale. Dans [16], Rankin montre que l’on peut choisir pour exposant r :=

−

2

3

≈ 0, 06517. Notons qu’il s’agit du meilleur r´ esultat d´ eductible de la seule donn´ ee des moments logarithmiques d’ordre 2 et 4 de τ

(p), respectivement ´ egaux ` a 1 et 2. En effet, si δ

d´ esigne la mesure de Dirac au point a, la mesure de probabilit´ e dμ =

δ

+

δ

v´ erifie x

dμ = 1,

x

dμ = 2 et

x dμ = 1 − r.

Nous pouvons am´ eliorer cette estimation en tenant compte des r´ esultats de Kim et Shahidi [11] (voir page 194), selon lesquels les moments logarithmiques d’ordre 6 et 8 de τ

(p) valent respectivement 5 et 14. Nous montrons au paragraphe 4 que cela implique

(1 · 6)

px

τ

(p)

p { 1 − s } log

x + O(1) avec

(1 · 7) s =

− 102 − 7 √ 21 210

1 5

(6 + √

21) − 102 + 7 √ 21 210

1 5

(6 − √

21) ≈ 0, 11852.

De plus, cette majoration est optimale sous la seule donn´ ee des moments d’ordre 2, 4, 6 et 8. Elle fournit imm´ ediatement le r´ esultat suivant.

Corollaire 1.3. Avec la notation (1 · 7), on a

(1 · 8)

nx

τ

(n) x

(log x)

(x 2).

2. D´ emonstration du Th´ eor` eme 1.1 2 · ^{1. Lemmes}

Pour chaque fonction arithm´ etique f , nous posons, avec la notation (1 · 2),

(2 · 1) M (f ) := lim sup

x→∞

M (x; f)/x.

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

La partie la plus difficile de la d´ emonstration consiste ` a ´ etablir que, si f ∈ R

( R

) et M (f ) = 0, on a n´ ecessairement

(2 · 2)

p

ν2

f(p

)

p

< ∞ .

Ainsi qu’il a ´ et´ e not´ e dans l’introduction, nous obtenons (2 · 2) grˆ ace ` a un argument de r´ egularit´ e locale pour les moyennes M(x; f ) diff´ erent de ceux qui sont employ´ es dans [4] ou [6].

Lemme 2.1. Soient A > 0 et f ∈ R

( R

). Si M(f ) > 0, il existe des constantes B > 0, c

> 0 et c

> c

telles que

M(x; f ) Ax ⇒ min

x^c1zx^c2

M(z; f )

z B (x 1).

D´emonstration. Comme f

< ∞ , on a d’une part f (n) √

n (n 1) et d’autre part, pour σ ∈ ]1, 2],

(2 · 3)

n1

f (n)

n

= σ

1

M (t; f

)

t

dt 1 σ − 1 ·

Notons, ` a fins de r´ ef´ erence ult´ erieure, que, par une application convenable de l’in´ egalit´ e de H¨ older, cela implique, pour tout α ∈ ]0, 2[,

(2 · 4)

p

ν2

f (p

)

p

< ∞ . Posons S(x; f ) :=

px

{ f (p) − 1 } /p. Nous ´ etablissons dans un premier temps que, pour tout α ∈ [1, 2[ et L = L(α) 0 convenablement choisi, on a

(2 · 5) S(x; f

) L (x 2).

Notons P

(n) le plus grand facteur premier d’un entier n avec la convention P

(1) = 1. Pour prouver (2 · 5), nous observons d’abord que, pour tout entier k 0 et tout nombre r´ eel x 3,

x^kn<x^k+1 P⁺(n)x

f (n)

n

nx^k+1

f (n)

n

P⁺(n)x

e

n

{ (k + 1) log x }

exp

− (1 − α/2)k + (1 − α/2)

px

p

(k + 1)

e

log x.

En sommant sur k ∈ N , il vient

px

1 + f (p)

p

log x.

Cela implique bien (2 · 5) en prenant les logarithmes et en utilisant la convergence de la s´ erie

p

f (p)

/p

, dont le terme g´ en´ eral est f (p)

/p

.

Ensuite, nous montrons que toute fonction f de R

( R

) telle que M(f

) = 0 satisfait une forme faible d’une estimation classique de Halberstam et Richert [8], soit

(2 · 6) M(x; f ) xe

(x 2).

A cette fin, nous ´ ` ecrivons M(x; f ) log x

nx

f (n)

log n + x n

mp^νx

f (m)f(p

) log(p

) + x

nx

f (n) n · Au vu de (2 · 4), la derni` ere somme est e

log x. Pour majorer la premi` ere, nous introduisons un param` etre H 1 et scindons la sommation selon que l’on a ou non f (p

) H . Grˆ ace aux estimations

p^νz

log(p

) z, M(z; f ) z (z 1), il suit

(2 · 7)

mp^νx

f (m)f (p

) log(p

) Hx

mx

f (m)

m + x

p^νx f(p^ν)>H

f (p

) log(p

) p

Hxe

log x + x

f(pxp)>H

f(p) log p

p ,

o` u nous avons trait´ e la contribution des p

avec ν 2 par l’in´ egalit´ e de H¨ older en appliquant (2 · 4).

A ce stade, nous utilisons l’hypoth` ` ese f ∈ R

( R

) sous la forme z M(z; f

)

√z<pz

f (p)

M z p ; f

z

√z<pz

f (p)

p (z 1).

D’o` u

√z<pz f(p)>H

f (p)

p 1

H ,

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

et donc, en multipliant par log z, en sp´ ecialisant z := x

(k 0) et en sommant sur k,

f(pxp)>H

f (p) log p

p log x

H (x 1).

Cela implique (2 · 6) en reportant dans (2 · 7) et en choisissant H := e

. Nous obtenons donc, sous l’hypoth` ese M(x; f ) Ax,

(2 · 8) S(x; f ) − K

o` u K est une constante positive d´ ependant a priori de f et A.

Donnons-nous alors un param` etre a > 0 et posons ϕ

(t) :=

a(t

− 1)+a(1 − t).

Ainsi, ϕ

est d´ ecroissante sur [0, 1], croissante sur [1, ∞ [ et ϕ

(1) = 0. Choisissons alors a := 6(1 + √

2), de sorte que ϕ

(

) = 1, ϕ

(2) = 2(3 − √

2 ) > 1. On v´ erifie

´

egalement que ϕ

(t) − t + 1 est croissante pour t 2. Il suit 1

(t) + (t − 1) 1

(t) ϕ

(t) (t 0).

Nous d´ eduisons donc de (2 · 8) et (2 · 5) que, sous l’hypoth` ese M(x; f ) Ax, nous avons

f(ppx)1/2

1

p +

f(pxp)2

f (p) − 1

p

px

ϕ

f (p)

p

aL(

) + aK.

Comme x peut ˆ etre pris arbitrairement grand, nous obtenons

(2 · 9)

f(p)1/2

1

p +

f(p)2

f (p) p < ∞ .

Nous sommes ` a pr´ esent en mesure d’aborder la phase essentielle de la preuve.

Etant donn´ ´ e x 1 tel que M(x; f ) Ax, nous introduisons une nouvelle fonction multiplicative f

d´ efinie par

f

(p

) :=

0 si p > x ou ν 2 ou f (p) ∈ / [

, 2], f (p) si ν = 1, p x,

f (p) 2.

Il est clair que 0 f

f .

Nous avons

1

M(t; f

)

t

dt =

n1

f

(n)

n =

px

1 + f

(p) p

et, grˆ ace ` a l’encadrement u −

u

log(1 + u) u (0 u 1), nous en d´ eduisons, en vertu de (2 · 3), (2 · 5), (2 · 8) et (2 · 9),

M(t; f

)

t

dt log x.

Montrons que cette estimation persiste lorsque l’int´ egrale est restreinte ` a un domaine du type x

t x

pour une constante convenable η ∈ ]0, 1[. ` A cette fin, nous utilisons d’une part la majoration M (t; f

) t, qui fournit

1

M(t; f

)

t

dt η log x, et d’autre part l’in´ egalit´ e

M(t; f

) M(t; f

)

Ψ(t, x)

o` u Ψ(t, x) d´ esigne le nombre des entiers x-friables n’exc´ edant pas t. En ins´ erant la majoration uniforme

Ψ(t, x) t

(t 1, x 2),

´

etablie dans [17] (th. III.5.1), nous obtenons

x^1/η

M(t; f

)

t

dt e

log x.

Cela implique bien, pour un choix convenable du param` etre η, (2 · 10)

x^η

M(t; f

)

t

dt log x.

Pour δ > 0, d´ esignons par E(δ; x) l’ensemble des nombres r´ eels t de [x

, x

] tels que M(t; f

) > δt. Il d´ ecoule de (2 · 10) que l’on a, pour une constante convenable C > 0,

log x

x^η

M(t; f

)

t

dt δ log x η + C

E(δ;x)

dt t . Ainsi, lorsque δ est suffisamment petit,

E(δ;x)

dt

t log t 1 log x

E(δ;x)

dt

t 1.

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

En vertu de la majoration M(w; f ) − M(v; f )

(1 + w − v)M(w; f

)

w(1 + w − v) (w v 1), nous avons, pour x assez grand,

t ∈ E(δ; x) et t

x

⇒

t, t + t/ log x] ⊂ E(δ/2; x).

Il existe donc au moins r (log x)

intervalles disjoints [t

, t

+ t

/ log x] dont la r´ eunion est incluse dans E(δ/2; x). Une forme forte du th´ eor` eme des nombres premiers nous permet d’en d´ eduire que, pour tout z ∈

x

, x

, nous avons

z/p∈E(δ/2;x)

1 p 1, et donc, compte tenu de (2 · 9),

z/p∈E(δ/2;x)

f (p) p 1.

Or, nous avons trivialement M(z; f )

mpzm<p

f

(m)f (p)

z/p∈E(δ/2;x)

f (p)M(z/p; f

)

z/p∈E(δ/2;x)

f (p) δz p z.

Nous avons donc ´ etabli le r´ esultat annonc´ e avec c

:= 2/η, c

:= 3/η.

Lemme 2.2. Soit f ∈ R

( R

). Si M(f ) > 0, alors

(2 · 11)

p

ν2

f(p

)

p

< ∞ .

D´emonstration. Comme dans [4], nous faisons appel ` a la forme duale de l’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius (voir par exemple [17], th. III.3.2). Notant f

la fonction multiplicative d´ efinie par

f

(n) :=

f (n) si p n,

0 si p | n,

nous avons

(2 · 12)

p^νx

p

f (p

)M x p

; f

− 1 − 1/p

p

M (x; f)

x

(x 1).

Or, pour tout z 1, nous pouvons ´ ecrire M(z; f

) = M(z; f ) −

n≡0 (modnz p)

f (n) M(z; f ) − Bz

√ p

o` u, la somme en n ayant ´ et´ e major´ ee par l’in´ egalit´ e de Cauchy–Schwarz, B est une constante convenable. D’apr` es le Lemme 2.1, il existe une suite infinie X de valeurs de x et une constante ε > 0, telles que

M(x/p

; f ) x/p

(x ∈ X , p

x

).

La mˆ eme ´ evaluation est donc valable pour M(x/p

; f

) d` es que p > p

si p

est choisi assez grand. Il s’ensuit que

p>p0

ν2 p^νx^ε

f (p

)

p

p>p0

ν2

1

p

+ 1 1 (x ∈ X ).

En faisant tendre x vers l’infini tout en restant dans X , nous obtenons la convergence de la sous-s´ erie de (2 · 11) correspondant ` a p > p

.

Lorsque p p

, nous observons que, pour x ∈ X , x

z x

, z M(z, f) =

ν0

f (p

)M z p

; f

z

M(z; f

)

ν0

f (p

)

p

z

M(z; f

)

z

M(z; f

)

. Maintenant, pour z := x

et ε > 0 assez petit, il suit

z

p^νx^ε

f (p

)

p

p^νx^ε

f(p

)

M z p

; f

M(z; f

) z.

Cela montre que chacune des sommes int´ erieures de (2 · 11) est convergente et ach` eve

ainsi la d´ emonstration.

D´ esignons par P

(n) le plus petit facteur premier d’un entier naturel n, avec la

convention P

(1) = ∞ .

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

Lemme 2.3. Soit f ∈ R

( R

). Si M(f) = 0, il existe un nombre r´ eel y

tel que, pour tout entier D fix´ e satisfaisant ` a P

(D) > y

et x assez grand, on ait

(2 · 13)

nx (n,D)=1

f (n) x

p|D

1 − 1/p 1 + f (p)

/p

.

D´emonstration. On a M(f

) M(f )

> 0 d’apr` es l’in´ egalit´ e de Cauchy–Schwarz.

La relation

nx

f (n)

= M(f

)x + o(x) (x → ∞ )

implique imm´ ediatement f(n)

= o(n) lorsque n → ∞ . D’apr` es le Lemme 2.2, il existe donc un nombre r´ eel y

tel que

(2 · 14) sup

p>y0

ν1

f (p

)

/p

. D´ efinissons une nouvelle fonction multiplicative h

par

h

(p

) :=

f (p

)

si p D, 0 si p | D.

Ecrivons alors la relation de convolution ´ h

= f

∗ g

o` u g

est la fonction multiplicative d´ efinie par les identit´ es formelles

(2 · 15)

ν0

g

(p

)z

:=

ν0

f(p

)

z

si p | D,

1 si p D.

Ainsi, pour tout diviseur premier p de D, la s´ erie de gauche admet pour s´ erie majorante la s´ erie ` a coefficients positifs ou nuls

1 1 −

ν1

f (p

)

z

=

k0 ν1

f (p

)

z

.

Il r´ esulte donc de (2 · 14) que

(2 · 16)

n1

| g

(n) |

n =

p|D

ν0

| g

(p

) | p

< ∞ .

D´ esignons par Φ

(x) le nombre des entiers premiers ` a D n’exc´ edant pas x et notons H

la fonction sommatoire de h

. Nous avons

(2 · 17)

nx (n,D)=1

f (n)

Φ

(x)H

(x) (x 1).

Il r´ esulte imm´ ediatement de (2 · 16) que (2 · 18) H

(x) =

kx

g

(k)

mx/k

f (m)

∼ M (f

)G(D)x (x → ∞ ) avec la notation

G(D) :=

n1

g

(n)

n =

p|D

1

ν0

f (p

)

/p

·

Nous avons par ailleurs, d’apr` es un r´ esultat classique de crible (voir par exemple [17] th. I.4.3),

(2 · 19) Φ

(x) x

p|D

1 − 1

p

(x D).

Cela implique bien l’´ evaluation annonc´ ee.

Nous utilisons ´ egalement le r´ esultat taub´ erien suivant, dont une version plus faible suffirait d’ailleurs ` a notre application. Nous donnons la courte d´ emonstration pour la commodit´ e du lecteur.

Lemme 2.4. Soit { a

}

une suite index´ ee par les nombres premiers, ` a valeurs r´ eelles positives ou nulles, et telle que a

= o(p) (p → ∞ ). Si le produit

A(σ) :=

p

1 + a

p

converge pour tout σ > 1 et si la limite a := lim

A(σ)/ζ(σ) existe et est non nulle, alors le produit infini

p

(1 + a

/p)(1 − 1/p) converge vers a.

D´emonstration. On a a

p pour p assez grand. Comme nous pouvons traiter trivialement toute partie finie du produit, nous pouvons supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e que cette in´ egalit´ e est r´ ealis´ ee pour tout p. Posant b

:= − log a, b

:= { ( − 1)

a

− 1 } /ν si n = p

avec ν 1 et b

:= 0 si n n’est pas une puissance de nombre premier, nous d´ eduisons alors des hypoth` eses effectu´ ees que la s´ erie

B(σ) :=

n1

b

n

= − log a +

p

log 1 + a

p

1 − 1 p

converge pour tout σ > 1 et v´ erifie

(2 · 20) lim

σ→1

B(σ) = 0.

On a

B

(σ) =

p

a

(log p)

p

(p

+ a

)

−

p

p

(log p)

(p

− 1)

ζ

(σ)

− ζ(σ)ζ

(σ)

ζ(σ)

− K

(σ − 1)

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

pour une constante convenable K. D’apr` es un th´ eor` eme de Landau (voir par exemple [17], th. II.7.6), nous obtenons

− B

(σ) =

p

a

log p

a

+ p

− log p p

− 1

= o 1 σ − 1

(σ → 1+), et donc

(2 · 21)

p

a

log p a

+ p

∼ 1

σ − 1 (σ → 1+).

Cette derni` ere relation implique ` a son tour

p

a

log p

p

(a

+ p

) =

p

o(a

log p)

a

+ p

= o 1 σ − 1

(σ → 1+), et donc, grˆ ace ` a (2 · 21),

p

a

log p p

∼ 1

σ − 1 (σ → 1+).

Nous pouvons alors d´ eduire du th´ eor` eme de Karamata que l’on a

px

a

− 1

p log p = o log x

(x → ∞ ),

et, de nouveau grˆ ace ` a la relation a

= o(p), (2 · 22)

nx

b

log n

n =

ν1

px^1/ν

( − 1)

a

− 1

p

log p = o(log x) (x → ∞ ).

Or, le th´ eor` eme de Tauber sous forme int´ egrale (voir par exemple [17], th. II.7.4) stipule que, sous l’hypoth` ese (2 · 20), la relation (2 · 22) ´ equivaut ` a

n1

b

n = 0.

Remarque. Le th´ eor` eme taub´ erien de Hardy–Littlewood–Karamata implique facile- ment que, pour toute suite { c

}

major´ ee ou minor´ ee, la relation

σ→1+

lim

p

c

p

= b

implique la convergence vers b de la s´ erie

p

c

/p. Ce r´ esultat, qui aurait ´ et´ e suffisant pour notre application, est, par exemple, ´ etabli dans [18] (Exercice II.7.8) lorsque la suite est born´ ee et la mˆ eme technique fonctionne sans changement sous une hypoth` ese unilat´ erale. Au vu de la relation

log 1 − 1

p

1 − a

p

= a

− 1

p

+ O a

+ (a

− 1)

p

nous voyons donc que la conclusion du Lemme 2.4 est acquise si nous disposons de l’information suppl´ ementaire que la s´ erie

p

(a

− 1)

/p

converge. Notre ´ enonc´ e permet de s’affranchir de cette derni` ere condition.

2 · ^{2. Compl´} etion de l’argument

Soit f ∈ R

( R ). Si M( | f | ) = 0, alors f ∈ R

( R ) et M(f) = 0. Nous pouvons donc supposer dans la suite que l’on a

(2 · 23) M( | f | ) > 0.

Par une simple application de l’in´ egalit´ e de Cauchy–Schwarz cela implique que c := M(f

) > 0.

Une sommation d’Abel standard permet d’´ ecrire

n1

f (n)

n

∼ c

σ − 1 (σ → 1+).

Il s’ensuit que

σ→

lim

1 ζ(σ)

p

ν0

f (p

)

/p

= c, et donc, en vertu du Lemme 2.2,

σ→

lim

1 ζ(σ)

p

1 + f (p)

/p

= a := c

p

1 +

ν2

f (p

)

/p

1 + f (p)

/p

−1

> 0.

De plus, la relation

nx

f (n)

= cx + o(x) (x → ∞ )

implique imm´ ediatement f(n)

= o(n) lorsque n → ∞ . Nous pouvons donc appliquer le Lemme 2.4 ` a la suite { f (p)

}

, d’o` u

(2 · 24)

px

1 + f (p)

p

∼ a

px

1 − 1

p

(x → ∞ ).

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

Etablissons d’abord l’existence d’une valeur moyenne pour ´ f lorsque la s´ erie (1 · 1) converge.

Sous cette hypoth` ese suppl´ ementaire, nous d´ eduisons de (2 · 24) et de l’estimation (2 · 25) log

1 + f (p)

p

1 − 1

p = f (p)

− 1

p + O { f (p)

− 1 }

+ f (p)

p

,

la convergence de la s´ erie

(2 · 26)

p

f (p)

− 1

p ·

Pour chaque y 2, introduisons alors la fonction multiplicative f

d´ efinie par

(2 · 27) f

(n) :=

p^ν n py

f (p

).

On a f

= g

∗ 1 o` u g

est la fonction multiplicative d´ efinie par g

(p

) :=

f (p

) − f (p

) si p y,

0 si p > y.

Comme la s´ erie

n1

| g

(n) |

n =

py

1 +

ν1

| f (p

) − f (p

) | p

est convergente, f

poss` ede, pour chaque y fix´ e, une valeur moyenne

(2 · 28) M(f

) =

n1

g

(n)

n =

py

1 − 1

p

f (p

) p

·

L’identit´ e f (p) − 1 =

{ f (p)

− 1 } −

(f (p) − 1)

montre alors que la s´ erie

(2 · 29)

p

f (p) − 1 p

est ´ egalement convergente, ce qui implique ` a son tour la convergence de M(f

) vers une limite non nulle lorsque y → ∞ .

Il reste ` a majorer | M(x; f ) − M (x; f

) | . ` A cette fin, nous introduisons la fonction multiplicative ϕ

, duale de f

, d´ efinie par

ϕ

(p

) :=

1 si p y,

f (p

) si p > y.

La fonction f

est dans R

( R ) pour chaque y fix´ e, et v´ erifie M(f

) =

py

1 − 1

p

f (p

)

p

1,

en vertu des diverses convergences ´ etablies plus haut. En notant que l’on a f

(n) | ϕ

(n) − 1 |

| f (n)f

(n) | + | f

(n) | | f (n) | + | f

(n) | uniform´ ement pour n 1, y 2, d’o` u

| f (n) − f

(n) |

| f (n) | + | f

(n) |

| ϕ

(n) − 1 |

, et, en appliquant l’in´ egalit´ e de H¨ older avec exposants

et 3,

(2 · 30)

| M(x; f ) − M(x; f

) | M(x; | f − f

| )

M(x; | f |

+ | f

|

)

M(x; | ϕ

− 1 |

)

x

M(x; | ϕ

− 1 |

)

.

Consid´ erons alors les fonctions additives ϑ

(n) :=

p^ν n p>y

{ f (p

) − 1 }

, ψ

(n) :=

p^ν n, p>y

|f(p^ν)|>1/2

log f (p

),

avec une d´ etermination quelconque du logarithme complexe d´ efinie sur R

. Si ϑ

(n) <

, alors exp ψ

(n) = ϕ

(n). Il est donc clair que, pour ε ∈ ]0, 1[, on a

ϑ

(n) <

et | ψ

(n) | ε ⇒ | ϕ

(n) − 1 | ε.

Nous pouvons donc ´ ecrire, pour tous y 2 et ε ∈ ]0, 1[, (2 · 31) M(x; | ϕ

− 1 |

) ε

x+

M(x; ϑ

) + M(x; ψ

) ε

1/4

M(x; | ϕ

− 1 |

)

, o` u nous avons major´ e la fonction indicatrice de l’ensemble des entiers n tels que

| ϕ

(n) − 1 | > ε par ϑ

(n)

+

| ψ

(n) | /ε et appliqu´ e l’in´ egalit´ e de H¨ older avec exposants 4 et

. Une simple application de (2 · 18) avec D :=

y0<py

p fournit, pour y fix´ e et x → ∞ ,

(2 · 32) M(x; | ϕ

− 1 |

)

p|m⇒pymx

x m

py

1

1 + f (p)

/p x

py

1 + 1/p

1 + f (p)

/p x

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

o` u la constante implicite est ind´ ependante de y. De plus, en utilisant syst´ ema- tiquement l’approximation log z = z − 1 + O( | z − 1 |

) lorsque z ∈ R [ −

,

] et en tenant compte des convergences des s´ eries (1 · 1), (2 · 11) et (2 · 26), nous d´ eduisons de l’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius que

(2 · 33)

M(x; ψ

) x

p>y ν1

| log f (p

) |

p

+

p>y p^νx

log f(p

) p

x

p>y ν1

(f (p

) − 1)

p

+

y<px

f (p) − 1 p

xε

o` u ε

= o(1) lorsque y → ∞ . On a clairement M(ϑ

) ε

pour tout y. En faisant tendre x, puis y vers l’infini et ensuite ε vers 0 dans (2 · 31), nous obtenons bien l’existence d’une valeur moyenne pour f .

Supposons ` a pr´ esent que la s´ erie (1 · 1) diverge. Nous devons montrer que f est de valeur moyenne nulle.

Consid´ erons d’abord le cas f 0. Nous raisonnons par l’absurde et ´ etablissons que l’hypoth` ese (2 · 23), i.e. M(f ) > 0, conduit ` a une impossibilit´ e.

Soit D = D

:=

y0<py

p. Notons S

(x) l’ensemble des entiers n’exc´ edant pas x dont tous les facteurs premiers divisent D. Nous avons

nx

f (n) =

m∈SD(x)

f (m)

nx/m (n,D)=1

f (n)

x

m∈SD(x)

f (m) m

y0<py

1 − 1/p 1 + f (p)

/p

+ o(x),

d’apr` es le Lemme 2.3. Il suit M (f )

y0<py

ν0

f (p

) p

1 − 1/p 1 + f (p)

/p

y0<py

1 + f(p) p

1 − 1/p 1 + f (p)

/p

.

Consid´ erons alors la fonction λ

(w) := log

1 + w p

+

log 1 − 1

p

−

log 1 + w

p

+ (w − 1)

8p . On a

λ

(w) = (w − 1) { (p + w)(p + w

) − 4p

}

4p(p + w)(p + w

) ,

donc λ

(w) est du signe de 1 − w sur l’intervalle [0, √ p]. En particulier, λ

(w) λ

(1) < 0 pour 0 w √ p. En appliquant cette in´ egalit´ e avec w = f (p), nous obtenons

M(f ) exp

−

y0<py

{ f (p) − 1 }

8p

.

Le r´ esultat annonc´ e d´ ecoule de cette majoration en faisant tendre y vers l’infini.

Nous sommes ` a pr´ esent en mesure de traiter le cas g´ en´ eral.

Si l’on a

(2 · 34)

p

( | f (p) | − 1)

p = ∞ ,

il s’ensuit, d’apr` es ce qui pr´ ec` ede, que M( | f | ) = 0 et donc M(f ) = 0. Nous pouvons donc supposer dor´ enavant que la s´ erie (2 · 34) converge. L’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius (2 · 12) implique alors

(2 · 35)

px

p

f (p)M x p ; f

− M(x; f ) p

x

(x 1),

puisque l’on a M(x/p; f

) = M(x/p; f ) + O(x/p

) pour tout p x.

Supposons momentan´ ement que, pour chaque α > 0 et chaque y 2, il existe un x

= x

(α, y) tel que

(2 · 36)

| M(x; f ) | > αx et x > x

(α, y)

⇒ min

py

M(x/p; f )M(x; f ) > 0.

Nous d´ eduisons alors de (2 · 35) que l’on a, pour x > x

(y) et | M(x; f ) | > αx,

(2 · 37)

py

p M x

p ; f

− M (x; f) p

2

py

p

| f (p) | M x p ; f

− M(x; f ) p

+ 2

py

p

( | f (p) | − 1)M x p ; f

x

+ x

py

( | f (p) | − 1)

p x

.

Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives

D’o` u, dans les mˆ emes conditions, M(x; f )

py

(f (p) − 1)

p

=

py

p

{ f (p) − 1 } M(x; f )

p − f (p)M x p ; f

+ f (p)M x p ; f

2

py

pf(p)

M(x; f )

p − M x p ; f

+ 2

py

p

f (p)M x p ; f

− M(x; f ) p

x

+ x

|f(pxp)|>2

f (p)

p x

,

o` u la derni` ere estimation r´ esulte de la convergence de la s´ erie (2 · 34). Comme la s´ erie (1 · 1) diverge, cela implique imm´ ediatement lim sup | M(x; f ) | /x = 0 et donc M(f ) = 0.

Il reste ` a ´ etablir (2 · 36). Comme annonc´ e dans l’introduction, nous utilisons ` a cette fin un argument tr` es simple dˆ u ` a Hildebrand [10].

Nous allons en fait montrer que, pour tout ε > 0, on a, pour δ = δ(ε) > 0 convenable et x assez grand,

(2 · 38) sup

x^1−δzx

|| M(x; f ) | /x − | M(z; f ) | /z | ε.

Cela implique bien le r´ esultat souhait´ e puisque les moyennes locales M(t; f )/t varient d’au plus | f (n) | /n 1/ √

n dans chaque intervalle [n, n + 1[.

Pour montrer (2 · 38), nous commen¸ cons par observer que, par une manipulation analogue ` a (2 · 37), nous avons pour tout x 1

px

p

M x p ; f

− | M(x; f ) | p

x

,

d’o` u, pour tout ξ ∈ [1, x], par une application standard de l’in´ egalit´ e de Cauchy–

Schwarz,

| M(x; f ) |

ξ<px

1

p =

ξ<px

M x

p ; f

+ | M(x; f ) |

p −

M x p ; f

=

ξ<px

M x p ; f

+ O

x

ξ<px

1 p

.

Choisissons ξ := x

o` u ϑ est un param` etre de [1,

log

x] qui sera pr´ ecis´ e plus loin. Nous avons classiquement

ξ<px

1/p = ϑ+O(1/ √

log x ). Nous pouvons donc