Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes

HAL Id: hal-01300328

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Submitted on 6 Jul 2020 (v18), last revised 24 Nov 2021 (v19)

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complexes

Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Gérald Tenenbaum. Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes. Ramanujan Journal,

Springer Verlag, 2017, 44 (3), pp.641-701. �10.1007/s11139-017-9949-7�. �hal-01300328v18�

(2017), 641-701.

Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes ^∗

G´ erald Tenenbaum

Abstract. We establish effective mean-value estimates for a wide class of multiplicative arithmetic functions, thereby providing (essentially optimal) quantitative versions of Wirsing’s classical estimates and extending those of Hal´asz. Several applications are derived, including:

estimates for the difference of mean-values of so-called pretentious functions, local laws for the distribution of prime factors in an arbitrary set, and weighted distribution of additive functions.

Keywords. Quantitative estimates, multiplicative functions, effective mean-value theorems, weighted distribution of additive functions.

2010 AMS Classification.Primary 11N56, Secondary 11K65, 11N37, 11N60, 11N64.

Sommaire

1 Introduction et ´enonc´e des r´esultats. . . 1

2 Applications. . . 5

3 Preuve du Th´eor`eme 1.1. . . 10

3.1 Lemme de Gallagher. . . 10

3.2 R´eduction au cas exponentiellement multiplicatif. . . 11

3.3 Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif . . . 12

4 Preuve du Th´eor`eme 1.2. . . 16

4.1 Lemmes. . . 16

4.2 Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif. . . 21

4.3 Compl´etion de l’argument. . . 28

5 Preuve du Th´eor`eme 1.3. . . 29

5.1 In´egalit´e de Tur´an-Kubilius pond´er´ee. . . 29

5.2 Compl´etion de l’argument. . . 31

6 Preuve du Th´eor`eme 1.4. . . 34

7 Preuves des corollaires. . . 36

7.1 Preuve du Corollaire 2.1. . . 36

7.2 Preuve du Corollaire 2.4. . . 36

7.3 Preuve du Corollaire 2.5. . . 38

7.4 Preuve du Corollaire 2.6. . . 40

1. Introduction et ´ enonc´ e des r´ esultats

Les estimations de valeurs moyennes de fonctions multiplicatives constituent un outil pri- vil´ egi´ e de la th´ eorie probabiliste des nombres. Elles permettent notamment d’appr´ ehender la r´ epartition des fonctions additives sur les N premiers entiers via leurs fonctions caract´ eristiques et, partant, d’obtenir des th´ eor` emes de convergence avec contrˆ ole de l’approximation. Les deux succ` es historiques de la th´ eorie sont respectivement dus ` a Wirsing [35] et Hal´ asz [13].

D´ esignons par M (A, B) la classe des fonctions multiplicatives v´ erifiant

(1·1) max

p

|f(p)| 6 A, X

p, ν>2

|f (p

^ν

)| log p

^ν

p

^ν

6 B.

Ici et dans la suite, nous r´ eservons la lettre p pour d´ esigner un nombre premier.

Dans son remarquable article [35], Wirsing ´ etablit notamment que, si r ∈ M (A, B), r > 0, et s’il existe % > 0 tel que

(1·2) X

p6x

r(p) log p

p ∼ % log x (x → ∞),

alors toute fonction multiplicative r´ eelle f telle que |f| 6 r v´ erifie, lorsque x → ∞, (1·3) M (x; f) := X

n6x

f(n) = e

^−γ%

Γ(%) Y

p

P

ν>0

f(p

^ν

)/p

^ν

P

ν>0

r(p

^ν

)/p

^ν

+ o(1) x

log x Y

p

X

p^ν6x

r(p

^ν

) p

^ν

, o` u le produit infini est consid´ er´ e comme nul lorsqu’il diverge.

⁽¹⁾

Ici et dans la suite, nous notons γ la constante d’Euler.

∗Nous incluons ici quelques corrections mineures relativement `a la version publi´ee.

1. Le second produit est en fait fini.

Le cas r = 1 (la fonction constante ´ egale ` a 1), % = 1, confirme une c´ el` ebre conjecture d’Erd˝ os selon laquelle une fonction multiplicative r´ eelle ` a valeurs dans [−1, 1] poss` ede n´ ecessairement une valeur moyenne.

Dans [13], Hal´ asz a ´ elucid´ e le comportement asymptotique des fonctions multiplicatives complexes f ` a valeurs dans le disque unit´ e. Son r´ esultat principal ´ etablit une dichotomie : soit il existe τ ∈ R tel que

(1·4) X

p

1 − <e {f(p)/p

^iτ

} p < ∞, et nous avons alors

(1·5) M (x; f ) ∼ x

^1+iτ

1 + iτ

Y

p6x

1 − 1

p X

ν>0

f(p

^ν

)

p

^ν(1+iτ)

+ o(x) (x → ∞),

soit la s´ erie diverge pour tout τ ∈ R , et l’on a M(x; f ) = o(x) lorsque x → ∞. Une pr´ ecision suppl´ ementaire est que, sous l’hypoth` ese (1·4), le terme principal de (1·5) est de la forme K

τ

x

^1+iτ

L

τ

(log x) o` u L

τ

est une fonction de module unit´ e ` a croissance lente au sens de Karamata [22], c’est-` a-dire telle que L

_τ

(u)/L

_τ

(v) → 1 lorsque u et v tendent vers l’infini sous la condition u v.

Une preuve alternative du cas de convergence a ´ et´ e obtenue par Delange via une m´ ethode reposant, ` a partir d’une id´ ee de R´ enyi, sur l’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius : voir [33], th. III.4.4, pour une d´ emonstration de ce r´ esultat non publi´ ee par Delange.

Indlekofer, K´ atai & Wagner [21] ont g´ en´ eralis´ e ces r´ esultats

⁽²⁾

en ´ etablissant que, pour toutes fonctions multiplicatives r, f , telles que r ∈ M (A, B), f ` a valeurs complexe, |f| 6 r, et sous l’hypoth` ese (1·2), nous avons M (x; f) = o M(x; r)

lorsque x → ∞ si la condition

(1·6) X

p

r(p) − <e {f(p)/p

^iτ

}

p < ∞

n’est r´ ealis´ ee pour aucune valeur de τ ∈ R . Ils ´ enoncent ´ egalement que, sous la condition (1·6) nous avons, lorsque x → ∞,

(1·7) M (x; f) =

Y

p6x

P

ν>0

f(p

^ν

)/p

^ν(1+iτ)

P

ν>0

r(p

^ν

)/p

^ν

+ o(1)

x

^iτ

M (x; r) 1 + iτ ·

Cette formule asymptotique r´ esulte en fait implicitement, sous la mˆ eme hypoth` ese (1·6), du travail de Wirsing [35]. Notons ´ egalement que les estimations de Wirsing impliquent l’´ equi- valence de (1·7) et

(1·8) M(x; f ) = e

^−γ%

x

^1+iτ

(1 + iτ )Γ(%) log x

Y

p6x

X

ν>0

f (p

^ν

)

p

^ν(1+iτ)

+ o (log x)

^%

. De plus, le cas g´ en´ eral se r´ eduit ais´ ement, par sommation d’Abel, au cas τ = 0.

Les d´ eveloppements ult´ erieurs de la th´ eorie ont principalement vis´ e ` a rendre les r´ esultats pr´ ec´ edents effectifs, c’est-` a-dire ` a expliciter les majorations dans le cas de divergence et les termes d’erreur dans le cas de convergence. La n´ ecessit´ e de telles estimations ´ etant naturellement plus imp´ erieuse dans le cas o` u le terme principal est nul, les recherches se sont d’abord orient´ ees dans cette direction. Les travaux de Hal´ asz [14], pr´ ecis´ es par Montgomery [28], Elliott [7], puis par l’auteur [33] (ch. III.4), fournissent ainsi des majorations explicites dans le cas de fonctions ` a valeurs dans le disque unit´ e ou dont les valeurs sur les nombres premiers ´ evitent un secteur fixe.

⁽³⁾

2. Un r´esultat qualitatif ant´erieur, de mˆeme nature mais valide sous des hypoth`eses plus fortes, est dˆu

`

a Levin & Timofeev [24].

3. Voir ´egalement [30] pour des variantes relatives `a des sommes pond´er´ees.

Lorsque les f(p) sont confin´ es ` a une ellipse de diam` etre 2 strictement incluse dans le disque unit´ e, Hall & Tenenbaum [19] ´ etablissent la majoration effective

M (x; f) x exp n

− K X

p6x

1 − <e f (p) p

o ,

o` u la constante K est optimale. Ce r´ esultat a ´ et´ e g´ en´ eralis´ e par Hall [18] au cas o` u les f(p) sont confin´ es ` a sous-ensemble strict et ferm´ e du disque unit´ e ´ evitant au moins un point de module 1. Des compl´ ements et raffinements sont propos´ es dans l’article exhaustif de Granville et Soundararajan [11], qui contient ´ egalement des d´ eveloppements relatifs au comportement local les moyennes M (x; f).

Dans la voie d’une version quantitative des estimations de Wirsing, un r´ esultat de Hal´ asz ([14], th. 3) fournit une formule asymptotique avec terme principal non nul lorsque les valeurs aux nombres premiers sont proches de 1. Une version relative aux fonctions ` a valeurs dans [−1, 1] a ´ egalement ´ et´ e donn´ ee par Indlekofer [20] — cf. le Corollaire 2.2 infra.

Nous nous proposons ici de pr´ eciser les r´ esultats ant´ erieurs dans deux directions : d’une part en ´ etendant les majorations effectives aux fonctions des classes M (A, B), d’autre part en fournissant des versions quantitatives de l’ensemble des estimations de type Wirsing telles qu’´ etablies sous forme qualitative par Indlekofer, K´ atai & Wagner dans [21].

Un tel programme suppose que les fonctions multiplicatives consid´ er´ ees soient autoris´ ees ` a d´ ependre du param` etre x gouvernant la taille de la moyenne prise en consid´ eration. Dans la suite, nous consid´ erons donc, pour tous param` etres A > 0, B > 0, j = 0, 1, x > 2, la classe M

j

(x; A, B) des fonctions multiplicatives complexes f v´ erifiant

(1·9) max

p6x

|f(p)| 6 A, X

p^ν6x ν>2

|f(p

^ν

)|(log p

^ν

)

^1+j

p

^ν

6 B.

Notre premier r´ esultat ´ etend aux fonctions de M

1

(x; A, B) le th´ eor` eme III.4.7 de [33], restreint aux fonctions ` a valeurs dans le disque unit´ e. Pour toute fonction multiplicative f dont la s´ erie de Dirichlet P

n>1

f(n)/n

^s

converge dans le demi-plan <e s > 1, nous posons

(1·10)

v

f

(s) = v

f

(s; x) := X

p6x

f(p)

p

^s

(s ∈ C ), H

_T

(α)

²

:= X

k∈Z

|k|6T

1

k

²

+ 1 max

σ=1+α

|τ−k|61/2

|e

^vf(s;x)

|

²

(α > 0, T > 1).

Dans tout ce travail, nous d´ efinissons implicitement les parties r´ eelle et imaginaire d’un nombre complexe s par la formule s = σ + iτ.

Nous posons encore

(1·11) Z(y; f) := X

p6y

f(p)

p (2 6 y 6 x).

Th´ eor` eme 1.1. Soient A > 0, B > 0. Sous les hypoth` eses x > 3, f, r ∈ M

1

(x; A, B), |f| 6 r, et T > 1, nous avons uniform´ ement

(1·12) M (x; f) x log x

Z

1 1/logx

H

_T

(α)

α dα + e

^Z(x;r)

√ T + e

^Z(x;r)

log x + e

^Z(x;r)

log

₂

x T

. De plus, pour tout c > 0 fix´ e, et sous l’hypoth` ese suppl´ ementaire

(1·13) Z(x; r) − Z(y; r) > c log log x

log y

+ O(1) (2 6 y 6 x),

le dernier terme dans l’accolade de (1·12) peut ˆ etre omis.

Le r´ esultat suivant fournit une version effective des formules asymptotiques (1·7) et (1·8).

Conform´ ement ` a une remarque effectu´ ee plus haut, nous nous restreignons, sans perte de g´ en´ eralit´ e, au cas τ = 0.

Etant donn´ ´ ee une fonction arithm´ etique multiplicative complexe f, nous posons w

f

:= 1 si f est r´ eelle, et w

f

:=

¹₂

dans le cas g´ en´ eral.

Th´ eor` eme 1.2. Soient

(1·14)

a ∈]0,

¹₂

], b ∈ [a, 1[, A > 2b, B > 0, x > 1, % = %

x

∈ [2b, A], p := π%

A , β := 1 − sin p

p , h := 1 − b min(1, %) − b · Pour tout ε = ε

x

∈]1/ √

log x,

¹₂

], les assertions suivantes relatives aux fonctions multiplicatives f , r telles que |f| 6 r sont v´ erifi´ ees.

Sous les hypoth` eses

X

p6x

r(p) − <e f (p)

p 6

¹₂

βb log(1/ε), (1·15)

X

x^ε<p6y

{r(p) − <e f (p)}

^h

log p

p ε

^δ1h

log y (x

^ε

< y 6 x), (1·16)

X

p6y

{r(p) − %} log p

p ε log y (x

^ε

< y 6 x), (1·17)

o` u δ

₁

∈]0,

²₃

βb], nous avons, uniform´ ement pour x > 2, r ∈ M

0

(x; A, B), (1·18) M (x; f) = e

^−γ%

x

Γ(%) log x

Y

p

X

p^ν6x

f(p

^ν

) p

^ν

+ O

ε

^δ

e

^Z(x;f)

, o` u l’on a pos´ e δ := w

f

δ

1

.

La constante implicite dans (1·18) d´ epend au plus de A, B, a, b, et des constantes implicites de (1·16) et (1·17).

Remarques. (i) Le Th´ eor` eme 1.2 g´ en´ eralise bien le th´ eor` eme de Wirsing.

(ii) On a h = 1, d` es que % > 1.

(iii) L’hypoth` ese (1·16) est trivialement impliqu´ ee par la condition

(1·19) X

x^ε<p6x

{r(p) − <e f (p)}

^h

p ε

^δ1h

, et, bien entendu, ´ egalement par la majoration uniforme

(1·20) max

x^ε<p6x

{r(p) − <e f (p)} ε

^δ1

. (iv) Les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.2 impliquent

Y

p

X

p^ν6x

f(p

^ν

)

p

^ν

e

^Z(x;f)

alors que les deux membres sont du mˆ eme ordre de grandeur d` es que

(1·21) min

p,x

X

06ν6(logx)/logp

f(p

^ν

) p

^ν

1.

Sous cette condition g´ en´ eriquement v´ erifi´ ee, la formule (1·18) devient

(1·22) M(x; f ) =

1 + O(ε

^δ

) e

^−γ%

x Γ(%) log x

Y

p

X

p^ν6x

f (p

^ν

)

p

^ν

·

L’hypoth` ese (1·17) repr´ esente une contrainte significative pour la r´ epartition des valeurs r(p).

Nous pouvons la remplacer par une minoration en moyenne sur de petits intervalles.

Nous posons

(1·23) β

0

= β

0

(b, A) := 1 − sin(2πb/A)

2πb/A , δ

0

(b) = δ

0

(b, A) :=

¹₃

bβ

0

. Th´ eor` eme 1.3. Soient

a ∈]0,

¹₄

], b ∈ [a,

¹₂

[, A > 2b, B > 0, β := β

₀

(b, A), x > 2, 1/ p

log x < ε 6

¹₂

. Supposons que les fonctions multiplicatives f , r, telles que r ∈ M

0

(x; 2A, B), |f | 6 r, v´ erifient les conditions (1·15), (1·16) avec h := (1 − b)/b, (1·19) avec h = 1, et

(1·24) X

y<p6y^1+ε1

r(p) log p

p > 4bε

1

log y e

^1/ε1

6 y 6 x

^1/(1+ε1)

o` u l’on a pos´ e ε

1

:= √

ε. Supposons de plus que δ

1

∈]0, δ

0

(b)]. Nous avons alors (1·25) M(x; f) = M (x; r) Y

p

P

p^ν6x

f (p

^ν

)/p

^ν

P

p^ν6x

r(p

^ν

)/p

^ν

+ O

x ε

^δ

e

^{Z(x;r)−cZ(x;|f|−f)}

log x

o` u δ := w

_f

δ

₁

, et c := b/A. La constante implicite de (1·25) d´ epend au plus de A, B, a et b.

Remarques. (i) Le r´ ecent et tr` es ´ el´ egant article d’Elliott [8], finalis´ e simultan´ ement au pr´ esent travail, fournit une condition suffisante pour la validit´ e de (1·7) dans laquelle l’hypoth` ese (1·6) est remplac´ ee par une minoration en moyenne de mˆ eme nature que (1·24).

(ii) Les Th´ eor` emes 1.2 et 1.3 pr´ ecisent le th´ eor` eme 2.6 de l’article [25], apparu en ligne post´ erieurement ` a la diffusion du pr´ esent travail sur le r´ eseau.

Il est possible de supprimer la condition (1·19) au prix d’un renforcement des hypoth` eses sur les nombres r(p).

Th´ eor` eme 1.4. Dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.3, la formule asymptotique (1·25) persiste sans la condition (1·19) avec h = 1 si l’hypoth` ese (1·24) est remplac´ ee par min

x^ε<p6x

r(p) > 4b.

Nous fournissons les d´ etails au § 6.

Les m´ ethodes d´ evelopp´ ees dans le pr´ esent travail reposent principalement sur l’approche de Hal´ asz [13], assortie de raffinements introduits dans [28] et [33]. La preuve du Th´ eor` eme 1.3 fait usage d’une version pond´ er´ ee de l’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius (Lemme 5.1) et d’arguments de convolution des fonctions arithm´ etiques. Ainsi que l’attestent les formules asymptotiques obtenues aux Corollaires 2.4 et 2.5, les termes d’erreur effectifs des Th´ eor` emes 1.2, 1.3 et 1.4 sont essentiellement optimaux sous les hypoth` eses effectu´ ees.

Notation. Dans tout ce travail, nous employons la notation de Vinogradov f g pour signifier qu’il existe une constante C telle que |f | 6 C|g| dans le domaine indiqu´ e. Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait que, selon une pratique largement r´ epandue, nous

´

etendons l’usage de cette notation au cas de quantit´ es complexes.

2. Applications

Nous ´ enon¸ cons ici, de fa¸ con non exhaustive, quelques applications des r´ esultats pr´ esent´ es plus haut.

La premi` ere est une cons´ equence simplifi´ ee du Th´ eor` eme 1.1 analogue ` a une majoration de Hal´ asz [16] valable pour les fonctions de module au plus 1, et dont une version optimale est

´

etablie au cor. III.4.12 de [33]. Lorsque r ∈ M

0

(x; A, B) et f est une fonction multiplicative telle que |f | 6 r, nous posons

(2·1) m

_f

(y; T ) := min

|τ|6T

X

p6y

r(p) − <e f(p)/p

^iτ

p (y > 2).

Corollaire 2.1. Soient A > 0, B > 0, b > 0. Sous les conditions x > 3, f, r ∈ M

1

(x; A, B ),

|f| 6 r, T > 1, et

(2·2) X

y<p6x

r(p)

p > b log log x log y

+ O(1) (2 6 y 6 x), nous avons uniform´ ement

(2·3) M(x; f ) M (x; r)

1 + m

_f

(x; T ) e

^mf(x;T)

+ 1

√ T + 1 log x

.

Une illustration simple du Th´ eor` eme 1.2 peut ˆ etre obtenue de la fa¸ con suivante. Soient A et B des constantes positives et f une fonction multiplicative complexe de M

0

(A, B ) telle que max

p

|f (p)| 6 %. Supposons encore que l’analogue de (1·4) est satisfait avec τ = 0, autrement dit

(2·4) X

p

% − <e f (p) p < ∞.

Il r´ esulte alors de (1·8) et de la formule de Mertens que

(2·5) M (x; f) =

Y

p6x

1 − 1

p

%

X

ν>0

f (p

^ν

) p

^ν

+ o(1)

x(log x)

^%−1

Γ(%) ·

Nous pouvons ` a pr´ esent pr´ eciser le terme d’erreur en fonction de la vitesse de convergence de la s´ erie (2·4). En effet, l’hypoth` ese (2·4) implique imm´ ediatement, par sommation d’Abel, que

(2·6) X

p6x

{% − <e f (p)} log p

p 6 η

_x

log x (x → ∞)

pour une fonction convenable η

x

tendant vers 0 ` a l’infini. Choisissons b :=

¹₂

min(1, %), A := %, de sorte que p = π, β = 1, h = 2/ min(1, %) − 1. Posant

(2·7) δ

1

:=

¹₃

min(1, %) 6

²₃

b,

nous avons alors δ

₁

h =

²₃

−

¹₃

min(1, %) et X

x^ε<p6y

{% − <e f (p)}

^h

log p

p ε

^δ1h

log y (x

^ε

< y 6 x) pour le choix ε := η

x^1/(1+δ1h)

+ 1/ √

log x. Comme la condition (1·15) d´ ecoule imm´ ediatement de (2·4) pour x assez grand, nous pouvons ´ enoncer le r´ esultat suivant.

Corollaire 2.2. Soient A > 0, B > 0, % > 0, et f ∈ M

0

(A, B) une fonction multiplicative complexe telle que |f(p)| 6 % pour tout nombre premier p. Sous l’hypoth` ese (2·4) et avec les notations (2·6), (2·7), nous avons

(2·8) M (x; f) = e

^−γ%

x Γ(%) log x

Y

p

X

p^ν6x

f(p

^ν

) p

^ν

+ O

η

^a_x

e

^Z(x;f)

+ e

^Z(x;f)

(log x)

^b

o` u l’on a pos´ e a := w

f

min(1, %)/{5 − min(1, %)}, b := w

f

min(1, %)/6.

Remarque. Sous la condition (1·21), nous d´ eduisons de (2·8) que l’on peut remplacer le terme d’erreur de (2·5) par O η

_x^a

+ 1/(log x)

^b

.

Lorsque f est r´ eelle et % = 1, nous avons donc a =

¹₄

, b =

¹₆

. Cela pr´ ecise un r´ esultat, mentionn´ e plus haut, de Indlekofer [20], qui obtient dans ce cas a =

₃₆¹

par une m´ ethode reposant sur une technique de convolution des fonctions arithm´ etiques.

Dans le mˆ eme esprit, nous pouvons ´ enoncer le r´ esultat suivant. Nous notons P

⁺

(n) le plus

grand facteur premier d’un entier n > 1 avec la convention P

⁺

(1) = 1 et rappelons la notation

δ

₀

(b) d´ efinie en (1·23).

Corollaire 2.3. Soient x > 2, r une fonction multiplicative positive ou nulle satisfaisant aux hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.3 et f, g deux fonctions multiplicatives telles que |f |

²

6 r, |g|

²

6 r.

Supposons que, pour une fonction η

_x

tendant vers 0 lorsque x → ∞ et telle que η

_x

√

log x 1, les majorations

(2·9) X

p6x

r(p) − h(p)

p 6

³₈

β

₀

b log 1 η

_x

, X

p6x

r(p) − h(p)

p log p 6 η

_x

log x,

o` u β

₀

est d´ efini en (1·23), aient lieu pour h = |f |

²

, h = |g|

²

et h = <e f g. Nous avons alors (2·10) M (x; |f − g|

²

) = M (x; r)

( P

P⁺(n)6x

|f(n) − g(n)|

²

/n P

P⁺(n)6x

r(n)/n + O η

^a_x

)

avec a :=

¹₂

β

₀

/{3 + (1 − b)β

₀

}.

Pour ´ etablir cette assertion, il suffit d’observer que les fonctions r et f g (respective- ment |f|

²

, |g|

²

) satisfont aux hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.3 pour le choix ε := η

^1/(1+δx ^1h)

, δ

1

:= δ

0

(b), h := (1 − b)/b, δ :=

¹₂

δ

1

. Nous appliquons ensuite ce r´ esultat aux couples

r, f g

et r, f g

(respectivement (r, |f|

²

), (r, |g|

²

)) en n´ egligeant la contribution impliquant le param` etre c.

Le cas r = 1 du Corollaire 2.3 rel` eve de la th´ eorie des fonctions

^hh

simulatrices

ⁱⁱ

(pretentious en anglais) telle que d´ evelopp´ ee depuis quelques ann´ ees par Granville, Soundararajan et d’autres auteurs — voir par exemple [4], [12], [23]. Si f et g sont des fonctions multiplicatives ` a valeurs dans le disque unit´ e et si (2·9) est satisfaite avec r = 1 pour h = |f|

²

, |g|

²

et <e f g,

⁽⁴⁾

il r´ esulte en particulier de (2·10) avec b =

¹₄

, A =

¹₂

, que

(2·11) M x; |f − g|

²

= e

^−γ

x log x

X

P⁺(n)6x

|f (n) − g(n)|

²

n + O η

_x^2/15

.

Le terme principal de (2·11) vaut alors

M(x; |f|

²

) + M (x; |g|

²

) − xe

^−D2(x;f,g)+O(1)

(x → ∞),

o` u D

²

(x; f, g) := <e Z(x; 1 − f g) est la pseudo-norme de la th´ eorie des fonctions simulatrices.

Au titre d’une autre illustration du Th´ eor` eme 1.3, nous pouvons pr´ eciser un th´ eor` eme de Hal´ asz [14], [15], relatif aux lois locales de la r´ epartition des facteurs premiers d’un entier dans un ensemble quelconque. ´ Etant donn´ e un ensemble E de nombres premiers, notons Ω(n; E) le nombre des facteurs premiers appartenant ` a E, compt´ es avec multiplicit´ e, d’un entier n, et posons

E(x) := X

p6x, p∈E

1 p ·

Hal´ asz a montr´ e que, pour tout κ ∈]0, 1[ fix´ e et uniform´ ement pour

(2·12) 0 6 m 6 (2 − κ)E(x),

le nombre N

_m

(x; E) des entiers n 6 x tels que Ω(n; E) = m v´ erifie (2·13) N

m

(x; E ) = xe

^−E(x)

E (x)

^m

m!

n

1 + O |m − E(x)|

E(x) + 1

p E(x) o

.

4. Cette hypoth`ese est en particulier impliqu´ee, pour une valeur convenable deηx, par la convergence des trois s´eriesP

p{1− <e h(p)}/p.

S´ ark¨ ozy [31] a ensuite ´ etabli que le terme principal de (2·13) fournit en fait l’ordre de grandeur du membre de gauche dans l’intervalle

(2·14) κE(x) 6 m 6 (2 − κ)E(x).

Autrement dit, sous la contrainte (2·14), nous avons, pour x assez grand,

(2·15) N

_m

(x; E) xe

^−E(x)

E(x)

^m

m!

d` es que E(x) tend vers l’infini avec x.

⁽⁵⁾

Cet encadrement a ´ et´ e ult´ erieurement pr´ ecis´ e et g´ en´ eralis´ e par Balazard [2].

Soit κ ∈]0, 1[. Un argument de convolution standard fournit (2·16) S(x; r, E) := X

n6x

r

^Ω(n;E)

= xe

^(r−1)E(x)

1 + O

|r − 1| + 1 (log x)

^1/2

) ,

uniform´ ement pour κ 6 r 6 2 − κ.

⁽⁶⁾

De plus, il r´ esulte par exemple du th´ eor` eme 1.1 de [34]

que, dans les mˆ emes conditions,

(2·17) S(x; r, E) xe

^(r−1)E(x)

.

Nous obtenons le r´ esultat suivant, qui pr´ ecise (2·13) lorsque m − E(x) p

E (x) et implique (2·15). Notant N (E) l’enmpble des entiers dpnt tous les factauers premiers sont dans E, nous posons, lorsque E est fini,

(2·18) F (z; E ) := X

n∈N(E)

z

^Ω(n)

n = Y

p∈E

1 − z

p

−1

(z ∈ C , |z| < 2), et t(x; E ) := p

{log E(x)}/E(x).

Corollaire 2.4. Soient E ⊂ [1, x] un ensemble de nombres premiers tel que lim

x→∞

E(x) = ∞, κ ∈]0, 1[, et K > 0.

(i) Sous l’hypoth` ese κ 6 r 6 2 − κ, z = re

^iϑ

, −π 6 ϑ 6 π, nous avons, uniform´ ement pour x assez grand,

(2·19) S(x; z, E) x e

^{(r−1−κϑ2/180)E(x)}

.

(ii) Sous l’hypoth` ese κ 6 r 6 2 − κ, z = re

^iϑ

, |ϑ| 6 K t(x; E), nous avons, uniform´ ement pour x assez grand,

(2·20) S(x; z, E) = S(x; r, E)

F (z; E) F (r; E ) + O

|ϑ|e

^−cϑ2E(x)

+ 1 (log x)

^c

, o` u c = c(κ, K) > 0.

(iii) Nous avons, uniform´ ement pour x assez grand, (2·21) N

m

(x; E) xe

^−E(x)

E (x)

^m

m! (0 6 m 6 (2 − κ)E(x)).

De plus, sous la condition κE(x) 6 m 6 (2 − κ)E(x) et avec r := m/E(x), nous avons (2·22) N

m

(x; E) = S(x; r, E) E (x)

^m

m!e

^m

1 + O 1

p E(x)

.

Nous donnons la d´ emonstration au paragraphe 7.2. Les assertions (i) et (ii) impliquent imm´ ediatement (2·22) en appliquant la formule de Cauchy sur le cercle |z| = r := m/E(x) et en observant que F (z; E )/F (r; E) = e

^(z−r)E(x)

{1 + O(ϑ)}. Compte tenu de (2·21), on obtient (2·13) en ´ evaluant S(x; r, E) par (2·16). Enfin, l’estimation (2·15) r´ esulte imm´ edia- tement de (2·17) et (2·22).

5. Le cas o`uE(x) est born´e rel`eve de techniques de crible ´el´ementaires.

6. Une estimation essentiellement ´equivalente d´ecoule d’ailleurs du Th´eor`eme 1.2 appliqu´e aux fonctions

f(n) := r^Ω(n;E), r(n) := {max(1, r)}^Ω(n). On peut en effet supposer σ := 1−κ arbitrairement

petit et choisir alors b := ¹₂, A := 1 +σ, % := max(1, r), h := 1, ε := σ⁴/{1 +σ⁴(logx)^5σ}, et δ:= log(1/σ)/log(1/ε)6¹₄.

Hal´ asz a annonc´ e la possibilit´ e de prouver (2·22) — voir [7], p. 312 — en utilisant une variante du th´ eor` eme 3 de [14] dans laquelle les hypoth` eses incluent une condition de type (1·20), mais valable pour tous les nombres premiers n’exc´ edant pas x. Notre approche ne n´ ecessite qu’une majoration en moyenne de type (1·16).

Notons encore que le Corollaire 2.4 demeure valable, mutatis mutandis, lorsque l’on remplace Ω(n; E) par la fonction fortement additive ω(n; E ) = P

p|n, p∈E

1. La borne sup´ erieure 2 − κ peut alors ˆ etre remplac´ ee par 1/κ.

De mˆ eme, l’extension ` a l’approximation des lois locales conjointes des fonctions Ω(n; E

j

) ou ω(n; E

_j

) (1 6 j 6 k) relatives ` a des ensembles fix´ es de nombres premiers disjoints tels que min

j

E

j

(x) → ∞ est imm´ ediate. En appliquant ` a la fonction f(n) := Q

16j6k

z

_j^ω(n;Ej)

le traitement d´ etaill´ e au paragraphe 7.2, nous obtenons ainsi

(2·23) X

n6x ω(n;Ej)=mj(16j6k)

1 = (

1 + O X

16j6k

1 p E

j

(x)

!) Y

16j6k

E

j

(x)

^mj

m

j

! e

^mj

X

n6x

Y

16j6k

r

_j^ω(n;Ej)

uniform´ ement pour κ 6 r

_j

:= m

_j

/E

_j

(x) 6 1/κ (1 6 j 6 k). De plus, le membre de gauche de (2·23) est ´ egal ` a

xe

^O(T)

Y

16j6k

E

_j

(x)

^mj

m

j

! e

^Ej(x)

uniform´ ement pour max

_j

r

_j

6 1/κ, avec T := P

16j6k

|r

_j

− 1| + 1/ p

E

_j

(x) . Ces estimations pr´ ecisent le th´ eor` eme 1.3 de l’article [26], ´ egalement mis en ligne post´ erieurement ` a la compl´ etion et ` a la diffusion du pr´ esent travail.

Nos deux derni` eres applications concernent la r´ epartition des fonctions additives r´ eelles relativement ` a des mesures pond´ er´ ees sur l’ensemble des entiers n’exc´ edant pas x. Nous nous restreignons ici au cas standard d’une loi limite gaussienne, mais nos r´ esultats sont susceptibles de fournir des estimations analogues dans des situations significativement plus g´ en´ erales.

Etant donn´ ´ ees une fonction positive ou nulle r ∈ M

0

(x; A, B) et une fonction additive r´ eelle h, nous notons z 7→ F

_x

(z; h, r) la fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire h(n) sur l’ensemble des entiers n’exc´ edant pas x, ´ equip´ e de la mesure associant ` a chaque entier n le poids r(n)/M (x; r), autrement dit

F

x

(z; h, r) := 1 M (x; r)

X

n6x h(n)6z

r(n).

Nous posons

E

h

(x; r) := X

p6x

r(p)h(p)

p , D

h

(x; r)

²

:= X

p6x

r(p)h(p)

²

p ,

rappelons la notation δ

₀

(b) d´ efinie en (1·23), et notons Φ(z) := 1/ √ 2π R

z

−∞

e

^−u2/2

du la fonction de r´ epartition de la loi normale.

Corollaire 2.5. Soient A, B, des constantes positives, x > 2, r ∈ M

0

(x; A, B), et h une fonction additive r´ eelle. Supposons que :

(i) min

exp

√

logx<p6x

r(p) 1 ; (ii) D

_h

(x; r) 1 ; (iii) max

p6x

|h(p)|

D

_h

(x; r) 6 µ

x

6 1 ; (iv) X

p^ν6x

X

ν>2

r(p

^ν

)|h(p

^ν

)|

p

^ν

1.

Alors

(2·24) F

_x

E

_h

(x; r) + zD

_h

(x; r); h, r

= Φ(z) + O

µ

_x

+ 1 D

_h

(x; r)

.

De plus, si l’hypoth` ese (i) est remplac´ ee par (1·24) avec ε

1

:= 1/(log x)

^1/4

et b > 0 arbitraire, l’estimation (2·24) persiste ` a condition de remplacer µ

_x

par µ

_x

p

log(1 + 1/µ

_x

).

Le th´ eor` eme 20.1 de [7] fournit, dans le cas r = 1, une ´ evaluation de mˆ eme type que (2·24) pour une combinaison lin´ eaire finie de fonctions h

_j

(n + a

_j

) o` u les h

_j

(1 6 j 6 k) sont fortement additives et les a

_j

des entiers fix´ es. Pour k = 1, le terme d’erreur de (2·24) est un peu plus pr´ ecis que celui de [7] lorsque, par exemple, z est born´ e et D

h

(x; r)µ

x

1. Cette derni` ere condition est certainement remplie d` es que max

_p6x

|h(p)| 1.

Notons ϕ la fonction indicatrice d’Euler et d´ esignons par Ω(n) le nombre total des facteurs premiers d’un entier naturel n, compt´ es avec multiplicit´ e. Comme cons´ equence sp´ ecifique du r´ esultat pr´ ec´ edent, nous pouvons d´ eduire facilement une extension d’un th´ eor` eme d’Erd˝ os &

Pomerance [9] concernant la r´ epartition des nombres Ω(ϕ(n)) et obtenir un terme d’erreur identique ` a celui de Balazard & Smati [3]. Pour la simplicit´ e de l’´ enonc´ e, nous restreignons plus qu’il n’est n´ ecessaire les hypoth` eses concernant la fonction pond´ erale r.

Corollaire 2.6. Soient A, B des constantes positives, x > 2, % := %

_x

> 0, ε

₁

:= 1/(log x)

^1/4

, r ∈ M

0

(x; A, B). Supposons que :

(i) min

exp

√

logx<p6x

r(p) 1 ; (ii) X

p6y

r(p) log p

p = % log y + O ε

1

log y

(e

^1/ε1

6 y 6 x).

Alors, notant h := Ω ◦ ϕ, nous avons

(2·25) F

_x

1

2

%(log

₂

x)

²

+ z%(log

₂

x)

^3/2

√ 3 ; h, r

= Φ(z) + O 1

p log

₂

x

.

De plus, si l’hypoth` ese (i) est remplac´ ee par (1·24) avec ε

₁

:= 1/(log x)

^1/4

et b > 0 arbitraire, l’estimation (2·25) persiste ` a condition de multiplier le terme d’erreur par p

log

₃

x.

Le terme d’erreur de (2·25) pose un int´ eressant probl` eme ouvert : en accord avec l’estimation de concentration obtenue par Marie-Jeanne & Tenenbaum [27], on attend 1/(log

₂

x)

^3/2

, une majoration qui demeure pour l’instant hors d’atteinte des techniques disponibles.

3. Preuve du Th´ eor` eme 1.1 3 · 1. Lemme de Gallagher

Un r´ esultat de Gallagher [10] (th. 1), tel qu’´ enonc´ e, par exemple, au lemme III.4.9 de [33]

fournit une majoration g´ en´ erique pour la norme quadratique d’un polynˆ ome de Dirichlet.

Une in´ egalit´ e bien connue de Montgomery et Vaughan ([29], cor. 2) en constitue une forme plus pr´ ecise. Le r´ esultat suivant est une cons´ equence imm´ ediate de la majoration initiale de Gallagher. Le lemme 2.1 de [6] ´ etend le r´ esultat de Gallagher dans une autre direction.

Nous notons e(x) := e

^2πix

(x ∈ R ).

Lemme 3.1. Soient N ∈ N

^∗

, {λ

_n

}

^N_n=1

une suite finie de nombres r´ eels distincts. Pour tous {a

n

}

^N_n=1

∈ C

^N

, T > 0, nous avons

(3·1)

Z

T

−T

X

16n6N

a

_n

e(λ

_n

t)

2

dt T X

16n6N

|a

_n

|

²

X

|λm−λn|61/T

1, o` u la constante implicite est absolue.

Remarque. La forme usuelle sous laquelle est utilis´ ee la majoration de Gallagher est (cf. [33], lemme III.4.9)

(3·2)

Z

T

−T

X

16n6N

a

_n

e(λ

_n

t)

2

dt X

16n6N

|a

_n

|

²

n T + 1

δ

n

o

o` u l’on a pos´ e δ

n

:= min

m6=n

|λ

m

− λ

n

|. En pratique, la majoration (3·1) est souvent plus

pr´ ecise. C’est notamment le cas lorsque δ

_n

δ

_m

pour |λ

m

− λ

_n

| 6 1/T .

D´ emonstration. Pour ´ etablir (3·1), nous observons que, posant A(x) := T X

16n6N

|x−λn|61/4T

a

_n

, S(t) := X

16n6N

a

_n

e(λ

_n

t),

nous avons

A(t) := b Z

R

A(x)e(−tx) dx = S(−t) sin(πt/2T ) πt/2T · D’apr` es la formule de Plancherel, nous pouvons donc ´ ecrire

Z

T

−T

|S(t)|

²

dt Z

R

S(−t) sin(πt/2T ) πt/2T

2

dt = Z

R

|A(x)|

²

dx.

Posons alors N

k

:= P

|2T λn−k|61

|a

n

| (k ∈ Z ) et observons que |A(x)| 6 T N

k

lorsque

|x − k/2T | 6 1/4T . Il suit

Z

R

|A(x)|

²

dx T X

k∈Z

N

_k²

. D’apr` es l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz, nous avons

N

_k²

6 X

|2T λ_n−k|61

|a

n

|

²

X

|2T λ_m−k|61

1 6 X

|2T λ_n−k|61

|a

n

|

²

X

|λ_m−λ_n|61/T

1.

En sommant sur k, nous obtenons bien l’in´ egalit´ e annonc´ ee. u t 3 · 2. R´ eduction au cas exponentiellement multiplicatif

Soit g la fonction exponentiellement multiplicative co¨ıncidant avec f sur l’ensemble des nombres premiers n’exc´ edant pas x et nulle sur les nombres premiers > x, autrement dit

(3·3) g(p

^ν

) :=

( f (p)

^ν

/ν ! si p 6 x, ν > 1, 0 si p > x.

Nous avons donc, avec la notation (1·10),

(3·4) G(s) := X

n>1

g(n)

n

^s

= e

^vf(s;x)

.

Supposons la majoration (1·12) acquise pour la fonction g. Nous allons montrer qu’elle vaut encore pour f.

Nous avons f = g ∗ h avec

(3·5) h(p

^ν

) = X

j+k=ν

(−1)

^j

f (p)

^j

j ! f(p

^k

) (p 6 x, ν > 1), de sorte que h(p) = 0 pour tout p, h(p

^ν

) = 0 si p > x, et

(3·6)

X

p, ν>2

|h(p

^ν

)|

p

^ν

6 X

p

X

k>0

|f(p

^k

)|

p

^k

X

j>max(0,2−k)

|f(p)|

^j

j!p

^j

X

p

|f(p)|

²

p

²

+ X

p, k>2

|f(p

^k

)|

p

^k

1.

Cela implique

Y

p

X

ν>0

|h(p

^ν

)|

p

^ν

1, (3·7)

Y

p

X

ν>0

h(p

^ν

) p

^ν

= Y

p6x

e

^−f(p)/p

X

ν>0

f(p

^ν

)

p

^ν

·

(3·8)

De plus, pour 2 6 y 6 x, nous pouvons ´ ecrire d’une part X

y<n6x

|h(n)|

n 6 1

(log y)

²

X

n6x

|h(n)|(log n)

²

n

6 1

(log y)

²

X

mp^ν6x

|h(m)h(p

^ν

)|(log p

^ν

)

²

mp

^ν

+ X

mp^νq^µ6x p6=q

|h(m)h(p

^ν

)h(q

^µ

)|(log p

^ν

)(log q

^µ

) mp

^ν

q

^µ

1

(log y)

²

X

p^ν6x

|h(p

^ν

)|(log p

^ν

)

²

p

^ν

+

X

p^ν6x

|h(p

^ν

)| log p

^ν

p

^ν

2

, et, d’autre part,

X

p^ν6x

|h(p

^ν

)|(log p

^ν

)

²

p

^ν

6 X

p^j+k6x j+k>2

|f(p)|

^j

|f(p

^k

)|(k + j)

²

(log p)

²

j !p

^k+j

6 X

p^k6x

|f (p

^k

)|(log p

^k

)

²

p

^k

X

j>max(0,2−k)

(j + 1)

²

|f (p)|

^j

j!p

^j

1, d’apr` es (1·9) avec j = 1. Donc

(3·9) Q(y) := X

n>y

|h(n)|

n 1

(log y)

²

(2 6 y 6 x).

Cela dit, nous avons

M (x; f) = X

n6x

h(n)M x n ; g

. Il suit

(3·10) M (x; f )

X

n6x

x|h(n)|

n log(2x/n) Z

1

1/log(3x/n)

H

_T

(α)

α dα + e

^Z(x;r)

min( √

T , log(2x/n)) + e

^Z(x/n;r)

log

₂

(3x/n) T

x Z

1

1/log(3x)

H

_T

(α)

α Θ

1

(3xe

^−1/α

) dα + xe

^Z(x;r)

Θ

₁

(x)

√ T + Θ

2

(x)

+ xe

^Z(x;r)

Θ

₁

(x) log

₂

x

T ,

o` u l’on a pos´ e

Θ

_j

(y) := X

n6y

|h(n)|

n{log(2x/n)}

^j

(j = 1, 2, y > 2).

En scindant la somme ` a √

x, nous d´ eduisons de (3·9) que Θ

j

(y) 1

(log x)

^j

(2 6 y 6 x).

Cela implique bien l’estimation requise.

Si nous adjoignons l’hypoth` ese (1·13), l’assertion relative au cas exponentiellement multipli- catif nous permet d’omettre dans (3·10) le dernier terme de l’accolade.

3 · 3. Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif

Soit g la fonction multiplicative d´ efinie par (3·3). La premi` ere ´ etape consiste ` a majorer K (x) := X

n6x

g(n) log n

en fonction d’une moyenne sur [1, x] de t 7→ M (t; g).

Lemme 3.2. Soient A > 0, B > 0. Uniform´ ement pour x > 2, f, r ∈ M

0

(x; A, B), |f| 6 r, nous avons

(3·11) |K (x)| 6 Ax

Z

x 1

M (t; g)

dt

t

²

+ O xe

^Z(x;r)

log x

. D´ emonstration. Nous avons

(3·12) K(x) = X

n6x

g(n) X

p^ν|n

log p = X

p^ν6x

(log p) X

m6x/p^ν

g(mp

^ν

).

La somme int´ erieure vaut X

m6x/p^ν p-m

g(p

^ν

)g(m) + X

m6x/p^ν+1

g(mp

^ν+1

) = g(p

^ν

)M x

p

^ν

; g

− R

ν

(p)

avec

R

ν

(p) := X

m6x/p^ν+1

g(p

^ν

)g(mp) − g(mp

^ν+1

)

= X

k>0

g(p

^ν

)g(p

^k+1

) − g(p

^ν+k+1

) M x p

^ν+k+1

; g

p

= X

k>0

1 (k + ν + 1)!

n

ν + k + 1 k

− 1 o

g(p)

^ν+k+1

M x p

^ν+k+1

; g

p

,

o` u g

p

d´ esigne la fonction multiplicative co¨ıncidant avec g sur l’ensemble des entiers premiers ` a p et nulle sur l’ensemble des multiples de p.

Compte tenu de la majoration de Halberstam–Richert [17]

⁽⁷⁾

(3·13) M (y; |g|) y e

^Z(y;r)

log y (2 6 y 6 x), nous pouvons ´ ecrire

X

p^ν6x

R

ν

(p) log p X

j>2

X

p^j6x

(1 + |g(p)|)

^j

log p

j ! M x

p

^j

; g

p

xe

^Z(x;r)

X

j>2

X

p^j6x

(1 + |g(p)|)

^j

log p j! p

^j

log(2x/p

^j

) xe

^Z(x;r)

log x + xe

^Z(x;r)

X

p>√ x

(log p)

²

p

^3/2

x

^1/4

xe

^Z(x;r)

log x · En reportant dans (3·12), nous obtenons donc

(3·14) K(x) = X

d6x

Λ(d)g(d)M x d ; g

+ O xe

^Z(x;r)

log x

.

La contribution au terme principal des entiers d = p

^ν

avec ν > 2 n’exc` ede pas xe

^Z(x;r)

X

p^ν6x ν>2

|f (p)|

^ν

log p

ν! p

^ν

log(2x/p

^ν

) xe

^Z(x;r)

log x ,

o` u nous avons de nouveau fait appel ` a (3·13) et estim´ e la somme en p

^ν

en la scindant ` a √ x.

Introduisant la fonction de Tch´ ebychev ϑ(t) := P

p6t

log p et notant R(t) := ϑ(t) − t, nous

7. Voir le th. III.3.5 de [33] pour une version simplifi´ee suffisante ici.

pouvons donc ´ ecrire

|K(x)| 6 A Z

x

1

M x

t ; g

dϑ(t) + O xe

^Z(x;r)

log x

= A Z

x

1

M x

t ; g dt + A

Z

x 1−

M x

t ; g

dR(t) + O xe

^Z(x;r)

log x

= Ax Z

x

1

|M (t; g)

dt t

²

+ A

Z

x 1−

M x

t ; g

dR(t) + O xe

^Z(x;r)

log x

. La derni` ere int´ egrale peut ˆ etre ´ evalu´ ee par sommation d’Abel en notant que

| d|M (t; g)|| 6 dM (t; |g|).

Nous avons Z

x

1−

M

x t ; g

dR(t) = |M (x; g)| − Z

x

1

R x

t

d|M(t; g)|

xe

^Z(x;r)

log x + X

n6x

x|g(n)|

n(log 2x/n)

²

xe

^Z(x;r)

log x + X

2^k6x

2

^k

k

²

+ 1

X

x/2^k+1<n6x/2^k

|g(n)|

xe

^Z(x;r)

log x + X

2^k6x

xe

^Z(x;r)

(k

²

+ 1) log(2x/2

^k

) xe

^Z(x;r)

log x ·

Cela compl` ete la preuve de (3·11). u t

Lemme 3.3. Soient A > 0, B > 0. Pour x > 2, f, r ∈ M

0

(x; A, B ), |f | 6 r, nous avons uniform´ ement

|M (x; g)| 6 Ax log x

Z

x 1

|M (t; g)| dt

t

²

+ O xe

^Z(x;r)

(log x)

²

(3·15) ,

Z

x 1

|M (t; g)| log t t

²

dt 6 2

Z

x 1

|K(t)|

t

²

dt + O(1).

(3·16)

D´ emonstration. Nous avons M (x; g) log x − K (x) = X

n6x

g(n) Z

x

n

dt t =

Z

x 1

M (t; g) dt

t

Z

x 1

e

^Z(t;r)

log 2t dt xe

^Z(x;r)

log x , o` u l’avant-derni` ere majoration r´ esulte de (3·13). Cela implique (3·15) en reportant dans (3·11).

De plus, pour x > e

²

, nous pouvons ´ ecrire Z

x

e²

|M (t; g)| log t t

²

dt 6

Z

x e²

|K(t)|

t

²

dt + Z

x

e²

dt t

²

Z

t 1

|M (u; g)|

u du

= Z

x

e²

|K(t)|

t

²

dt + Z

x

1

|M (u; g)|

u

Z

x max(u,e²)

dt t

²

du 6

Z

x e²

|K(t)|

t

²

dt + Z

x

e²

|M (u; g)|

u

²

du + O(1).

Cela implique bien (3·16). u t

Lemme 3.4. Soient A > 0, B > 0. Sous les conditions x > 2, f ∈ M

0

(x; A, B), T > 1, 1/ log x 6 α 6

¹₂

, nous avons uniform´ ement

(3·17) H

T

(α) 1.