Introduction ` a la th´eorie des fonctions automorphes et au principe de fonctorialit´e de Langlands

(1)

Appendice :

Introduction ` a la th´eorie des fonctions automorphes et au principe de fonctorialit´e de Langlands

A. Corps globaux et anneaux d’ad` eles

On peut introduire les “corps globaux” de la mani`ere axiomatique suivante : D´efinition A.1.–

Un “corps global” F est le corps des fractions d’un anneau commutatif (unitaire) A qui possède les propriétés suivantes :

• A est int`egre (∀a, b ∈ A, a 6= 0∧b 6= 0 ⇒ ab 6= 0), autrement dit il est plong´e dans son corps des fractions F

A ,→F ,

• A est normal, ce qui signifie

∀k∈N, ∀a0, a1, . . . , ak∈A, ∀γ∈F , γ^k+1+ak·γ^k+. . .+a1·γ+a0= 0⇒γ∈A ,

• A est engendré (surZ) par un nombre fini d’éléments,

• A est infini,

• pour touta∈A− {0}, le quotient A/(a)est fini.

On peut pr´eciser la nature des “corps globaux” : Proposition A.2.–

Un corps globalF est n´ecessairement de l’un des deux types suivants :

(i) Si F est de caract´eristique 0, c’est un “corps de nombres”, c’est-`a-dire une extension finie de Q : autrement dit,F contientQcomme sous-corps, et il est de dimension finie comme espace vectoriel sur Q.

(ii) Si F est de caract´eristique p 6= 0, c’est un “corps de fonctions”, c’est-`a-dire le corps des fonctions rationnelles d’une courbe projective, lisse et connexeXF sur le corps finiFp=Z/pZ. Cette courbeXF

est uniquement d´etermin´ee parF.

L’anneauΓ(XF, OXF)des fonctions partout définies surXF est un corps fini Fq qui contientFp. Son nombre d’éléments qest une puissance de p. C’est le plus grand corps fini contenu dans F.

(2)

Remarques :

(i) SiF est un corps de nombres, il existe, parmi tous les sous-anneauxAdeF qui vérifient les propriétés de la définition A.1, un sous-anneauAF qui est contenu dans tous les autres. C’est le sous-anneau des

´

el´ements entiers deF, d´efini comme

AF ={γ∈F | ∃n0, n1, . . . , nk ∈Z, γ^k+1+nk·γ^k+. . .+n1·γ1+n0= 0}.

Les sous-anneaux A de F vérifiant les propriétés de la définition A.1 correspondent aux ouverts de Zariski Spec (A) de Spec (AF). Comme le schéma affine Spec (AF) est de dimension 1, la différence Spec (AF)−Spec (A) consiste toujours en un ensemble fini de points fermés.

(ii) SiF est le corps des fonctions d’une courbe projective, lisse et connexeXF sur Fp, les sous-anneaux A de F qui vérifient les propriétés de la définition A.1 correspondent aux ouverts de Zariski affines Spec (A) de la courbeXF. La différenceXF−Spec (A) consiste toujours en un ensemble fini non vide de points fermés.

La famille de ces ouverts affines Spec (A) recouvre la courbe projectiveX_F tout enti`ere, ce qui implique que l’intersection de tous ces sous-anneaux A de F est ´egale au corps fini Fq = Γ(X_F, O_X_F) des

“constantes” deF.

Nous allons maintenant introduite les “places finies” d’un corps globalF et les compl´etions deF qui leur sont associ´ees.

Si (A, F) est un couple vérifiant les propriétés de la définition A.1, on note

|F|A

l’ensemble infini dénombrable des points fermés de Spec (A), c’est-à-dire des idéaux maximaux de A.

Pour tout pointx∈ |F|A, on note

• A_x l’anneau local de Spec (A) au pointx,

• (x) l’id´eal maximal de cet anneau local,

• O_x = lim

n≥1←−

A_x/(x)ⁿ la compl´etion profinie de l’anneau local A_x, qui est un anneau local topologique compact,

• m_x l’id´eal maximal de O_x, engendr´e par (x),

• Fx=O_x/m_x=A_x/(x) le corps r´esiduel enx, qui est un corps fini,

• qxle nombre d’éléments du corps résiduelF^x,

• Fxle corps des fractions de l’anneau local complétéOx (qui est nécessairement intègre).

Pour tout pointx∈ |F|A, Fx est un corps topologique localement compact. Il poss`ede une mesuredax

invariante par l’addition ; cette mesure est uniquement déterminée à multiplication près par un scalaire réel positif.

Pour tout élémentγx ∈F_x^× =Fx− {0}, la multiplication parγx transforme la mesure additive dax en une autre mesure additive qui est nécessairement le produit dedax et d’un scalaire réel positif noté

|γx|x. On compl`ete la d´efinition de cette application

| • |x:Fx→R+

(3)

en d´ecidant que

|0|x= 0. Il est clair que l’on a

|1|x= 1 et

|γ_x·γ_x⁰|_x=|γ_x|_x· |γ_x⁰|_x, ∀γ_x, γ_x⁰ ∈F_x. On d´emontre d’autre part :

Lemme A.3.–

Pour toutx∈ |F|A comme ci-dessus, on a : (i)

∀γx∈Ox−mx, |γx|x= 1,

∀γx∈mx−m²_x, |γx|x=q_x⁻¹, et plus g´en´eralement

∀n≥1, ∀γ_x∈mⁿ_x−mⁿ⁺¹_x , |γ_x|_x=q⁻ⁿ_x . (ii) L’application

| • |x:Fx→R+

prend ses valeurs dans

{0} ∪q^Z_x⊂Q. (iii) Cette application vérifie l’inégalité “ultramétrique”

∀γx, γ_x⁰ ∈Fx, |γx+γ_x⁰|x≤max{|γx|x,|γ_x⁰|x}.

Remarque :

• Les parties (ii) et (iii) de ce lemme r´esultent de (i).

• La partie (i) s’exprime aussi en disant que

Ox={γx∈Fx| |γx|x≤1}

et, pour toutn≥1,

mⁿ_x ={γx∈Fx| |γx|x≤q⁻ⁿ_x }.

On d´eduit de ce lemme : Corollaire A.4.–

Pour toutx∈ |F|A comme ci-dessus, l’application

| • |x:Fx→Q+

définit une norme (et même une norme “ultramétrique”) sur Fx.

Le corps topologiqueFx s’identifie `a la compl´etion du corps global F pour la norme| • |x.

On pose :

(4)

D´efinition A.5.–

Etant donn´´ e un “corps global”F, on note

|F|f

et on appelle “ensemble des places finies deF” la r´eunion des ensembles

|F|A

lorsqueAdécrit la famille des sous-anneaux deF qui vérifient les propriétés de la définitionA.1.

Remarque :

• SiF est un “corps de nombres”,

|F|f =|F|A_F ,

est l’ensemble des points fermés du schéma affine maximal Spec (A_F) de point générique Spec (F).

• Si F est le corps des fonctions rationnelles de la courbe projective, lisse et connexeXF sur un corps fini,

|F|f

s’identifie `a l’ensemble des points ferm´es de XF.

Apr`es les places finies, introduisons maintenant l’ensemble des places “infinies” ou “archim´ediennes” d’un corps global :

SiF est un corps global, on note :

• |F|_r l’ensemble des “places réelles” de F, c’est-à-dire des homomorphismes (nécessairement injectifs et d’image dense)

F →R,

• |F|c l’ensemble des “places complexes” de F, c’est-`a-dire des homomorphismes (n´ecessairement injectifs) d’image dense

F →C, modulo la conjugaison complexe,

• |F|_∞=|F|r`

|F|cla réunion disjointe des ensembles des places réelles et des places complexes, appelée ensemble des places “infinies” ou “archimédiennes”.

Remarque :

• SiF est un corps de fonctions, on a

|F|_∞=∅.

• SiF est un corps de nombres, on a F⊗_QR∼=



 M

x∈|F|r

R



⊕



 M

x∈|F|c

C





ce qui signifie en particulier que l’ensemble|F|∞ est fini, avec

#|F|r+ 2·#|F|c= dim_Q F .

(5)

Le corps complet localement compactR[resp.C] est muni de la mesure additive de Lebesgueda_∞. Pour tout ´el´ement γ∞ ∈ R [resp. C] non nul, la multiplication par γ∞ transforme da∞ en une autre mesure additive qui est le produit deda∞ et de la valeur absolue [resp. du module]

|γ_∞| au sens habituel deRouC.

Si x∈ |F|_∞=|F|r`

|F|c, on note| • |x:F →R+ la norme deF qui se d´eduit de la valeur absolue de R[resp. du module de C] par le plongement

F ,→ R

[resp. F ,→ C, `a conjugaison pr`es].

On noteraF_xla complétion deF pour la norme| • |_xassociée à une place archimédiennex∈ |F|_∞. C’est un corps topologique isomorphe à Rsix∈ |F|_r et à Csix∈ |F|_c.

On peut maintenant introduire l’ensemble de toutes les places d’un corps global : D´efinition A.7.–

SiF est un corps global, on appelle ensemble des places de F la r´eunion disjointe

|F|=|F|f`

|F|∞=|F|f`

|F|r`

|F|c.

Remarque :

• SiF est un corps de fonctions,

|F|=|F|f

s’identifie `a l’ensemble des points ferm´es de la courbe projective X_F.

• SiF est un corps de nombres,

|F| = |F|f`|F|_∞

= |F|f`

|F|r`

|F|c

s’identifie `a la r´eunion disjointe de

– l’ensemble infini dénombrable des points fermés du schéma affine maximal Spec (AF), – l’ensemble fini des complétions de F isomorphes àR,

– l’ensemble fini des compl´etions de F isomorphes `aC.

L’expression “pour presque toutes les places de F” – que nous emploierons souvent dans la suite – signifiera toujours : “pour toutes les places deF sauf un nombre fini”.

Ayant d´efini toutes les normes | • |x associ´ees aux places x ∈ |F| d’un corps global F, nous pouvons

´enoncer la “formule du produit” : Proposition A.8.–

Pour tout corps global F, et pour tout ´el´ement

γ∈F^×=F− {0}, on a :

(6)

(i) Pour presque toute placex∈ |F|,

|γ|x= 1. (ii) Le produit essentiellement fini

Y

x∈|F|

|γ|x

est ´egal `a1.

Remarque :

La formule n’est évidemment plus vérifiée si l’on oublie au moins une des placesx∈ |F|.

Nous allons maintenant introduire “l’anneau des ad`eles” d’un corps globalF comme sous-anneau topologique de l’anneau topologique localement compact produit

Y

x∈|F|

Fx.

Etant donn´´ e un corps globalF, son “anneau des ad`eles”A=AF est le sous-anneau AF ⊂ Y

x∈|F|

Fx

constitu´e des familles

(ax)_x∈|F_| d’´el´ementsax∈Fx,x∈ |F|, telles que

|ax|x≤1 en presque toute place x∈ |F| ou, ce qui revient au mˆeme,

γx∈Ox en presque toute place finie x∈ |F|f.

L’anneau des ad`elesA=AF est un anneau topologique localement compact : il est muni de la topologie induite par celle du produit Q

x∈|F|

F_xdans lequel il est plong´e.

Supposons que, en presque toute place finie x∈ |F|f, la mesure additive choisie dax deFx attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compactOx. AlorsA=AF est muni de la mesure additive

da= O

x∈|F|

dax

produit des mesures additivesdaxdes facteursFx,x∈ |F|.

On note d’autre part que, d’apr`es la proposition A.8(i), le plongement diagonal F ,→ Y

x∈|F|

F_x

(7)

se factorise à travers le sous-anneau des adèles en un plongement F ,→AF. Voici les premières propriétés importantes de ce plongement : Proposition A.10.–

Pour tout corps global F, on a : (i) Le plongement

F ,→AF

identifie F `a un sous-groupe discret du groupe topologique additifAF. (ii) Le quotient

AF/F

du groupe topologique localement compactAF par son sous-groupe discretF est compact.

Remarque :

(i) r´esulte de la formule du produit.

En sens inverse, consid´erons la mesure invariante da= O

x∈|F|

dax

surAF et sur son quotientAF/F.

La multiplication par n’importe quel ´el´ement

γ∈F^× transforme cette mesure invariante par le facteur

Y

x∈|F|

|γ|x.

Or cette mesure invariante attribue n´ecessairement au quotient compactAF/F un volume fini strictement positif.

Comme la multiplication par γ ∈ F^× d´efinit un automorphisme de AF/F, on retrouve la formule du produit

Y

x∈|F|

|γ|x= 1.

Nous voulons enfin d´efinir une transformation de Fourier sur chaque facteurFx,x∈ |F|, et surA. Pour cela, on choisit une fois pour toutes un caract`ere additif continu non trivial

ψ:A/F →C^×,

c’est-`a-dire un caract`ere additif non trivial deAqui est invariant par le sous-groupe discretF.

Comme le quotientA/F est compact, ce caract`ereψest n´ecessairement unitaire.

(8)

En tant que caract`ere continu deA, il est de la forme ψ= Y

x∈|F|

ψx

o`u chaque

ψx:Fx→C est un caract`ere continu unitaire non trivial du groupe additif F_x.

D´efinissons d’abord laψx-transformation de Fourier locale surFx, en chaque placex∈ |F|: D´efinition A.11.–

SoitF un corps global.

Pour toute placex∈ |F|f [resp.x∈ |F|∞], et pour toute fonction localement constante à support compact [resp. de classeC^∞ à décroissance rapide]

f_x:F_x→C, on appelle “ψx-transform´ee de Fourier” de fx, et on note

fb_x:F_x→C, la fonction d´efinie par la formule int´egrale

fb_x(b_x) = Z

F_x

da_x·ψ_x(a_xb_x)·f_x(a_x).

Voici la première propriété essentielle des transformations de Fourier locales ainsi définies : Proposition A.12.–

Pour toute place x∈ |F|f [resp. x∈ |F|_∞], la ψx-transformation de Fourier définit un automorphisme de l’espace des fonctions localement constantes à support compact [resp. de classeC^∞à décroissance rapide]

surFx.

De plus, il existe une unique fa¸con de choisir la mesure invariante da_x en fonction de ψ_x, de sorte que l’automorphisme réciproque de laψ_x-transformation de Fourier soit laψ_x-transformation de Fourier associée au caractère conjuguéψ_x=ψ_x⁻¹.

Remarque :

L’unique mesure additive da_x qui vérifie cette propriété est appelée la “mesure autoduale” deF_x muni du caractèreψx.

Supposons d´esormais que, en toute placex∈ |F|,Fx est muni de la mesure autodualedax, et munissons A=AF de la mesure produit

da= O

x∈|F|

dax.

Consid´erons l’espace des fonctions

h:A→C combinaisons lin´eaires de fonctions produits

O

x∈|F|

hx:A→C dont les facteurshx:Fx→Cv´erifient les conditions suivantes :

(9)

• leshx,x∈ |F|f, sont des fonctions localement constantes `a support compact surFx, et presque toutes se confondent avec la fonction caract´eristique du sous-groupe ouvert compactOx,

• leshx,x∈ |F|_∞, sont des fonctions de classesC^∞ à décroissance rapide surFx=RouC. On déduit de la proposition précédente :

Corollaire A.13.–

(i) Dans l’espace de fonctions

A→C d´efini ci-dessus, le produit sur toutes les places

O

x∈|F|

hx7→ O

x∈|F|

bhx

des ψ_x-transformations de Fourier locales s’étend par linéarité en un automorphisme de cet espace, appelé “ψ-transformation de Fourier globale”.

(ii) La ψ-transformation de Fourier globale

h7→bh dans cet espace est aussi d´efinie par la formule int´egrale

bh(b) = Z

A

da·ψ(ab)·h(a).

(iii) Dans cet espace, laψ-transformation de Fourier admet pour automorphisme r´eciproque laψ-transformation de Fourier.

Remarque :

Dans le cas o`u F est un corps de fonctions, notre espace de fonctions h:A→C

n’est autre que celui des fonctions localement constantes `a support compact surA.

Voici enfin la propri´et´e globale essentielle de laψ-transformation de Fourier surA, la formule de Poisson : Proposition A.14 (Tate).–

Pour toute fonction

h:A→C

comme dans le corollaireA.13ci-dessus, et si bhd´esigne saψ-transform´ee de Fourier, on a X

γ∈F

h(γ) =X

γ∈F

bh(γ).

(10)

B. Groupes r´ eductifs et groupes duaux de Langlands

Nous voulons d’abord rappeler la théorie des groupes réductifs sur un corps de basek. On notera ks la clôture séparable deket Γk = Autk(ks) son groupe de Galois.

D´efinition B.1.–

Parmi les schémas en groupes affines, lisses et géométriquement connexes sur k, on distingue :

(i) Le “groupe multiplicatif ” Gm = Spec (k[X, X⁻¹]) qui associe `a toute k-alg`ebre A le groupe A^× des

´

el´ements inversibles deA.

(ii) Les “tores” T, d´efinis par la condition qu’ils deviennent isomorphes sur ks `a une puissance finie de Gm.

(iii) Le “groupe additif ”A¹= Spec (k[X])qui associe `a toutek-alg`ebreAl’ensembleA muni de l’addition.

(iv) Les “groupes unipotents” N, définis par la condition d’admettre sur k_s une suite emboˆıtée de sous- groupes algébriques distingués

{0}=N0⊂N1⊂. . .⊂Nn₀ =N telle que chaque sous-quotient

N_n−1\N_n, 1≤n≤n₀, soit isomorphe au groupe additif A¹.

(v) Les “groupes réductifs” G, définis par la condition de n’admettre, sur k ou ks, aucun sous-groupe algébrique distingué unipotent non trivial.

Remarques :

(i) Au fondement de la théorie des groupes réductifs, il y a le fait que n’existe aucun homomorphisme algébrique non trivialGm→A¹ ouA¹→Gm. Il en résulte que les toresT sont des groupes réductifs.

(ii) Pour toutr≥1, les groupes

Nr=

















1 ∗ . . . ∗ 0 . .. . .. ... ... . .. . .. ∗ 0 . . . 0 1

















et N_r^op=

















1 0 . . . 0

∗ . .. . .. ... ... . .. . .. 0

∗ . . . ∗ 1















 de matrices triangulaires unipotentes sup´erieures [resp. inf´erieures] sont unipotents.

(iii) Les premiers exemples de groupes r´eductifs – et les plus importants – sont : GL_r, PGL_r, SL_r, Sp_2r, SO2r+1, SO2r.

On a :

Lemme B.2.–

Tout groupe algébrique P affine, lisse et géométriquement connexe sur un corpskcontient un plus grand sous-groupe algébrique unipotent distingué, notéNP et appelé le radical unipotent deP.

De plus, le groupe algébrique quotientP/N_P est réductif. Tout comme N_P, il est défini sur k.

On remarque que les homomorphismesGm→Gm sont exactement lesλ7→λⁿ,n∈Z.

(11)

Par conséquent, pour tout toreT surk, le groupe XT des caractères définis sur ks

χ:T →Gm

et le groupeX_T^∨ des cocaract`eres d´efinis surks

µ:Gm→T

sont des réseaux de rang dimT. Ils sont munis d’une action naturelle de Γ_k. De plus, ils sont duaux l’un de l’autre via la forme bilinéaire Γ_k-équivariante

h•,•i:XT×X_T^∨ → Z (χ, µ) 7→ hχ, µi

oùhχ, µidésigne l’exposant de l’homomorphisme composéχ◦µ:Gm→T →Gm. On a :

Lemme B.3.–

Le foncteur covariant [resp. contravariant]

T 7→X_T^∨ [resp.T 7→XT]

définit une équivalence de la catégorie des tores algébriques sur kdans la catégorie des réseaux de rang fini munis d’une action continue deΓk.

Afin d’´etudier les groupes r´eductifs, on pose :

SoitGun groupe r´eductif sur k.

(i) Un sous-groupe fermé géométriquement connexe P G est dit “parabolique” si la variété quotient G/P est projective.

(ii) Un sous-groupe de Borel B Gest un sous-groupe parabolique minimal surk_s.

(iii) Une paire de Borel(T, B)est constitu´ee d’un sous-toreT deGmaximal surkset d’un sous-groupe de Borel B deGqui contientT.

D’après le lemme B.2, tout sous-groupe parabolique P d’un groupe réductif Gpossède un radical uni- potentNP; le quotientP/NP est réductif.

On montre : Proposition B.5.–

(i) Surks, Gpossède des sous-tores maximaux. Ils sont conjugués les uns des autres par les éléments de G(ks). SiT est l’un d’eux, le quotient parT de son normalisateur NG(T)est un groupe fini.

(ii) Surks,Gpossède des sous-groupes de Borel. Ils sont conjugués les uns des autres par les éléments de G(ks). Chacun est son propre normalisateur.

(iii) Sur ks, Gpossède des paires de Borel. Elles sont conjuguées les unes des autres par les éléments de G(ks). Si(T, B)est l’une d’elles, son normalisateur est T.

(iv) Un sous-groupe paraboliqueP est minimal, donc un sous-groupe de Borel, si et seulement siP/NP est un tore.

(12)

(v) Le centralisateurCG(T)de tout sous-toreT deGest un groupe r´eductif. C’est un tore, n´ecessairement

´

egal `aT, si et seulement si T est maximal.

(vi) Pour toute paire de Borel (T, B), l’homomorphisme T →B/NB

est un isomorphisme.

Plus g´en´eralement, si P est un sous-groupe parabolique et T un sous-tore maximal contenu dans P, il existe un unique sous-toreT⁰ deT tel que l’homomorphisme

CG(T⁰) =MP →P/NP

soit un isomorphisme de groupes r´eductifs.

Si (T1, B1) et (T2, B2) sont deux paires de Borel d’un groupe réductifGsurks, il existe donc un élément g∈G(ks), uniquement déterminé à multiplication près par les éléments de T(ks), tel que

g⁻¹·(T₁, B₁)·g= (T₂, B₂).

Il en résulte que la définition suivante est indépendante du choix d’une paire de Borel : Définition B.6.–

Etant donn´´ e un groupe r´eductifGsur ks, on note, pour n’importe quelle paire de Borel(T, B)deG:

• XG =XT le r´eseau des caract`eres deT,

• X_G^∨=X_T^∨ le r´eseau dual des cocaract`eres deT,

• S_G =N_G(T)/T le groupe fini, appel´e groupe de Weyl de G, d´efini comme le quotient par T de son normalisateur,

• Φ_G = Φ_T ⊂X_T − {0} l’ensemble fini des caract`eres non triviaux de T qui apparaissent dans l’action par conjugaison deT sur Lie (G),

• Φ⁺_G= ΦB ⊂ΦG = ΦT le sous-ensemble fini des caract`eres non triviaux qui apparaissent dans l’action par conjugaison deT sur Lie (B)ouLie (NB),

• ∆G = ∆B⊂Φ⁺_G = ΦB le sous-ensemble deΦB constitué des éléments qui ne peuvent s’écrire comme la somme de deux éléments deΦB.

Remarques :

• Les éléments des sous-ensembles finis Φ_G, Φ⁺_G et ∆_G du réseau X_G s’appellent respectivement les racines, les racines positives et les racines simples. On montre de Φ_G est la réunion disjointe de Φ⁺_G et

−Φ⁺_G.

• Le groupe de WeylSG agit surXG etX_G^∨. Cette action pr´eserve l’ensemble ΦG des racines deG.

Consid´erons toujours une paire de Borel (T, B) du groupe r´eductif Gsurks.

Soitα:T →Gm une racine, élément de ΦG = ΦT. SoitTαla composante neutre du noyau deα, qui est un sous-tore deT de codimension 1. Le centralisateurGα deTα dans Gest un sous-groupe réductif deG qui admetT comme sous-tore maximal.

Le groupe finiNG_α(T)/T agit non trivialement surT /Tα∼=G^m, donc il compte exactement 2 ´el´ements.

On notewα l’image dansNG(T)/T =SG de son unique ´el´ement non trivial.

(13)

Le groupe dérivéG^der_α = [G, G] deGα(c’est-à-dire l’intersection des noyaux de tous les caractères deGα) a ses sous-tores maximaux isomorphes à Gm. Donc il est isomorphe à SL2 ou PGL2, et il existe un unique homomorphisme

α^∨:Gm→G^der_α tel que







Imα^∨⊂T , T =T_α·(Imα^∨), hα, α^∨i= 2. On montre :

Lemme B.7.–

Dans la situation ci-dessus, les élément w_α∈S_G etα^∨∈X_T^∨ associés à toute racineα∈Φ_G vérifient wα(χ) =χ− hχ, α^∨i ·α , ∀χ∈XT,

wα(µ) =µ− hα, µi ·α^∨, ∀µ∈X_T^∨.

L’application ΦG3α7→α^∨ne dépend pas du choix de la paire de Borel (T, B). On peut donc compléter la définition B.6 par :

SiGest un groupe r´eductif surks, on appelle coracines [resp. coracines positives, resp. coracines simples]

les ´el´ements du sous-ensemble Φ^∨_G [resp. Φ^+∨_G , resp. ∆^∨_B] de X_G^∨− {0}, image deΦG [resp. Φ⁺_G, resp. ∆B] par l’application

α7→α^∨.

La construction des racines et des coracines d’un groupe réductif amène à poser la définition suivante : Définition B.9.–

(i) On appelle “donnée radicielle” tout quadruplet(X,Φ, X^∨,Φ^∨)constitué de – un réseauX de rang fini,

– son r´eseau dualX^∨,

– deux sous-ensembles finisΦet Φ^∨ deX etX^∨ reli´es par une bijection Φ −→^∼ Φ^∨

α 7→ α^∨, et tel que tout ´el´ement α∈Φ satisfait les2 axiomes suivants :

• hα, α^∨i= 2,

• les involutions deX etX^∨ d´efinies par

χ 7→ wα(χ) =χ− hχ, α^∨i ·α , µ 7→ w_α(µ) =µ− hα, µi ·α^∨, stabilisent les ensembles finis ΦetΦ^∨.

(14)

(ii) Une donnée radicielle(X,Φ, X^∨,Φ^∨)est dite “réduite” si, pour tout élémentα∈Φ, les seuls multiples deα[resp.α^∨] contenus dansΦ[resp. Φ^∨] sont ±α[resp.±α^∨].

Remarque :

Si (X,Φ, X^∨,Φ^∨) est une donnée radicielle (réduite), (X^∨,Φ^∨, X,Φ) est aussi une donnée radicielle (réduite), appelée sa duale.

Cette définition étant posée, on a :

Th´eor`eme B.10.–

(i) Pour tout groupe réductifGsur un corps séparablement closk_s, le quadruplet associé(X_G,Φ_G, X_G^∨,Φ^∨_G) est une donnée radicielle réduite.

(ii) Réciproquement, pour toute donnée radicielle réduite(X,Φ, X^∨,Φ^∨), et pour tout corps séparablement clos ks, il existe un groupe réductifG sur ks, unique à isomorphisme près, tel que (XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G) soit isomorphe à(X,Φ, X^∨,Φ^∨).

(iii) Pour tout groupe r´eductifGsurks, on a un homomorphisme canonique entre groupes d’automorphismes Aut (G)→Aut (X_G,∆_G, X_G^∨,∆^∨_G).

Il s’inscrit dans une suite exacte

1→Int (G)→Aut (G)→Aut (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G)→1 oùInt (G)désigne le sous-groupe des automorphismes intérieurs de G.

Remarque :

Il résulte de ce théorème que les classes d’isomorphie de groupes réductifs sur un corps séparablement closkssont indexées par des données combinatoires indépendantes de ks, et même de la caractéristique de ks.

Les automorphismes d’un groupe réductif Gsur ksmuni d’une paire de Borel (T, B) sont les automorphismes de conjugaison par les éléments de T(ks). Afin de les fixer tous, on note que, pour toute racine α∈ΦG = ΦT, le sous-espace Lie (G)αde Lie (G) sur lequelT agit par le caractèreαest de dimension 1, et on pose :

On appelle “épinglage” d’un groupe réductifGsurks tout triplet(T, B,(uα)_α∈∆_G)constitué d’une paire de Borel(T, B)et d’une famille de vecteurs directeursuα∈Lie (G)α,α∈∆G = ∆B.

Avec cette d´efinition, on a : Proposition B.12.–

SoitGun groupe r´eductif sur ks. Alors :

(i) Deux épinglages deGsont transformés l’un dans l’autre par un unique automorphisme intérieur deG.

(ii) Tout ´epinglage d´efinit un scindage de la suite exacte

1→Int (G)→Aut (G)→Aut (X_G,∆_G, X_G^∨,∆^∨_G)→1.

(15)

Revenons maintenant au corps arbitrairekde clˆoture s´eparablekset de groupe de Galois Γk = Autk(ks).

Ayant classifié les groupes réductifs surk_set fixé leurs automorphismes, on peut chercher à classifier les groupes réductifs surk. Un groupe algébrique affine, lisse et géométriquement connexeGsurk est réductif si et seulementGk_s=G×_Spec(k)Spec(ks) est réductif sur ks.

Deux groupes r´eductifs connexesGetG⁰ surk sont appel´es des “k-formes” l’un de l’autre s’il existe un isomorphismec:Gk_s

−→∼ G⁰_k

s. Dans ce cas, l’application

Γ_k → Aut (G_k_s) σ 7→ c⁻¹◦σ(c) =cσ

est continue, et elle satisfait la condition

c_σσ⁰ =c_σ◦σ(c_σ⁰), ∀σ, σ⁰∈Γ_k. R´eciproquement, siGest un groupe r´eductif surk, toute application continue

Γk → Aut (Gk_s), σ 7→ c_σ,

qui satisfait la relation ci-dessus d´efinit une “k-forme” de G. Cette k-forme est k-isomorphe `a G si et seulement s’il existe un automorphismec∈Aut (G_k_s) tel que

c_σ=c⁻¹◦σ(c), ∀σ∈Γ_k.

Les “k-formes” de Gassociées à des applications continues Γk 3 σ 7→ cσ qui prennent leurs valeurs dans le sous-groupe Int (Gk_s) ⊂ Aut (Gk_s) des automorphismes intérieurs de Gk_s, sont appelées les “k-formes intérieures” de G.

Pour tout groupe réductifGsurk, on note encore (XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G),SGet (Φ⁺_G,∆G,Φ^+∨_G ,∆^∨_G) la donnée radicielle, le groupe de Weyl et les ensembles de racines et coracines positives ou simples qui sont associés à Gk_s.

Si (T, B) est une paire de Borel deGk_s et σest un élément de Γk, la transformée (σ(T), σ(B)) de (T, B) parσest une autre paire de Borel deGk_s, et on a un isomorphisme induit parσ

(XT,∆B, X_T^∨,∆^∨_B)−→^∼ (X_σ(T₎,∆_σ(B), X_σ(T)^∨ ,∆^∨_σ(B)).

Cet isomorphisme induit par σpeut-ˆetre vu comme un automorphisme de (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G) ; comme tel, il ne d´epend pas du choix de la paire de Borel (T, B). On a donc une application canonique

Γk→Aut (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G).

C’est un homomorphisme de groupes. Son noyau est un sous-groupe ouvert de Γ_k, ce qui signifie qu’il est continu.

Ainsi, le r´eseauXG et son dualX_G^∨sont canoniquement munis d’une action du groupe de Galois Γk qui pr´eserve les ensembles finis ∆G,∆^∨_G,ΦG,Φ^∨_G,Φ⁺_G,Φ^+∨_G et induit une action sur le groupe de Weyl SG.

On pose :

(16)

(i) Un groupe réductif Gsur k est dit “quasi-déployé” s’il possède un épinglage(T, B,(uα)_α∈∆_G) défini sur k.

(ii) Il est dit “déployé” si, de plus, le toreT d’un tel épinglage est déployé, c’est-à-dire isomorphe sur k à une puissance deGm.

On déduit du théorème B.10 et de la proposition B.11 : Corollaire B.14.–

(i) Deux groupes r´eductifs G et G⁰ sur k sont des “k-formes” l’un de l’autre si et seulement si leurs donn´ees radicielles (X_G,Φ_G, X_G^∨,Φ^∨_G)et(X_G⁰,Φ_G⁰, X_G^∨0,Φ^∨_G0)sont isomorphes.

De plus, ce sont des “k-formes int´erieures” l’un de l’autre si et seulement si leurs donn´ees radicielles munies des actions naturelles du groupe de GaloisΓk sont isomorphes.

(ii) Toute donnée radicielle(X,Φ, X^∨,Φ^∨)munie d’une action continue deΓk préservant une base(∆,∆^∨) définit un groupe réductif quasi-déployé sur k. Celui-ci est unique à unique k-isomorphisme près préservant les épinglages.

(iii) Tout groupe réductif sur k possède une forme intérieure quasi-déployée. Celle-ci est unique à unique k-isomorphisme près préservant les épinglages.

(iv) Un groupe réductifG, supposé quasi-déployé surk, est déployé surksi et seulement si l’action induite deΓk sur (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G)est triviale.

A la suite de Langlands, on peut poser la d´` efinition suivante : D´efinition B.15.–

On appelle “groupe dual (de Langlands)” de G, et on note G, le groupe r´b eductif sur C, muni d’un

´epinglage (T ,b B,b (uα)_α∈∆

Gb), qui est associé à la donnée radicielle (X_G^∨,Φ^∨_G, XG,ΦG) duale de la donnée radicielle(XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G)deG.

Il est unique à unique isomorphisme près et muni de l’action continue deΓ_k qui relève celle sur(X_G,Φ_G, X_G^∨,Φ^∨_G)et sa duale.

Remarque :

Si (T, B) est une paire de Borel deGsurk_s,Tbest dual de T au sens que l’on peut identifier X

Tb=X_G^∨=X_T^∨, X^∨

Tb =X_G=X_T. Si (T, B) est d´efini sur k, les identifications X

Tb = X_T^∨ et X^∨

Tb = XT sont mˆeme compatibles avec les actions de Γk.

La partie (i) du corollaire B.14 ci-dessus se reformule de la mani`ere suivante : Corollaire B.16.–

Deux groupes r´eductifsGetG⁰ surk sont des “k-formes” l’un de l’autre si et seulement si leurs groupes r´eductifs duaux Gb etGb⁰ sur Csont isomorphes.

(17)

De plus, ce sont des “k-formes int´erieures” l’un de l’autre si et seulement si Gb et Gb⁰ munis des actions naturelles deΓk sont isomorphes.

Considérons enfin le cas où le corps de basekest égal à un corps globalF : les groupes réductifsGsur un corps globalF sont les objets de base de la théorie des représentations automorphes.

Soit doncF un corps global, et soitGun groupe r´eductif sur F.

Pour toute place x ∈ |F|, G induit un groupe réductif sur Fx. Si x ∈ |F|f est une place finie, G(Fx) est un groupe topologique “totalement discontinu” au sens que sa topologie est engendrée par une famille filtrante de sous-groupes ouverts compacts. Six∈ |F|rest une place réelle,G(Fx) est un groupe de Lie réel et six∈ |F|c est une place complexe,G(Fx) et un groupe de Lie complexe.

Choisissons des clˆotures s´eparables Fs et Fx,s, x ∈ |F|, de F et des Fx, ainsi que des plongements Fs ,→Fx,s de Fs dans chaque Fx,s, x∈ |F|, qui prolongent les plongementsF ,→Fx. Chaque plongement Fs,→Fx,s induit un plongement entre groupes de Galois

ΓF_x,→ΓF.

Six∈ |F|f, notonsF_x,s^nr le sous-corps deFx,squi est la réunion filtrante des extensions finies deFxcontenues dansFx,s qui sont “non ramifiées” au sens qu’elle se prolongent en une extension finie étale de l’anneauOx

des entiers deFx. Le groupe Γ^nr_F

x = AutF_x(F_x,s^nr) est appel´e “groupe de Galois non ramifi´e deFx” ; c’est un quotient du groupe profini ΓF_x. On montre qu’il est isomorphe au groupe de Galois

Γ_F_x∼=Zb

du corps résiduel Fx de l’anneau local Ox. Il admet pour générateur topologique “l’élément de Frobenius”

σx∈Γ^nr_F_x qui correspond `a l’automorphisme de Frobenius

a7→a^q^x (oùqx= #Fx) de n’importe quelle clôture séparable deFx.

On pose : D´efinition B.17.–

SoitGun groupe r´eductif sur un corps global F.

On dit queGest non ramifi´e en une place finie x∈ |F|_f si :

• Gest quasi-d´eploy´e surFx,

• l’action du groupe de Galois localΓF_x sur la donnée radicielle(XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G)ou, ce qui revient au même, sur le groupe dual G, se factorise `b a travers son quotient non ramifié Γ^nr_F

x. Remarque :

SiGest non ramifié enx∈ |F|f, on peut parler de l’action surGbde l’élément de Frobenius σx.

On montre :

Lemme B.18.–

Soient G un groupe r´eductif sur un corps global F et x ∈ |F|f une place finie en laquelle G est non ramifi´e.

Alors G considéré comme un groupe réductif sur Fx se prolonge de manière unique en un schéma en groupes affine lisse surOx dont la fibre résiduelle est un groupe réductif sur Fx, de même donnée radicielle queG.

On d´eduit de ce lemme :

(18)

Corollaire B.19.–

Sous les hypoth`eses du lemme B.18ci-dessus, on peut parler du sous-groupeG(O_x)des points entiers de G(Fx).

C’est un sous-groupe ouvert compact maximal de G(Fx).

Enfin, on a : Proposition B.20.–

SoitGun groupe r´eductif sur un corps global F. Alors :

(i) Pour presque toute placex∈ |F|, le groupe réductifGest quasi-déployé surFx. (ii) Mieux encore,G est non ramifié en presque toute placex∈ |F|_f.

(19)

C. Fonctions automorphes, repr´ esentations automorphes et principe de fonctorialit´ e

Dans tout ce paragraphe, on fixe un corps globalF et son anneau des ad`elesA=AF qui a la forme

A = Af×



 Y

x∈|F|∞

F_x





= Af×



 Y

x∈|F|r

R



×



 Y

x∈|F|c

C



. On s’int´eresse aux groupes r´eductifs GsurF et aux groupes de points

G(F),→G(A). Le groupe topologiqueG(A) est le produit des groupes de Lie r´eels

G(Fx), x∈ |F|r, des groupes de Lie complexes

G(Fx), x∈ |F|c, et du sous-groupe topologique

G(Af)⊂ Y

x∈|F|_f

G(F_x)

constitu´e des familles (gx∈G(Fx))_x∈|F|_f telles quegx∈G(Ox) en presque toute placex∈ |F|f en laquelle Gest non ramifi´e.

Le groupe G(Af) est totalement discontinu : sa topologie est engendr´ee par ses sous-groupes ouverts compacts produits

K_f = Y

x∈|F|_f

K_x

dont les facteursKxsont des sous-groupes ouverts compacts deG(Fx), presque tous ´egaux `a G(Ox).

Le groupe réductifGsurF se plonge comme sous-schéma fermé d’un schéma affine Spec (F[X1, . . . , Xd]).

La proposition A.10(i) implique donc : Lemme C.1.–

Pour tout groupe r´eductifGsur F, le plongement

G(F),→G(A) identifieG(F)`a un sous-groupe discret du groupe topologiqueG(A).

La théorie automorphe consiste à étudier l’espace topologique quotient

G(F)\G(A)

muni de l’action `a droite du groupe topologique G(A) ou, ce qui revient au mˆeme, les espaces de fonctions h:G(F)\G(A)→C

sur lesquelsG(A) op`ere par translation `a droite.

On introduit en particulier :

(20)

• l’espaceCc(G(F)\G(A)) des fonctions continues `a support compact h:G(F)\G(A)→C

• son sous-espaceC_∞(G(F)\G(A)) r´eunion filtrante des sous-espacesCK_f,∞(G(F)\G(A)) de fonctions `a support compact

h:G(F)\G(A)→C

invariantes `a droite par un sous-groupe ouvert compactK_f de G(Af) et de classe C^∞ en la variable g_∞∈ Q

x∈|F|∞

G(F_x),

• l’espaceL²(G(F)\G(A)) des fonctions de carr´e int´egrable h:G(F)\G(A)→C pour n’importe quelle mesure de Haar surG(A)

dg= O

x∈|F|

dg_x

produit de mesures de Haardgxsur les groupes topologiques localement compactsG(Fx),

• son sous-espace L²_∞(G(F)\G(A)) réunion filtrante des sous-espacesL²_K_f_,∞(G(F)\G(A)) de fonctions de carré intégrable

h:G(F)\G(A)→C

invariantes `a droite par un sous-groupe ouvert compactK_f de G(Af) et de classe C^∞ en la variable g_∞∈ Q

x∈|F|∞

G(F_x).

Ces différents espaces sont munis de l’action deG(A) par translation à droite ou, ce qui revient au même, de l’action par convolution à droite

(h, ϕ)7→h∗ϕ= g⁰7→

Z

G(A)

dg·h(g⁰g⁻¹)·ϕ(g)

!

des fonctionsϕ:G(A)→Céléments de “l’algèbre de Hecke de G(A)”

H^G

définie de la manière suivante : Définition C.2.–

Ayant choisi une mesure de Haardg= N

x∈|F|

dgxsurG(A), produit de mesures de Haardgxsur lesG(Fx), on pose :

(i) Pour toute placex∈ |F|f, on appelle “algèbre de Hecke locale surG(Fx)”, et on noteH^G_x, l’algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact

ϕx:G(Fx)→C.

C’est la réunion filtrante, sur les sous-groupes ouverts compactsK_xdeG(F_x), des sous-algèbresH_x,K^G _x de fonctions à support compact

K_x\G(F_x)/K_x→C.

(21)

(ii) Pour toute place x∈ |F|_∞, on appelle “algèbre de Hecke locale sur G(Fx)”, et on note H^G_x, l’algèbre de convolution des fonctions de classeC^∞ à support compact

ϕx:G(Fx)→C.

(iii) On appelle “alg`ebre de Hecke globale” surG(A), et on note H^G, le produit tensoriel H^G= O

x∈|F|

H^G_x .

C’est une alg`ebre de convolution de fonctions `a support compact ϕ:G(A)→C

qui sont invariantes `a gauche et `a droite par un sous-groupe ouvert compact de G(Af), et de classe C^∞ en la variableg_∞∈ Q

x∈|F|∞

G(Fx).

Remarque :

En toute placex∈ |F|f, chaque alg`ebre H^G_x,K

x admet un élément unité qui est le quotient 1

vol (Kx)·1I_K_x(•) de la fonction caract´eristique deKxpar son volume.

SiGest non ramifi´e en x, on normalise la mesure de Haardg_xsurG(F_x) en demandant qu’elle attribue le volume 1 `a G(O_x).

La sous-alg`ebre H^G_x,∅=H^G_x,G(O

x) des fonctions `a support compact G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)→C

est appelée “l’algèbre de Hecke sphérique surG(F_x)”. Elle admet pour élément unité la fonction caractéristique deG(O_x).

La théorie automorphe consiste d’abord à décomposer spectralement la représentation

L²(G(F)\G(A)) ou L²_∞(G(F)\G(A))

deG(A) ouH^G comme une somme hilbertienne (discrète et continue) de représentations irréductibles qui sont “lisses admissibles” au sens suivant :

D´efinition C.3.–

(i) En toute placex∈ |F|f, une repr´esentation “lisse admissible” deG(F_x)ouH^G_x consiste en un espace vectorielV_π_x sur Cmuni d’une actionπ_x deG(F_x)et tel que

• pour tout sous-groupe ouvert compactKx deVπ_x, le sous-espace V_π^K_x^x ={v∈Vπ_x|gx·v=v , ∀gx∈Kx} est de dimension finie,

• l’espaceV_π_x est la r´eunion filtrante de ses sous-espaces V_π^K^x

x .

(ii) Dans les conditions de(i), la repr´esentation “lisse admissible” (πx, Vπ_x) est dite “non ramifi´ee” si

(22)

• Gest non ramifi´e en x,

• le sous-espaceVπ^G(Ox ^x⁾est de dimension1 et muni d’un vecteur directeur.

(iii) En toute placex∈ |F|_∞, une représentation “lisse admissible” deG(Fx)etH^G_x consiste en deux espaces vectoriels Vπ_x etV_π^∗_x sur C, munis d’actions de G(Fx) etH_x^G et d’un produit scalaire équivariant non dégénéré

h•,•i:V_π^∗_x⊗Vπ_x→C tels que, pour tous vecteurs v^∗∈V_π^∗

x,v∈V_π_x,

• la fonction

G(F_x)3g7→ hv^∗, g·vi=hg⁻¹·v^∗, vi est de classeC^∞,

• le produit scalaire

hv^∗, ϕ·vi [resp. hϕ·v^∗, vi]

est égal à l’intégrale Z

G(F_x)

dg·ϕ(g)· hv^∗, g·vi [resp.

Z

G(F_x)

dg·ϕ(g)· hg·v^∗, vi]

pour toute fonctionϕ∈ H^G_x.

(iv) Une repr´esentation “lisse admissible” de G(A)ouH^G est un produit tensoriel (π, Vπ) = O

x∈|F|

(πx, Vπ_x)

de repr´esentations lisses admissibles locales qui sont non ramifi´ees en presque toute placex∈ |F|f.

Citons tout de suite : Lemme C.4.–

Soitx∈ |F|f une place finie deF. Alors :

(i) Pour tout sous-groupe ouvert compactK_x deG(F_x), le foncteur Vπ_x7→V_π^K_x^x

induit une équivalence de la catégorie des représentations lisses admissibles irréductibles (πx, Vπ_x) de G(Fx) telles que V_π^K_x^x 6= 0 sur la catégorie des représentations irréductibles de dimension finie de l’algèbreH^G_x,K_x.

(ii) SiGest non ramifié en x, l’algèbre de Hecke sphériqueH^G_x,∅=H^G_x,G(O

x) est commutative.

Par conséquent, ses représentations irréductibles sont de dimension 1, ce sont les caractères.

Remarque :

Il résulte de (i) et (ii) que, si Gest non ramifié en x, les représentations non ramifiées irréductibles de G(F_x) correspondent bijectivement aux caractères de l’algèbre de Hecke sphériqueH^G_x,∅.

Il est possible de préciser la structure de l’algèbre commutative H^G_x,∅ en toute place x∈ |F|f oùG est non ramifié. C’est un résultat fondamental de Satake, que nous citons dans sa reformulation par Langlands :

(23)

Th´eor`eme C.5.–

Soitxune place finie deF en laquelle le groupe r´eductifGsur F est non ramifi´e.

Consid´erons le groupe dualGb deG, muni de sa paire de Borel (T ,b B)b et de l’action du groupe de Galois local non ramifi´e Γ^nr_F_x induite par celle deΓF.

Soit

Gbx

la fibre du produit semi-directGboΓ^nr_F

x au-dessus de l’´el´ement de Frobeniusσx∈Γ^nr_F

x, munie de l’action de Gb par conjugaison.

Alors on a un isomorphisme canonique, dit isomorphisme de Satake, S_x^G:H^G_x,∅−→^∼ C[Gbx]^G^b

de l’algèbre de Hecke sphérique de G en x vers l’algèbre des polynômes sur Gbx qui sont invariants par conjugaison parG.b

Remarques :

(i) SiG= GLr, l’isomorphisme de Satake s’´ecrit encore

S_x^r:H^r_x,∅=H^GL_x,∅^r →C[Tb_r]^S^r =C[X₁^±1, . . . , X_r^±1]^S^r

o`u Tbr = (C^×)^r d´esigne le tore maximal de GLcr = GLr(C) et Sr le groupe des permutations de {1,2, . . . , r}.

Les représentations non ramifiées de GLr(Fx), ou les caractères de l’algèbre de Hecke sphériqueH^G_x,∅, correspondent aux familles (z1, . . . , zr)∈(C^×)^r, modulo permutation. On appelle les éléments de ces familles les “valeurs propres de Hecke” des représentations non ramifiées.

(ii) Plus généralement, siGest déployé surFx, l’isomorphisme de Satake s’écrit encore S^G_x :H^G_x,∅→C[Tb]^S^G

o`u SG d´esigne le groupe de Weyl deGouG.b

Les représentations non ramifiées de G(F), ou les caractères de H^G_x,∅, correspondent aux éléments λ∈Tb, modulo l’action deSG.

(iii) Dans le cas général, considérons un sous-tore T_x^d du groupe réductif quasi-déployé Gsur Fx, qui est déployé surFxet maximal pour cette propriété. Il est muni, ainsi que son tore complexe dualTb_x^d, d’une action du groupe de WeylFx-rationnel

S^x_G ={w∈SG|σx(w) =w}. Alors l’isomorphisme de Satake s’´ecrit encore

S_x^G:H^G_x,∅→C[Tb_x^d]^S^x^G.

Les représentations non ramifiées de G(F), ou les caractères de H^G_x,∅, correspondent aux éléments

λ∈Tb_x^d, modulo l’action deS^x_G.

(24)

Revenons au problème de la décomposition spectrale des fonctions h:G(F)\G(A)→C sous l’action deG(A) par translation à droite.

Voyons d’abord le cas d’un toreT alg´ebrique surF.

CommeT est commutatif, les représentations lisses admissibles irréductibles deT(A) sont les caractères continus presque partout non ramifiés

χ:T(A)→C^×.

Ceux de ces caract`eres qui apparaissent dans la d´ecomposition spectrale des fonctions h:T(F)\T(A)→C

sont les caract`eres “automorphes” au sens de triviaux surT(F).

Parmi les caract`eres automorphes, on distingue en particulier ceux de la forme T(A)3t7→ |χ1(t)|^s¹. . .|χk(t)|^s^k

pour des caractères algébriques définis surF

χ1, . . . , χk :T →Gm

et des exposants complexess1, . . . , sk∈C.

Les caract`eresT(A)→C^×de cette forme sont effectivement automorphes d’apr`es la “formule du produit”

de la proposition A.8.

Notons ΛbT le groupe abélien des caractères automorphes de cette forme,T(A)⁰⊂T(A) le sous-groupe fermé intersection des noyaux des éléments deΛbT, et ΛT le groupe quotient deT(A) parT(A)⁰.

On a : Lemme C.6.–

Pour tout tore T alg´ebrique sur F, on a :

(i) Le groupe abélienΛbT a naturellement la structure d’un groupe de Lie complexe. Sa dimension surC est égale au rang du plus grand sous-tore deT déployé surF.

(ii) Si F est un corps de fonctions [resp. un corps de nombres], le groupe topologique quotient ΛT = T(A)/T(A)⁰ est isomorphe `a une puissance deZ[resp. de R], si bien que son dual ΛbT est isomorphe

`

a une puissance du groupe multiplicatifC^× [resp. du groupe additif C].

(iii) Le quotient

T(F)\T(A)⁰

du noyau communT(A)⁰ par le sous-groupe discretT(F)est compact.

Remarque :

La partie (iii) implique que, dans le groupe des caract`eres automorphes deT(A), les orbites sous l’action du sous-groupeΛbT forment une famille discr`ete.

D´ecrire un caract`ere automorphe

χ= O

x∈|F|

χx:T(F)\T(A)→C^×