MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 11
Semaine du lundi 7 au vendredi 11 décembre 2020
Les démonstrations de nombreux énoncés de ce chapitre ont été vues en 1e année.
Il est clairement écrit lesquelles sont de fait ADMISES.
Chapitre 10 : fonctions vectorielles d’une variable réelle
L’objet de ce chapitre est d’étudier les fonctions définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE.
1. Dérivation des fonctions vectorielles.
1.1 Dérivée en un point Définition.
Caractérisation de la dérivabilité par l’existence d’un développement limité d’ordre 1.
Caractérisation de la dérivabilité d’une fonction vectorielle par la dérivabilité de ses composantes.
Dérivée à droite, à gauche (mais pas au milieu !).
1.2 Dérivée globale Définition.
Proposition : lien entre la restriction de la dérivée et la dérivée de la restriction.
1.3 Applications de classe C1 Définition.
Contre-exemple d’une fonction continue et dérivable surR, de dérivée continue surR∗ mais pas en0.
1.4 Opérations sur les fonctions dérivables Proposition : dérivation d’une combinaison linéaire.
Théorème : siuest linéaire etf dérivable, alorsu◦f est dérivable et(u◦f)0 =u◦f0.
Théorème : siB est bilinéaire etf,gde classeC1, alorsB(f, g)est de classeC1etB(f, g)0 =B(f0, g) +B(f, g0).
Remarque : extension aux fonctionsn-linéaires.
1.5 Théorèmes généraux sur les fonctions à valeurs réelles (rappels de MPSI)
Proposition (ADMISE) : si f :I →E est dérivable et présente un extremum en un point aqui n’est pas une borne deI, alorsf0(a) = 0.
Théorème de Rolle (ADMIS).
Théorème des accroissements finis (ADMIS).
Remarque : attention ces résultats s’appuient sur le fait queE=Rest un corps ordonné.
Proposition (ADMISE) : caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée.
Théorème de la limite de la dérivée (ADMIS).
1.6 Dérivées d’ordres supérieurs
Définitions : dérivées d’ordre supérieur, fonctions de classeCk, de classeC∞,Ck-difféomorphisme.
Théorème : composition de fonctions de classeCk.
Proposition (ADMISE) : caractérisation de la dérivabilité de la bijection réciproque.
Théorème (ADMIS) : caractérisation du caractèreCk-difféomorphe d’une application bijective entre intervalles par la non-annulation de la dérivée. Dérivée de la bijection réciproque.
2. Intégration sur un segment.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 18 novembre 2020
MP 2020-21
2.1 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
Définition : fonctions en escaliers, intégrale d’une fonction en escalier, subdivision adaptée.
Proposition : l’intégrale d’une fonction en escalier ne dépend pas de la subdivision adaptée.
Théorème : construction de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux comme limite des intégrales de n’importe quelle suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers la fonction.
2.2 Propriétés de l’intégrale
Proposition (ADMISE) : positivité et croissance de l’intégrale ; la seule fonction continue, positive et d’intégrale nulle est la fonction nulle.
Proposition : inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème (ADMIS) : convergence des sommes de Riemann.
Théorème : inégalité de la moyenne.
Théorème : inégalité des accroissements finis pour les fonctions de classeC1. 2.3 Intégration et développements limités
Proposition : intégration d’uno(· · ·).
Théorème : intégration terme à terme d’un développement limité vectoriel.
Théorème : formule de Taylor-Young vectorielle.
Application aux courbes paramétrées.
2.4 Primitives d’une fonction continue
Théorème fondamental du calcul intégral (« TFCI ») : sif est continue alorsx7→
Z x
a
f(t)dtest de classeC1 et sa dérivée estf.
Proposition : dérivation dex7→
Z v(x)
u(x)
f(t)dt.
Extension aux fonctions continues par morceaux.
Proposition : formule de changement de variable dans une intégrale d’une fonction continue.
2.5 Intégration par parties et applications
Proposition : intégration par parties (toujours préciser la classe des fonctions).
Théorème de Taylor avec reste intégral.
Théorème : inégalité de Taylor-Lagrange.
2.6 Norme de la convergence en moyenne
Proposition/définition : norme de la convergence en moyenne.
Théorème : pour les fonctions continues sur un segment, la convergence uniforme implique la convergence en moyenne (réciproque fausse, contre-exemple donné).
2.7 Échange limite-intégrale
Théorème : échange limite-intégrale pour les suites de fonctions continues qui CU sur un segment.
Exemples et contre-exemples.
Le premier MP FSM qui lit ceci et m’envoie un mail gagne un Carambar.
Corollaire : extension aux séries de fonctions.
Théorème (ADMIS) : convergence dominée pour une suite de fonctions, version « segment ».
Théorème (ADMIS) : 2e théorème d’intégration terme à terme d’une série de fonctions sur un segment.
2.8 Norme de la convergence en moyenne quadratique (sur un segment) Définition.
Théorème : convergence uniforme⇒convergence en moyenne quadratique ⇒convergence en moyenne.
3. Primitives et dérivées des suites et séries de fonctions.
3.1 Primitivation de la limite d’une suite ou série de fonctions
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 18 novembre 2020
MP 2020-21
3.2 Primitivation d’une série de fonctions
3.3 Dérivation de la limite d’une suite de fonctions 3.4 Dérivation terme à terme d’une série de fonctions 3.5 Extension aux suites et séries de fonctions de classe Ck 4. Arcs paramétrés.
4.1 Définition
Définition : courbe paramétrée, support (ou trajectoire).
4.2 Point régulier, tangente
Définition : point régulier, point stationnaire, courbe régulière, tangente en un point.
Proposition : existence de la tangente en un point régulier.
Proposition : existence de la tangente en un point stationnaire en lequel une dérivéek-ième est non-nulle.
Remarque : détermination pratique dans le plan, dans l’espace.
Définition : branche infinie, droite asymptote.
ATTENTION : l’étude des points stationnaires et des branches infinies (en particulier des droites asymptotes) est officiellement HORS PROGRAMME.
4.1 Exemple d’étude complète
Semaine suivante : séries entières.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 18 novembre 2020
