Fonctions vectorielles d’une variable réelle

Fonctions vectorielles d’une variable réelle

1. (3)

(a) On poseg(x) = e^2xet h(x) = 1 1 +x.

Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs.

(b) On posef(x) = e^2x 1 +x.

En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivéen^ème d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturelnet pourx∈R\ {−1}, la valeur defⁿ(x).

(c) Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente.

2. (4)

(a) Énoncer le théorème des accroissements finis.

(b) Soitf : [a;b]−→Ret soitx₀∈]a, b[.

On suppose quef est continue sur[a;b]et quef est dérivable sur]a;x₀[et sur]x₀;b[

Démontrer que, sif⁰ admet une limite enx₀, alorsf est dérivable enx₀ etf⁰(x₀) = lim

x→x0

f⁰(x).

(c) Prouver que l’implication : (f est dérivable enx0)=⇒(f⁰ admet une limite finie enx0) est fausse.

Indication: on pourra considérer la fonctiong définie par: g(x) =x²sin1

x six6= 0 etg(0) = 0.

3. (43) Soitx₀∈R.

On définit la suite(u_n)paru₀=x₀ et,∀n∈N, u_n+1= Arctan(u_n).

(a) i. Démontrer que la suite (un) est monotone et déterminer, en fonction de la valeur de x0, le sens de variation de(un).

ii. Montrer que(un)converge et déterminer sa limite.

(b) Déterminer l’ensemble des fonctions hcontinues surRtelles que : ∀x∈R,h(x) =h(Arctanx).

4. (47)

(a) Soitf une fonction continue sur[0,1].

i. Soitn∈N^∗. Quel est le sens géométrique de la somme de Riemann Rn(f) = 1 n

n

X

k=1

f k

n

? Illustrer par un dessin soigné.

ii. Démontrer, lorsquef est de classeC¹sur[0,1], que lim

n→+∞Rn(f) = Z 1

0

f(x)dx.

(b) Déterminer la limite de la suite (x_n)définie par x_n =

n

X

k=1

n 3n²+k².

5. (56) On considère la fonctionH définie sur]1; +∞[parH(x) = Z x²

x

dt lnt. (a) Montrer queH est C¹ sur]1; +∞[et calculer sa dérivée.

(b) Montrer que la fonctionudéfinie paru(x) = 1

lnx− 1

x−1 admet une limite finie enx= 1.

(c) En utilisant la fonctionude la question 2., calculer la limite en1⁺ de la fonction H.

6. Soitu, v, wdes fonctions de classeC² surIà valeurs dansR. Soita, b∈I.

On suppose que

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u⁰(a) v⁰(a) w⁰(a)

= 0. Montrer qu’il existec∈I tel que

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u⁰⁰(c) v⁰⁰(c) w⁰⁰(c)

= 0

7. Montrer que pour tout entier natureln, ∀x∈R, cos⁽ⁿ⁾(x) = cos(x+nπ

2). Donner une formule analogue pour la dérivéen^ième desin.

8. Soitu, v, wdes fonctions de classeC¹sur l’intervalleIet à valeurs dansR³. On notef la fonctionf =det(u, v, w).

Montrer quef est de classeC¹ surI et donner sa dérivée.

Même question avec la fonctiong=u∧(v∧w), et avec la fonctionh=< u+v, w >

9. Calculer la dérivéenème dex7→ _1−x¹2.

10. Montrer que la fonctionf =Arctan est de classeC^∞et que, pour toutn∈N^∗,f⁽ⁿ⁾= (n−1)! cosⁿ(f) sin n(π

2 +f) 11. Soit fn la fonction définie sur[1,+∞[ parfn(x) = (x²−1)ⁿ. Montrer que∀x>1,∀k∈N^∗, fn^(k)(x)>0

12. (a) Soit f : [a, b] →R une application de classeCⁿ sur [a, b] telle que f⁽ⁿ⁺¹⁾ existe sur]a, b[. Montrer qu’il existec∈]a, b[ tel que

f(b) =f(a) + (b−a)f⁰(a) +...+(b−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a) +(b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) (Formule de Taylor lagrange)

(b) SoitE un espace vectoriel, et F: [a, b]→E une application de classeCⁿ sur[a, b],n+ 1fois dérivable sur ]a, b[telle qu’il existeM >0tel que ∀x∈]a, b[, kf⁽ⁿ⁺¹⁾(t)k6M.

Montrer que kF(b)−F(a)−(b−a)F⁰(a)−...− (b−a)ⁿ

n! F⁽ⁿ⁾(a)k 6 M(b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! (Inégalité de Taylor Lagrange

(c) Démontrer l’inégalité : ∀x>0, x−x³

6 6sinx6x−x³ 6 + x⁵

120 13. (a) Montrer : ∀n∈N^∗,∃Pn∈R[X], ∀x >0, (e^−1/x)⁽ⁿ⁾=e^−1/xPn(1

x)

(b) Soitf :R→Rdéfinie parf(x) = 0pourx60, etf(x) =e^−1/x pourx >0. Montrer quef estC^∞surR et que∀n∈N^∗, f⁽ⁿ⁾(0) = 0.

(c) Construire une fonctiongnon nulle, C^∞ surRtelle que∀xtel que|x|>1, g(x) = 0.

14. Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que ⁿ⁺¹√

n+ 1−√ⁿ

n∼ −^ln_n2ⁿ. 15. Soit P∈R[X]un polynôme scindé. Montrer que son polynôme dérivé est lui aussi scindé.

16. Soit f :R→Rde classeC¹

(a) Montrer que sif⁰ est bornée surRalorsf est uniformément continue surR. (b) Montrer que si lim

x→+∞|f⁰(x)|= +∞alorsf n’est pas uniformément continue surR. 17. Soit f :R⁺→Rune application dérivable.

(a) Montrer que si lim

x→+∞f⁰(x) =`alors lim

x→+∞

f(x) x =` (b) Montrer que si lim

x→+∞f⁰(x) = +∞alors lim

x→+∞

f(x) x = +∞

18. Soit f :R⁺→Rune application convexe croissante et non constante. Montrer quelim

+∞f(x) = +∞