Chapitre 19
Variables aléatoires nies
Sommaire
19.1 Variable aléatoire nie . . . 197
19.1.1 Dénition . . . 197
19.1.2 Evénements valeurs . . . 198
19.1.3 Système complet d'événements associé à une variable aléatoire nie. . . 199
19.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire . . . 199
19.2.1 Dénition . . . 199
19.2.2 Quelques exemples de détermination de lois . . . 200
19.2.3 Fonction de répartition . . . 201
19.3 Moment d'une variable aléatoire . . . 202
19.3.1 Espérance . . . 202
19.3.2 Moments d'une variable aléatoire . . . 204
19.4 Lois usuelles . . . 207
19.4.1 Loi certaine . . . 207
19.4.2 Loi de Bernoulli . . . 207
19.4.3 Loi binomiale . . . 208
19.4.4 Loi uniforme . . . 210 Dans ce chapitre, nous allons redénir la notion de variable aléatoire nie. Nous apprendrons à calculer plusieurs quantités relatives à cette notion. Ce chapitre est l'occasion de traiter des problèmes concrets grâce à la modélisation. Pour terminer, nous étudierons quelques lois particulières.
Dans tout ce chapitre,(Ω,P(Ω))est un espace probabilisable ni.
Notation 19.1
19.1 Variable aléatoire finie
19.1.1 Dénition
On se place sur un espace probabilisé (Ω,P(Ω), P).
Lorsqu'on étudie une expérience aléatoire sur l'univers Ω, il arrive souvent que ce qui nous intéresse ne soit qu'une partie de l'information donnée par cette expérience aléatoire.
Exemple 19.1.
1. On tire 4 cartes dans un jeu de 32 cartes : quel est le nombre d'as ?
2. On lance 2 dès : combien vaut la somme des résultats ?
Finalement, ce dont nous avons besoin pour notre étude, c'est seulement une application qui, à une issue de l'expérience associe un nombre. Reprenons notre second exemple pour illustrer nos propos. L'étude de l'application
X :
(1,1) →2 (1,2) →3 (2,1) →3 ... →...
(6,6) →12
permet de répondre à notre question. Cette application X peut s'écrire plus simplement de la manière suivante :
X:
(Ω ={1, . . . ,6}2 7→R (x1, x2) →x1+x2
. C'est ce genre d'application que l'on appelle une variable aléatoire.
Soit(Ω,P(Ω))un espace probabilisable quelconque. On appellevariable aléatoire sur(Ω,P(Ω)) toute fonctionX : Ω7→R.
Dénition 19.1 (Variable aléatoire réelle)
Soit (Ω,P(Ω)) un espace probabilisable quelconque. On appelle variable aléatoire nie sur (Ω,P(Ω))toute fonctionX : Ω7→RvériantX(Ω)est ni.
Dénition 19.2 (Variable aléatoire nie)
1. Comme nous ne considérons que des variables aléatoires sur un univers Ω ni, on a forcément X(Ω) qui est un sous-ensemble ni de R. Ainsi, toute variable aléatoire est une variable aléatoire nie.
2. On dit qu'une variable aléatoire estdiscrète lorsqueX(Ω)est un ensemble discret, donc toute variable aléatoire nie est une variable aléatoire discrète.
3. Le vocabulaire variable aléatoire est usuel mais malheureux. X n'est en réalité pas une variable mais une application. De plus, X n'a rien d'aléatoire (on dit qu'il est déterministe), c'est l'expérience qui est aléatoire.
Remarque 19.1
19.1.2 Evénements valeurs
Ce qui va nous intéresser par la suite sera de calculer des probabilités relatives àX. Il faut donc construire des événements à partir de X. Par dénition de la variable aléatoire X, on sait que pour x ∈ X(Ω), {ω ∈ Ω, X(ω) = x} = X−1({x}) ∈ P(Ω), c'est à dire qu'il s'agit d'un événement. On peut donc en calculer la probabilité.
Si on reprend notre exemple du lancé de 2 dès, on peut vouloir calculer la probabilité que la somme vaille 3, c'est à dire la probabilité de l'événement {ω ∈Ω, X(ω) = 3}. Pour éviter les surcharges d'écritures,
19.2. LOI DE PROBABILITÉ D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
1. L'événement{ω∈Ω, X(ω) =x}=X−1(x)est noté[X =x]. 2. L'événement{ω∈Ω, X(ω)≤x}=X−1(]−∞, x])est noté[X ≤x].
3. L'événement {ω ∈ Ω, x1 ≤ X(ω) ≤ x2} = X−1([x1, x2]) est noté [x1≤X ≤x2] ou [X ∈[x1, x2]].
4. etc...
Notation 19.2
Exercice 19.1. On lance deux fois de suite un dé non pipé. Soit X la variable aléatoire donnant la somme des deux résultats.
1. Décrire l'universΩ. 2. Que vautX((5,3))? 3. X(Ω)est-il ni ?
4. Décrire les événements[X = 2] et[X ≤3]. 5. Décrire l'événement[X ∈]−6,2]∩[0,6]].
19.1.3 Système complet d'événements associé à une variable aléatoire nie
Pour chaque variable aléatoire nie, il est possible de trouver un système complet d'événements au sens de la dénition du précédent chapitre de probabilité.
Soit une variable aléatoire nieX sur(Ω,P(Ω)). On posen=Card(X(Ω)) et X(Ω) ={x1, . . . , xn}.
On appelle alorssystème complet d'événements associé à X le système complet d'événements ([X =x1],[X =x2], . . . ,[X=xn]) = ([X=x])x∈X(Ω).
Dénition 19.3 (Système complet d'événements associé à X)
Pourquoi s'agit-il bien d'un système complet d'événements ? Remarque 19.2
Exercice 19.2. Quel est le système complet d'événement associé àX dans l'exercice 1 ?
19.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire
19.2.1 Dénition
SoitX une variable aléatoire nie sur(Ω,P(Ω), P).La loi de la variable aléatoireX est l'ap- plication PX dénie surX(Ω)et à valeurs dans[0,1]dénie par
∀x∈X(Ω), PX(x) =P([X =x]).
Dénition 19.4 (Loi de probabilité de X)
Pour alléger l'écriture, on notera usuellementP(X =x)au lieu deP([X =x])et cette remarque se généralise à tous les événements dépendants de X.
Notation 19.3
Sous les hypothèses et notations précédentes, on a : 1. Pour toutx∈X(Ω),PX(x)∈[0,1].
2. X
x∈X(Ω)
PX(x) = 1. Propriété 19.1
La loi d'une variable aléatoireXest entièrement déterminée par les probabilités des événements [X =x]d'après la dénition précédente. On notera tout de même que si on élargit la dénition dePX à tout élément deP(X(Ω))en posant
PX(A) =P(X∈A), alorsPX est une loi de probabilité sur l'universX(Ω).
Remarque 19.3 (Pour aller un peu plus loin...)
PuisqueX(Ω)est de cardinal ni, il y a un nombre ni de valeurs à calculer pour déterminer entièrement PX. On regroupe souvent les résultats sous forme de tableau.
Exemple 19.2. La loi deX donné dans l'exercice 1 est :
On vérie que la somme de la deuxième ligne vaut bien 1!
Exercice 19.3. On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. On appelleX le nombre de fois où on obtient pile. Donner la loi deX.
19.2.2 Quelques exemples de détermination de lois
Exercice 19.4. SoitX une variable aléatoire nie dont la loi est donnée par le tableau suivant :
x -2 -1 0 2
PX(x) 25 13 15 151
19.2. LOI DE PROBABILITÉ D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
1. Déterminer la loi deY =−3X+ 1. 2. Déterminer la loi deZ =X2.
Exercice 19.5. 1. On lance deux fois un dé équilibré. On note U le plus grand nombre obtenu.
Déterminer la loi deU.
2. On lance trois fois de suite un dé à 4 faces. On noteV le plus petit résultat obtenu. Quelle est la loi deV?
19.2.3 Fonction de répartition
Si on reprend l'exemple précédent : on lance trois dès à 4 faces. On veut trouver la loi de V qui est le plus petit résultat obtenu. On a vu dans le précédent exercice qu'il n'est pas facile de trouver cette loi, cela nécessite beaucoup de calculs. En revanche, on peut facilement constater qu'il sera plus facile de déterminer la probabilité des événements du type[V ≥3]. En eet, on a, en appelantX1, X2 et X3 les trois résultats des lancers :
P(V ≥3) =P(X1≥3∩X2≥3∩X3≥3) =P(X1≥3)P(X2≥3)P(X3≥3)
car les trois lancers sont indépendants.
Ainsi, il est parfois plus intéressant de considérer des événements de la forme [X ≤x] (ou[X ≥x]) que [X =x]. C'est pour cette raison qu'on introduit la notion de fonction de répartition.
SoitX une variable aléatoire nie. On appellefonction de répartition deX l'application FX:R7→[0,1]dénie par
∀x∈R, FX(x) =PX(]−∞, x]) =P(X≤x).
Dénition 19.5 (Fonction de répartition)
Cette fonction est très importante en probabilité. Nous verrons par la suite qu'elle simplie considérable- ment les choses dans de nombreux exercices. Voyons les propriétés notables qu'elle possède.
On a les propriétés suivantes pour la fonction de répartition de X : 1. FX estcroissante,
2. FX(x) = 0 six <min(X(Ω)), 3. FX(x) = 1 six≥max(X(Ω)), 4. lim
x→−∞FX(x) = 0et lim
x→+∞FX(x) = 1.
Propriété 19.2 (Propriétés de la fonction de répartition)
Exercice 19.6. On reprend l'exemple de l'exercice 1. Déterminer et tracer la fonction de répartition de X.
Quelle propriété notable semble avoir une fonction de répartition ?
1. FX estcontinue à droite en tout pointxdeRc'est à dire lim
t→x+FX(t) =FX(x). 2. FXadmet unlimite à gaucheen tout pointxdeRet lim
t→x−FX(t) =FX(x)−P([X =x]). 3. FX est donccontinue par morceaux surR.
Propriété 19.3 (Propriétés de la fonction de répartition BIS)
L'intérêt principal de la fonction de répartition, c'est qu'elledénit entièrement la loi deX.
La fonction de répartition FX caractérise la loi deX. Cela signie qu'on peut retrouver la loi deX en connaissant seulementFX. En eet :
(PX(x1) =FX(x1)
∀i∈ {2, . . . , n}, PX(xi) =FX(xi)−FX(xi−1).
Propriété 19.4 (FX caractérise la loi de X)
Deux variables aléatoires ont la même loi si et seulement si elles ont la même fonction de répartition.
Corollaire 1
19.3 Moment d’une variable aléatoire
Dans cette partie, nous allons dénir plusieurs quantités permettant de donner des informations sur les lois de probabilité. Contrairement à la fonction de répartition, ces quantités ne caractérisent pas forcément la loi.
19.3.1 Espérance
Dénition et premiers exemples
La première quantité est l'espérance. C'est une généralisation de ce que vous connaissez sous le nom de moyenne.
Soit X une variable aléatoire nie. On note {x1, . . . , xn} = X(Ω). L'espérance de X, notée E(X), est alors la quantité :
E(X) =
n
X
i=1
xiP(X=xi) = X
x∈X(ω)
xP(X =x).
Dénition 19.6 (Espérance)
L'espérance se comprend alors commela moyenne des valeurs prises par la variableXpondérée par la probabilité de l'évènement associé.
Remarque 19.4 (Interprétation)
19.3. MOMENT D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Puisque l'espérance ne dépend que de la loi de X, deux variables aléatoires ayant même la même loi ont la même espérance. En revanche, la réciproque est fausse en règle générale.
Remarque 19.5
On dit qu'une variable aléatoire X est centrée si son espérance est nulle.
Dénition 19.7 (Variable aléatoire centrée)
Voyons quelques propriétés de l'espérance.
Soient X et Y deux variables aléatoires nies. On a alors :
1. SiX est une variable aléatoire à valeurs dansR+ (c'est à direX≥0), alorsE(X)≥0. 2. SiX=kaveck∈R, alorsE(X) =k.
Propriété 19.5 (Propriétés de l'espérance)
Exercice 19.7. On reprend de nouveau l'exemple de l'exercice 1. Calculer l'espérance deX. Comment interpréter cela ?
Exercice 19.8. Reprenons la variable aléatoireX de l'exercice 4, de loi
x -2 -1 0 2
PX(x) 25 13 15 151.
CalculerE(X).
Exercice 19.9. Soit n ∈N∗. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Pour toutk ∈ {1, . . . , n}, l'urne kcontientkboules numérotées de 1 àk. On étudie l'expérience aléatoire suivante : on choisit une urne au hasard puis on tire une boule dans cette urne. SoitY la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée. Quelle est la loi deY? Quelle est son espérance ?
Théorème de transfert
Dans cette partie, on va s'intéresser au calcul de l'espérance d'une variable aléatoireY qui s'écrit comme une fonction deX (Y =f(X)). Le théorème de transfert permet de trouver l'espérance de Y lorsqu'on connait la loi de X et la fonctionf.
On considère une variable aléatoireX nie avecX(Ω) ={x1, . . . , xn} et une fonction f :X(Ω)→R.
Dans ce contexte, Y =f(X)est une variable aléatoire nieet son espérance est E(f(X)) =
n
X
i=1
f(xi)P(X =xi) = X
x∈X(Ω)
f(x)P(X=x).
Théorème 19.1 (Théorème de transfert)
L'espérance estlinéaire:
∀(a, b)∈R2, E(aX+b) =aE(X) +b.
Corollaire 2
On le démontrera plus tard, mais on retiendra dès maintenant que la propriété précédente se généralise. SiX etY sont deux variables aléatoires alors
E(X+Y) =E(X) +E(Y).
Remarque 19.6
Exercice 19.10. Montrer que la variable aléatoire X−E(X)est centrée.
Exercice 19.11. On reprend l'exercice 4. Soit X une variable aléatoire de loi dénie par la tableau suivant :
x -2 -1 0 2
PX(x) 25 13 15 151
CalculerE(X2)de deux manières diérentes.
19.3.2 Moments d'une variable aléatoire
On peut généraliser la notion d'espérance de la manière suivante.
SoitX une variable aléatoire nie etr∈N. Le moment d'ordrerdeX est le réel mr(X) =E(Xr) = X
x∈X(Ω)
xrP(X =x).
Dénition 19.8 (Moment d'ordre r de X)
Il est clair quel'espérance deX est lemoment d'ordre 1 deX. De même, le moment d'ordre 0 est toujours égal à 1.
Remarque 19.7
19.3. MOMENT D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
SoitX une variable aléatoire nie etr∈N. Le moment centré d'ordrerdeX est le réel µr(X) =E[(X−E(X))r].
Dénition 19.9 (Moment centré d'ordre r)
C'est surtout lorsquer= 2 que cette dénition nous intéresse.
Variance d'une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire nie. On appelle variance de X le moment centré d'ordre 2 de X. Autrement dit, la variance deX est le réelpositif:
V(X) =µ2(X) =E
(X−E(X))2 . Dénition 19.10 (Variance de X)
L'écart-type d'une variable aléatoireX est le réel positif σ(X) =p
V ar(X).
Dénition 19.11 (Ecart-type d'une variable aléatoire)
La variance d'une variable aléatoire et son écart-type mesurent la dispersion deX autour de sa valeur moyenne (son espérance).
Remarque 19.8 (Interprétation)
Il est assez intuitif que l'espérance ne caractérise pas la loi, comme nous l'avons vu plus tôt.
On comprend aisément que connaître également la variance donne un peu plus d'information sur la loi. L'espérance et la variance ne permettent cependant pas à elles-seules de caractériser la loi. En revanche, l'ensemble des moments de X caractérisent la loi deX. Ce théorème très puissant n'est pas au programme.
Remarque 19.9 (Les moments caractérisent la loi)
On dit qu'une variable aléatoire X est réduitelorsque savariance vaut 1.
Dénition 19.12 (Variable réduite)
En pratique, la formule de la dénition de la variance n'est pas très manipulable. En eet, il faut d'abord trouver la loi de(X−E(X))2pour en calculer son espérance. Il arrivera que nous l'utilisions telle quelle.
Cependant, dans la plupart des cas, c'est le théorème qui suit que nous utiliserons.
SoitX une variable aléatoire nie. Alors
V(X) =E(X2)−E(X)2. Théorème 19.2 (Formule de Huygens)
Enn, la variance n'est pas linéaire mais la propriété suivante nous montre comment elle agit sur les combinaisons linéaires.
SoitX une variable aléatoire nie. Alors,
∀(a, b)∈R2, V ar(aX+b) =a2V ar(X).
Propriété 19.6 (Variance et combinaison linéaire)
Il est naturel que la translation deb ne modie pas la valeur de la variance car, puisque cette translation modie la moyenne, elle ne modie pas la dispersion de la variable autour de celle-ci.
Remarque 19.10
Il est souvent beaucoup plus pratique de travailler avec des variables centrées et réduites ; cela simplie souvent les calculs. Lorsqu'une variable n'est pas centrée réduite, on peut introduire une seconde variable, construite à partir de la première, qui l'est.
SoitX une variable aléatoire nie de variance non nulle. Alors X∗=X−E(X)
σ(X) est une variable aléatoire centrée et réduite.
Propriété 19.7
La variancen'est pas linéaire. En règle générale, on a donc V ar(X+Y)6=V ar(X) +V ar(Y) Remarque 19.11 (Variance non linéaire)
Exercice 19.12. Reprenons la variable aléatoireX de l'exercice 4, de loi
x -2 -1 0 2
PX(x) 25 13 15 151. Calculer la variance deX.
Exercice 19.13. Montrer que
19.4. LOIS USUELLES
19.4 Lois usuelles
Nous avons vu la théorie à connaître sur les variables aléatoires en général. Cependant, de nombreuses variables aléatoires rencontrées dans les modèles mathématiques (et donc dans les exercices) suivent un petit nombre de lois, nommées en conséquencelois usuelles. Dans cette partie, nous allons étudier les lois usuelles nies qui sont au programme.
Pour chaque loi usuelle, il faudra connaître par c÷ur : 1. la notation (et ses paramètres éventuels)
2. la loi de probabilité (et en particulierX(Ω)) 3. l'espérance et la variance
4. le ou les cas typiques d'utilisation
5. la rédaction classique pour justier son utilisation.
Cette étude se fera en lien étroit avec l'informatique.
On utilisera le symbole,→pour signier qu'une variable aléatoire suit une loi usuelle.
Notation 19.4
19.4.1 Loi certaine
Une variable aléatoireX suit laloi certaine si elle ne prend qu'une seule valeura. On a alorsX(Ω) ={a}et P(X =a) = 1.
Dénition 19.13 (Loi certaine)
Il n'y pas de notation usuelle pour cette loi.
Si X suit une loi certaine avec X(Ω) ={a}, alorsE(X) =aet V(X) = 0. Propriété 19.8 (Paramètres et caractérisation d'une loi certaine)
On utilise très peu cette loi, qui est en fait déterministe. Pour justier son utilisation, on peut dire X ne prend qu'une valeur donc suit une loi certaine .
Méthode 19.5 (Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi certaine)
19.4.2 Loi de Bernoulli
Soitp∈[0; 1]. Une variable aléatoireX suit une loi de Bernoulli de paramètrepsi
X(Ω) ={0; 1}
P(X = 1) =p(et doncP(X = 0) = 1−p).
On note alorsX ,→ B(p).
Dénition 19.14 (Loi de Bernouilli)
Si X est une variable aléatoire ni avecX(Ω) ={0,1}, alorsX ,→ B(p)oùp=P(X = 1). Remarque 19.12
Modélisation : On utilise la loi de Bernoulli dès qu'on considère une épreuve ayant 2 issues possibles : succès avec probabilité p et échec avec probabilité 1−p. En eet, dans ce cas, la variable aléatoire valant 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Rédaction :, on écrira on appelle succès l'événement ... de probabilitép. AlorsX, la variable aléatoire qui vaut 1en cas de succès,0 en cas d'échec, suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
Méthode 19.6 (Modélisation et rédaction pour utiliser la loi de Bernoulli)
Exemple 19.3. 1. Un exemple typique d'utilisation est le suivant : on lance une pièce truquée pour laquelle le côté Face est obtenu avec la probabilitép. SoitX qui vaut1lorsqu'on obtient Face, et 0 sinon. AlorsX ,→ B(p).
2. On considère une urne contenant 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire une boule dans cette urne. Soit X la variable aléatoire égale à 1 si la boule tirée est noire et 0 si la boule tirée est blanche. AlorsX suit une loi de Bernoulli de paramètrep= 13.
Soitp∈[0; 1]etX ,→ B(p). Alors
E(X) =petV(X) =p(1−p).
Propriété 19.9 (Paramètres d'une loi de Bernoulli )
Exercice 19.14. 1. A quelle condition une loi de Bernoulli est-elle certaine ?
2. On lance un dé. Alice gagne1euro lorsqu'elle fait un résultat supérieur ou égal à 5, et rien sinon.
On noteGson gain. Étudier la variable aléatoireG.
3. On s'intéresse au taux d'échec d'un gymnaste lors de sa dernière gure. On suppose que la variable aléatoire qui vaut 1 lorsqu'il rate cette gure et 0 sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0; 1]. Expérimentalement, on a estimé : V ar(X) ≈ 14. Avec quelle probabilité le gymnaste rate-t-il sa dernière gure ?
Exercice 19.15. Donner la fonction de répartition de la loi de Bernoulli de paramètrep. La tracer pour p= 13.
Exercice 19.16. Ecrire une fonction Scilab permettant de simuler une variable aléatoireX ,→ B(p).
19.4.3 Loi binomiale
Soientn∈N∗ etp∈[0; 1]. Une variable aléatoireX suit uneloi binomiale de paramètresnet psi
X(Ω) =J0;nK
pour toutk∈J0;nK, on a P(X =k) = nk
pk(1−p)n−k. On note alorsX ,→ B(n, p).
Dénition 19.15 (Loi binomiale)
19.4. LOIS USUELLES
1. La loi de Bernoulli est le cas particulier d'une loi binomiale de taille1.
2. Pourquoi est-ce bien une loi de probabilité ? Remarque 19.13
Soient n∈ N∗, p ∈[0; 1] et X1, X2, . . . , Xn une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantessuivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
Alors siX =X1+X2+· · ·+Xn, on a X ,→ B(n, p). Propriété 19.10 (Lien binomiale et Bernoulli)
Modélisation : Soit une expériences aléatoire se déroulant en n épreuves indépendantes.
Chaque épreuve a deux issues possibles : succès avec probabilité pou échec avec probabilité 1−p. La variable aléatoire X comptant le nombre de succès au cours denépreuves suit une loi de Bernoulli B(n, p).
Rédaction :, on écrira
Dans une expérience à deux issues, on appelle succès l'événement ... de probabilitép. On répète nfois cette expérience de manière indépendante. Alors si X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès,X ,→ B(n, p).
ou encore X ,→ B(n, p) car c'est la somme de n variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètrep.
Méthode 19.7 (Modélisation et rédaction pour utiliser la loi Binomiale)
Exemple 19.4 (Cas typique). 1. On lancenfois, de manièreindépendante, une pièce truquée dont la probabilité d'obtenir face est p, et on note X la variable aléatoire égale au nombre de faces obtenues durant cesnlancers. AlorsX ,→ B(n, p).
2. On eectuentirages avec remise dans une urne contenant 2 boules blanches et 1 boule noire. Le nombre de boules noires tirées suit une loiB(n,13).
Soient n∈N∗, p∈[0; 1]et X ,→ B(n, p). Alors
E(X) =np etV(X) =np(1−p).
Propriété 19.11 (Paramètres d'une loi binomiale )
Exercice 19.17. 1. On lance un dé. Alice gagne un euro lorsqu'elle fait un résultat supérieur ou égal à 5, et rien sinon. Alice lance 5 fois le dé de façon indépendante. On noteGson gain. Étudier G.
2. Un conseil d'administration valide sa décision lorsque10au moins des12membres sont d'accord.
Chacun des membres prend sa décision indépendamment des autres et choisit d'accepter avec la probabilité 34. Déterminer le nombre moyen de membres qui acceptent, puis la probabilité que la décision soit validée.
3. On modélise le nombre annuel d'accidents d'un conducteur par une loi binomiale de paramètres n et p où p est la probabilité d'avoir un accident à chaque utilisation et n le nombre de fois où il utilise sa voiture. Le modèle vous semble-t-il pertinent ? Le nombre moyen d'accidents des conducteurs a été mesuré à2,5 et la variance à1,875. Quels ont été les choix pournet pour p? Qu'en pensez-vous ?
Exercice 19.18. Donner la fonction de répartition de la loi Binomiale.
Exercice 19.19. Ecrire une fonction Scilab permettant de simuler une variable aléatoire nie suivant la loi binomiale de paramètresnetp.
19.4.4 Loi uniforme
Soitn∈N. Une variable aléatoireX suit uneloi uniforme surJ1;nKsi
X(Ω) =J1;nK
pour toutk∈J1;nK, on aP(X =k) = 1 n. On note alorsX ,→ U(J1;nK)
Plus généralement,la loi uniforme surJa, bK(aveca < bentiers)est notée U(Ja, bK). X ,→ U(Ja, bK)dès lors que
X(Ω) =Ja, bK
∀k∈Ja, bK,P(X =k) =b−a+11 (il y a b−a+ 1valeurs dansJa, bK).
Dénition 19.16 (Loi uniforme)
1. On parle deloi uniforme carX prend toutes ses valeurs avecla même probabilité.
2. Pourquoi est-ce bien une loi de probabilité ? Remarque 19.14
Modélisation : Soit une expériences aléatoire comportantnissues équiprobables numérotées de 1 à n. Alors la variable aléatoire nie égale au numéro de l'issue se réalisant suit une loi U(J1, nK).
Rédaction :, on écrira comme les valeurs de X sont les entiers entre1 et n, et toutes ces valeurs sont équiprobables, alorsX ,→ U(J1;nK).
On comprend bien que le nom ou le numéros des issues n'a aucune importance ici. Ainsi, s'il y en a b−a+ 1 et qu'on les numérote deaàb, on obtient une loiU([a, b]) .
Méthode 19.8 (Modélisation et rédaction pour utiliser la loi uniforme)
Exemple 19.5. 1. On lance un dé équilibré. La variable aléatoire nie égale au chire obtenu suit la loiU(J1,6K).
2. Une urne contient 10 boules numérotées de -3 à 6. La variable aléatoire nie égale au numéro de la boule tirée suit la loi U(J−3,6K).
La transformation suivante permet de se ramener au cas où la plus petite issue est 1.
Soient (a, b)∈ Z2 tels quea < b etX une variable aléatoire nie, alors on a : X ,→ U(Ja, bK) ⇔ Y =X−a+ 1,→ U(J1, b−a+ 1K).
Propriété 19.12 (Changement d'échelle)
19.4. LOIS USUELLES
Soitn∈N∗ etX ,→ U(J1;nK). On a : E(X) =n+ 1
2 etV(X) =n2−1 12 . Propriété 19.13 ( Paramètres d'une loi uniforme nie )
Exercice 19.20. Calculer et tracer la fonction de répartition deU(J[1,5K]).
Exercice 19.21. Un jeu propose les gains algébriques suivants, en euros, qui sont tous équiprobables : -20, -15, -10, -5, 0 , 5, 10 et 15. On note X la variable aléatoire associée au gain.
1. Par quelles opérations peut-on déduire deX une variable aléatoireY ,→ U(J1;nK), oùn est une entier à préciser ?
2. En déduireE(X)etV(X).
Exercice 19.22. Déterminer les paramètres de la loiU(Ja, bK).
Exercice 19.23. Ecrire une fonction Scilab qui permet de simuler une variable aléatoire nie de loi U(Ja, bK).
