Exercice1. DMn 17

ECS1

DM n

17

Exercice 1.

Deux individus A etB s'arontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes : le joueur A dispose d'une pièce amenant Pile avec la probabilité ²₃ et lance cette pièce jusqu'à

l'obtention du deuxième Pile ; on note X la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;

le joueur B dispose d'une autre pièce amenant Pile avec la probabilité p ∈]0,1[ et lance cette pièce jusqu'à l'obtention d'un Pile ; on noteY la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;

Le joueurA gagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui deB; sinon c'est le joueurB qui gagne.

On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueursA etB ont la même probabilité de gagner.

1. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function x = simule_X() qui simule la variable aléatoire X.

2. On suppose que l'on dispose d'une fonction simule_Y qui, prenant en argument un réelp∈]0,1[, simule la variable aléatoireY. Expliquer ce que renvoie la fonction suivante :

function r = mystere(p) r = 0

N = 10^4 for k = 1:N

x = simule_X() y = simule_Y(p) if x <= y then

r = r + 1/N endend

endfunction

3. On trace, en fonction dep, une estimation de la probabilité queAgagne et on obtient le graphe suivant :

À la vue de ce graphe, conjecturer une valeur de ppour lequel le jeu serait équilibré.

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Exercice 2.

DansR³, on considère les vecteurs

u= (2,1,−1), v= (1,−1,3), w= (3,3,−5).

On noteF le sous-espace vectoriel engendré par(u, v, w). 1. Déterminer une base deF.

2. Soitf :R³ →R³ l'application dénie pour des réelsα,β,γ par

f((α, β, γ)) = (3α+γ, α−β+γ,−3α−3β+γ).

Montrer quef est un endomorphisme deR³.

3. Déterminer une base deKer(f) et une base deIm(f). Préciser le rang de f. 4. A-t-on R³ = Ker(f)⊕Im(f)?

5. Les vecteurs u,v,w sont-ils des éléments deIm(f)? 6. Déterminer une base et la dimension deF ∩Im(f).

Exercice 3 (facultatif).

Soitf une fonction continue de[1,+∞[, à valeurs réelles telle queR+∞

1 f(x)dxest convergente. Montrer queR+∞

1 f(x)

x dx converge.